Cho $V$ là không gian vector $n$ chiều, $W$ là không gian vector $m$ chiều, $B=\{u_1,u_2,\cdots,u_n\}$ là một cơ sở của $V$, $B'=\{v_1,v_2,\cdots,v_m\}$ là một cơ sở của $W$ và $f:V\to W$ xác định bởi $x\mapsto f\left(x\right)$ là ánh xạ tuyến tính. Show
Vì $x\in V$ và $f(x)\in W$ nên theo tính chất của KGVT thì $x$ luôn biểu thị tuyến tính được qua cơ sở $B$ trong $V$ và $f(x)$ luôn biểu thị tuyến tính được qua cơ sở $B'$ trong $W$. Giả sử, $x=x_1u_1+x_2u_2+\cdots+x_nu_n$ và $f(x)\mathrm{=}{y_1v}_1\mathrm{+\ }{y_2v}_2\mathrm{+\dots +}{y_mv}_m$ Ta có, ${\left[x\right]}_B=\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right]$ và ${\left[f(x)\right]}_{B'}=\left[ \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{array} \right]$. Nếu tồn tại ma trận $A\in {\mathcal{M}}_{m\times n}$ sao cho ${A\left[x\right]}_B={\left[f(x)\right]}_{B'}$ với mọi $x\in V$ thì $A$ được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính $f$ đối với cơ sở $B$ trong $V$ và $B'$ trong $\ W$. Biểu diễn $f\left(u_j\right),\ j=\overline{1,n}$ theo cơ sở $B'$. Giả sử, $f\left(u_j\right)=t_{1j}v_1+t_{2j}v_2+\cdots +t_{mj}v_m.$$$A=\big[{\left[f\left(u_1\right)\right]}_{B'}\ \ {\left[f\left(u_2\right)\right]}_{B'}\ \cdots {\left[f\left(u_n\right)\right]}_{B'}\big]=\left[ \begin{array}{ccc} t_{11} & \cdots & t_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ t_{m1} & \cdots & t_{mn} \end{array} \right].$$ Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính Trường hợp riêng Cho ánh xạ tuyến tính $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$, $B\mathrm{\ =}\mathrm{\{}e_1\mathrm{,\ }e_2\mathrm{,\dots ,\ }e_n\}$ là cơ sở chính tắc của ${\mathbb{R}}^n$ và $B'\mathrm{\ =}\mathrm{\{}{e'}_1\mathrm{,\ }{e'}_2\mathrm{,\dots ,\ }{e'}_m\}$ là cơ sở chính tắc của $\mathbb{R}^m$. Khi đó, ma trận của ánh xạ tuyến tính $f$ đối với cơ sở $B$ trong $\mathbb{R}^n$ và $B'$ trong $\mathbb{R}^m$ là $A=\left[f\left(e_1\right)\ \ f\left(e_2\right)\ \cdots f\left(e_n\right)\ \right]$ và được gọi là ma trận chính tắc của ánh xạ $f$. Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính $f:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^2$ xác định bởi: $f\left(x_1,x_2,x_3\right)=\left({2x}_1-x_2+3x_3,-{2x}_2+x_3\right)$. Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tính $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ xác định bởi: $f\left(x_1,x_2\right)=\left(x_1-x_2,5x_1-{2x}_2\right)$. Tìm ma trận của toán tử tuyến tính $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ xác định bởi: $f\left(x_1,x_2\right)=\left(x_1-x_2,5x_1-{2x}_2\right)$ đối với cơ sở $B=\{u_1(1,1)\mathrm{,\ }u_2\mathrm{(0,2)}\mathrm{\}}$. Định lí: $f:V\to V$ là toán tử tuyến tính trong không gian $n$ chiều $V$, $B$ và $B'$ là các cơ sở của $V$, $A$ là ma trận của toán tử tuyến tính đối với cơ sở $B$ và $A'$ là ma trận của toán tử tuyến tính đối với cơ sở $B'$. Khi đó, $A'=P^{-1}AP$ với $P$ là ma trận chuyển cơ sở từ $B$ sang $B'$. Cho toán tử tuyến tính $f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ xác định bởi: $f\left(x_1,x_2\right)=\left(x_1-x_2,5x_1-{2x}_2\right)$ tìm ma trận chính tắc của $f$ sau đó biến nó thành ma trận của $f$ đối với cơ sở $B'=\{u_1(1,1)\mathrm{,\ }u_2\mathrm{(0,2)}\mathrm{\}}$. Trong bài viết này, hãy cùng TTnguyen tìm hiểu một số kiến thức cơ bản cùng với các dạng bài tập về ánh xạ tuyến tính thường gặp trong quá trình học đại số và hình học giải tích. Bắt đầu thôi!!! Xem thêm: dạng toàn phương – bài tập đưa về dạng chính tắc tìm cơ sở và số chiều của không gian vecto – Bài tập & lời giải Định nghĩa: V→W từ không gian vecto V đến không gian vecto W gọi là ánh xạ tuyến tính nếu thoả mãn 2 tính chất sau:
∀ x, y∈V, ∀ k∈ R 2. Các tính chất của ánh xạ tuyến tínhCho V và W là hai không gian véc tơ. Nếu f: V → W là một ánh xạ tuyến tính thì:
