Bài tập về chứng minh ánh xạ tuyến tính năm 2024

Cho $V$ là không gian vector $n$ chiều, $W$ là không gian vector $m$ chiều, $B=\{u_1,u_2,\cdots,u_n\}$ là một cơ sở của $V$, $B'=\{v_1,v_2,\cdots,v_m\}$ là một cơ sở của $W$ và $f:V\to W$ xác định bởi $x\mapsto f\left(x\right)$ là ánh xạ tuyến tính.

Nội dung chính Show

Uploaded by
Available Formats
Share this document
Did you find this document useful?
Is this content inappropriate?
Uploaded by
Reward Your Curiosity

Vì $x\in V$ và $f(x)\in W$ nên theo tính chất của KGVT thì $x$ luôn biểu thị tuyến tính được qua cơ sở $B$ trong $V$ và $f(x)$ luôn biểu thị tuyến tính được qua cơ sở $B'$ trong $W$.

Giả sử, $x=x_1u_1+x_2u_2+\cdots+x_nu_n$ và $f(x)\mathrm{=}{y_1v}_1\mathrm{+\ }{y_2v}_2\mathrm{+\dots +}{y_mv}_m$

Ta có, ${\left[x\right]}_B=\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right]$ và ${\left[f(x)\right]}_{B'}=\left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{array} \right]$.

Nếu tồn tại ma trận $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}$ sao cho ${A\left[x\right]}_B={\left[f(x)\right]}_{B'}$ với mọi $x\in V$ thì $A$ được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính $f$ đối với cơ sở $B$ trong $V$ và $B'$ trong $\ W$.

Biểu diễn $f\left(u_j\right),\ j=\overline{1,n}$ theo cơ sở $B'$.

Giả sử, $f\left(u_j\right)=t_{1j}v_1+t_{2j}v_2+\cdots +t_{mj}v_m.$$$A=\big[{\left[f\left(u_1\right)\right]}_{B'}\ \ {\left[f\left(u_2\right)\right]}_{B'}\ \cdots {\left[f\left(u_n\right)\right]}_{B'}\big]=\left[ \begin{array}{ccc} t_{11} & \cdots & t_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ t_{m1} & \cdots & t_{mn} \end{array} \right].$$

Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính

Trường hợp riêng

Cho ánh xạ tuyến tính $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$, $B\mathrm{\ =}\mathrm{\{}e_1\mathrm{,\ }e_2\mathrm{,\dots ,\ }e_n\}$ là cơ sở chính tắc của ${\mathbb{R}}^n$ và $B'\mathrm{\ =}\mathrm{\{}{e'}_1\mathrm{,\ }{e'}_2\mathrm{,\dots ,\ }{e'}_m\}$ là cơ sở chính tắc của $\mathbb{R}^m$.

Khi đó, ma trận của ánh xạ tuyến tính $f$ đối với cơ sở $B$ trong $\mathbb{R}^n$ và $B'$ trong $\mathbb{R}^m$ là $A=\left[f\left(e_1\right)\ \ f\left(e_2\right)\ \cdots f\left(e_n\right)\ \right]$ và được gọi là ma trận chính tắc của ánh xạ $f$.

Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ xác định bởi: $f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left({2x}_1-x_2+3x_3,-{2x}_2+x_3\right)$.

Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ xác định bởi: $f\left(x_1,x_2\right)=\left(x_1-x_2,5x_1-{2x}_2\right)$.

Tìm ma trận của toán tử tuyến tính $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ xác định bởi: $f\left(x_1,x_2\right)=\left(x_1-x_2,5x_1-{2x}_2\right)$ đối với cơ sở $B=\{u_1(1,1)\mathrm{,\ }u_2\mathrm{(0,2)}\mathrm{\}}$.

Định lí: $f:V\to V$ là toán tử tuyến tính trong không gian $n$ chiều $V$, $B$ và $B'$ là các cơ sở của $V$, $A$ là ma trận của toán tử tuyến tính đối với cơ sở $B$ và $A'$ là ma trận của toán tử tuyến tính đối với cơ sở $B'$. Khi đó, $A'=P^{-1}AP$ với $P$ là ma trận chuyển cơ sở từ $B$ sang $B'$.

Cho toán tử tuyến tính $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ xác định bởi: $f\left(x_1,x_2\right)=\left(x_1-x_2,5x_1-{2x}_2\right)$ tìm ma trận chính tắc của $f$ sau đó biến nó thành ma trận của $f$ đối với cơ sở $B'=\{u_1(1,1)\mathrm{,\ }u_2\mathrm{(0,2)}\mathrm{\}}$.