Đề bài
Cho hình 4. Chứng minh rằng: \(BD + CE < AB + AC.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng: Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất hay cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông.
Lời giải chi tiết
Xét \(∆ABD\) có \(\widehat {A{\rm{D}}B} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow BD < AB\) (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông) (1)
Xét \(∆AEC\) có \(\widehat {A{\rm{E}}C} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow CE < AC\) (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông) (2)
Cộng từng vế (1) và (2) ta được:
Suy ra: \(BD + CE < AB + AC.\)
Bài 18 trang 39 SBT Toán 7 tập 2
❮ Bài trước Bài sau ❯
Bài 18 trang 39 SBT Toán 7 tập 2
Bài 18: Cho hình sau, chứng minh rằng: BD + CE < AB + AC
Lời giải:
Trong ΔABD, ta có ∠(ADB) = 90°
Suy ra: BD < AB (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên) (1)
Trong ΔAEC, ta có ∠(AEC) = 90°
Suy ra: CE < AC (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông) (2)
Cộng từng vế (1) và (2), ta có: BD + CE < AB + AC.
Câu 18 trang 39 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2
Chứng minh rằng: BD + CE < AB + AC.
Cho hình 4. Chứng minh rằng: BD + CE < AB + AC.
Giải
∆ABD có \(\widehat {A{\rm{D}}B} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \) BD < AB (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông) (1)
∆AEC có \(\widehat {A{\rm{E}}C} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \) CE < AC (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông) (2)
Cộng từng vế (1) và (2)
Suy ra: BD + CE < AB + AC.
Sachbaitap.com
Bài tiếp theo
Xem lời giải SGK - Toán 7 - Xem ngay
\>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Giải bài 2.1, 2.2, 2.3 phần bài tập bổ sung trang 39 sách bài tập toán 7. Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Bài 2.1
Cho đường thẳng \(d\) và điểm \(A\) không thuộc \(d.\) Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
(A) Có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d.\)
(B) Có duy nhất một đường xiên kẻ từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d.\)
(C) Có vô số đường vuông góc kẻ từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d.\)
(D) Có vô số đường xiên kẻ từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d.\)
Hãy vẽ hình minh họa cho các khẳng định đúng.
Phương pháp giải:
Sử dụng: Từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng có duy nhất một đường vuông góc và vô số đường xiên đến đường thẳng đó.
Lời giải chi tiết:
Ta có: Từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng có duy nhất một đường vuông góc và vô số đường xiên đến đường thẳng đó.
Suy ra các đáp án (A) và (D) đúng, (B) và (C) sai.
Hình minh họa:
(A) Có duy nhất một đường vuông góc kẻ từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d.\)
(D) Có vô số đường xiên kẻ từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(d.\)
Trong hình trên thì các đường \(AF;AC;AD;AE\) đều là các đường xiên kẻ từ \(A\) đến đường thẳng \(d\) và có vô số đường xiên như thế.
Bài 2.2
Qua điểm \(A\) không thuộc đường thẳng \(d,\) kẻ đường vuông góc \(AH\) và các đường xiên \(AB, AC\) đến đường thẳng \( d\) (\(H, B, C\) đều thuộc \(d).\) Biết rằng \(HB < HC.\) Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
(A) \(AB > AC \) (B) \(AB = AC\)
(C) \(AB < AC\) (D) \(AH > AB\)
Phương pháp giải:
Sử dụng: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: Đường xiên nào có hình chiếu nhỏ hơn thì nhỏ hơn
Lời giải chi tiết:
Ta có các đường xiên \(AB,AC\) lần lượt có hình chiếu trên đường thẳng \(d\) là \(HB,HC\)
Theo định lý so sánh giữa hình chiếu và hình xiên ta có: \(HB < HC \Rightarrow AB < AC.\)
Chọn (C)
Bài 2.3
- Hai tam giác \(ABC, A’B’C’ \)vuông tại \(A\) và \(A’\) có \(AB = A’B’, AC > A’C’.\) Không sử dụng định lý Pytago, chứng minh rằng \(BC > B’C’.\)
- Hai tam giác \(ABC, A’B’C’\) vuông tại \(A \) và \(A’\) có \(AB = A’B’, BC > B’C’.\) Không sử dụng định lý Pytago, chứng minh rằng \(AC > A’C’.\)
Phương pháp giải:
Sử dụng: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó;
- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
- Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn
Và sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau.
Lời giải chi tiết:
a)
Do \(AC > A’C’\) nên lấy được điểm \({C_1}\) trên cạnh \(AC\) sao cho \({\rm{A}}{C_1} = A'C'\).
Xét hai tam giác vuông \(ABC_1\) và \(A'B'C'\) có \(AB=A'B';\,AC_1=A'C'\)
Suy ra tam giác vuông \(AB{C_1}\) bằng tam giác vuông \(A’B’C’,\) do đó \(B'C' = B{C_1}\).
Mặt khác hai đường xiên \(BC\) và \(B{C_1}\) kẻ từ B đến đường thẳng \(AC\) lần lượt có hình chiếu trên \(AC\) là \(AC \) và \({\rm{A}}{C_1}\). Vì \({\rm{A}}C > A{C_1}\) nên \(BC > B{C_1}\) (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu) Suy ra \(BC > B’C’.\)
b)
Dùng phản chứng:
- Giả sử \(AC < A’C’.\) Khi đó theo chứng minh câu a) ta có \(BC < B’C’.\) Điều này không đúng với giả thiết \(BC > B’C’.\)
- Giả sử \(AC = A’C’.\) Khi đó ta có \(∆ABC = ∆A’B’C’ (c.g.c).\) Suy ra \(BC = B’C’.\)
Điều này cũng không đúng với giả thiết \(BC > B’C’.\)
Vậy ta phải có \(AC > A’C’.\)
Chú ý:
Nếu sử dụng định lý Pytago thì có thể giải bài toán như sau:
Trong tam giác vuông \(ABC \) có \(BC^2= AB^2+ AC^2\) (1)
Trong tam giác vuông \(A'B'C' \) có \(B'C'^2= A'B'^2+ A'C'^2\) (2)
Theo giả thiết \(AB = A'B'\) nên từ (1) và (2) ta có:
- Nếu \(AC > A'C' \) thì \(AC^2 > A'C'^2,\) suy ra \(BC^2 > B'C'^2\) hay \(BC > B'C'\)
- Nếu \(BC > B'C'\) thì \(BC^2 > B'C'^2,\) suy ra \(AC^2 > A'C'^2\) hay \(AC > A'C'.\)
Loigiaihay.com
- Bài 2.4, 2.5, 2.6 phần bài tập bổ sung trang 39, 40 SBT toán 7 tập 2 Giải bài 2.4, 2.5, 2.6 phần bài tập bổ sung trang 39, 40 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi BD là đường phân giác của góc B (D ∈ AC). Chứng minh rằng BD < BC.
- Bài 18 trang 39 SBT toán 7 tập 2 Giải bài 18 trang 39 sách bài tập toán 7. Cho hình 4. Chứng minh rằng: BD + CE < AB + AC.
- Bài 17 trang 38 SBT toán 7 tập 2 Giải bài 17 trang 38 sách bài tập toán 7. Cho hình 3 trong đó AB > AC. Chứng minh rằng EB > EC.
- Bài 16 trang 38 SBT toán 7 tập 2 Giải bài 16 trang 38 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng độ dài AD nhỏ hơn cạnh bên của tam giác ABC. Bài 15 trang 38 SBT toán 7 tập 2
Giải bài 15 trang 38 sách bài tập toán 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ A và C đến đường thẳng BM. Chứng minh rằng...