3. Hạng của ánh xạ tuyến tính – Định lí về số chiềuĐịnh nghĩa hạng của axtt: Nếu f: V → W là một ánh xạ tuyến tính thì số chiều của Im(f) gọi là hạng của f, ký hiệu là rank(f). rank(f) = dim(Im(f)). Định lý về số chiều: Nếu f: V → W là một ánh xạ tuyến tính thì dim(Im(f)) + dim(Ker(f)) = n, trong đó n = dimV, tức là rank(f) + dim(Ker(f)) = n. Xem thêm: hạng của ma trận bài tập tìm cơ sở trực chuẩn và trực giao 3. Chứng minh ánh xạ tuyến tínhVí dụ: Cho R2→R3, Chứng minh ánh xạ f có phải là ánh xạ tuyến tính hay không? f(x,y)=(x+y, 0, 2x+2y) Giải Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc \(R^{2}\): \(x=(a_{1}; b_{1})\) và \(y=(a_{2},b_{2})\) – \(f(x+y)=(a_{1}+ a_{2},b_{1}+ b_{2})\) \(= (a_{1} + a_{2} + b_{1} + b_{2}, 0 , 2a_{1} + 2a_{2} + 2b_{1} + 2b_{2})\) \(= (a_{1} + b_{1} , 0 , 2a_{1} + 2b_{1}) + (a_{2} + b_{2} , 0 , 2a_{2} + 2b_{2}) \) \(= f(x) + f(y)\) – \(f (kx) = f(ka_{1} , kb_{1})\) \= \((ka_{1} + kb_{1} , 0 , 2ka_{1} , 2kb_{1})\) \= \(k(a_{1} + b_{1}, 0 , 2a_{1} + 2b_{1})\) \= \(kf(x)\) Vậy ánh xạ đã cho là ánh xạ tuyến tính. 4. Ma trận của ánh xạ tuyến tínhV là không gian vecto với cơ sở S W là không gian vecto với cơ sở T Ma trận của f theo cơ sở S -> T là ma trận gồm các cột là các toạ độ f(s) theo cơ sở T
5. Cách tìm ma trận chính tắc của ánh xạ tuyến tínhVí dụ: Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f: R3→R4 f (a, b, c) = (a + b + c, b, bc, a + c) Giải Có thể viết lại thành dạng cột:  Ví dụ: Tìm ma trận của f theo cơ sở S-T : R3→R2 f (a, b, c) = (b + c, 2a-c) S = {u 1 (1,0,1), u 2 (4,3,3), u 3 (1,2,1)} T = {(2,2), (1,7)} Giải Tìm ảnh f(s): f (u 1 ) = f (1,0,1) = (1,1) f (u 2 ) = f (4,3,3) = (6,5) f (u 3 ) = (1,2,1) = (3,1) Tìm toạ độ [f(s)]T Vậy ma trận S – T là: Tham khảo: bài tập không gian vecto có lời giải ứng dụng của đại số tuyến tính trong cuộc sống 6. Bài tập ánh xạ tuyến tính có lời giải6.1 Bài tập chứng minh ánh xạ tuyến tính có lời giảiBài 1: Ánh xạ f: R2 → R2 có phải là tuyến tính không? f (x, y) = (x, y + 1) Giải Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc \(R^{2}\): \(x=(a_{1}; b_{1})\) và \(y=(a_{2},b_{2})\) – \(f(x+y)=(a_{1}+ a_{2},b_{1}+ b_{2})\) \= \((a_{1} + a_{2}, b_{1} + b_{2} + 1)\) \= \((a_{1}, b_{1} + 1) + (a_{2} ,b_{2})\) ≠ f (x) + f (y) Vậy ánh xạ đã cho không phải là ánh xạ tuyến tính. Bài 2: Ánh xạ f: R2 → R2 có phải là tuyến tính không? f (x, y) = (y, y) Giải Lấy 2 vecto bất kỳ thuộc \(R^{2}\): \(x=(a_{1}; b_{1})\) và \(y=(a_{2},b_{2})\) – \(f(x+y)=(a_{1}+ a_{2},b_{1}+ b_{2})\) \= \((b_{1}+ b_{2}, b_{1}+ b_{2})\) \= \((b_{1}+ b_{1})+(b_{2}+ b_{2})\) \= \(f (x) + f (y)\) – \(f (kx) = f(ka_{1} , kb_{1})\) \= \((kb_{1}, ka_{1})\) \= \(k(b_{1}, b_{1})\) \= \(kf(x)\) Vậy ánh xạ đã cho là ánh xạ tuyến tính. 6.2 Tìm ma trận f đối với cơ sở chính tắcBài 1: Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f: R3→R3 f (a, b, c) = (a + 2b + c, a + 5b, c) Giải Xem lại ví dụ ở ma trận của ánh xạ tuyến tính ta được ma trận chính tắc là: Bài 2: Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f sau: + f (a, b) = (b, -a, a + 3b, a – b) + f (a, b, c, d) = (d, a, c, b, bc) Bài 3: Tìm ma trận của f theo cơ sở S-T : R2→R3 f (a, b) = (a + 2b, -a, 0) S = {u 1 (1, 3), u 2 (-2, 4)} T = {(1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0)} Giải Tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính f(s): f (u 1 ) = f (1,3) = (7, -1 ,0) f (u 2 ) = f (-2, 4) = (6, 2, 0) Tìm toạ độ [f(s)]T Vậy ma trận S – T là: Bài 4: Xét ánh xạ f: R2 -> R3 5. Cho ánh xạ f: P3(x) -> P2(x), p(x) -> p'(x)Liên quan: dạng song tuyến tính – bài tập có lời giải căn bậc 2 của số phức cách tìm m để ma trận khả nghịch giải hệ phương trình bằng phương pháp cramer Tải File bài tập có đáp án tại đây: Trên đây là toàn bộ kiến thức cơ bản cùng phương pháp giải bài tập ánh xạ tuyến tính trong đại số tuyến tính và hình học. Cảm ơn các bạn đã tham khảo tài liệu trên ttnguyen.net |
