Cách chứng minh đồng phẳng lớp 11

Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng mình bằng một trong các cách:

– Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.

– Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: tồn tai các số m. n duy nhất sao cho $\overrightarrow{c}=m.\overrightarrow{a}+n.\overrightarrow{b}$ thì 3 vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ đồng phẳng.

Để biểu diễn vectơ $\overrightarrow{x}$ theo 3 vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$ không đồng phẳng ta tìm được các số m, n, p duy nhất sao cho $\overrightarrow{x}=m.\overrightarrow{a}+n.\overrightarrow{b}+p.\overrightarrow{c}$

Bài tập chứng minh các đẳng thức vecto, chứng minh 3 vecto đồng phẳng có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J là trung điểm của AB và CD.

a) Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow{IJ}$ theo 3 vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$

b) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AG}$ theo 3 vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow{IJ}=\left( \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AJ} \right)$, mặt khác $\overrightarrow{IA}=-\overrightarrow{AI}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} \right)$(tính chất trung điểm)

Do đó $\overrightarrow{IJ}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$

b) Ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB} \\ {} \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC} \\ {} \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GD} \\ \end{array} \right.$ cộng vế theo vế ta được:

$3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$

Mặt khác $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$ (do G là trọng tâm tam giác BCD). Do vậy $\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}}{3}$

Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M và N lần lượt thuộc AD và BC sao cho $\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{MD}$, $\overrightarrow{NB}=-3\overrightarrow{NC}$. Biết $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{b}$.

a) Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow{MN}$theo $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$

b) Gọi P và Q lần lượt là trun điểm của AD và BC. Chứng minh rằng ba vectơ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng.

c) Gọi G là trung điểm của PQ, chứng minh rằng G là trọng tâm tứ diện ABCD.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}\left( 1 \right)$

Lại có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\left( 2 \right)$

Lấy $\left( 2 \right)+3.\left( 1 \right)$ ta được $4\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{DC}$

Do đó $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}-\frac{3}{4}\overrightarrow{b}$

b) Ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QN} \\ {} \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN} \\ \end{array} \right.\Rightarrow 2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{DC}$

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{DC} \right)$$\Rightarrow $ba vectơ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{PQ}$ đồng phẳng.

c) Theo tính chất trung điểm ta có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GP} \\ {} \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GQ} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\left( \overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GQ} \right)$

Mặt khác $\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GQ}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$$\Rightarrow $ G là trọng tâm tứ diện ABCD.

Bài tập 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’ B’C' có $\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{c}$

Gọi I và J lần lượt là trung điểm của BB' và A'C', điểm K thuộc B'C sao cho $\overrightarrow{KC'}=-2\overrightarrow{KB'}$

a) Hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow{B'C}$; $\overrightarrow{CI}$ và $\overrightarrow{BJ}$ qua 3 vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$

b) Biểu thị vectơ $\overrightarrow{AK}$ theo vectơ $\overrightarrow{AI}$ và $\overrightarrow{AJ}$ từ đó suy ra 3 vectơ $\overrightarrow{AK}$ ,$\overrightarrow{AI}$, $\overrightarrow{AJ}$ đồng phẳng.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow{B'C}=\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{B'B}$ (theo quy tắc hình bình hành)

Suy ra $\overrightarrow{B'C}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$

Lại có: $\overrightarrow{CI}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BI}=\left( \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right)+\frac{1}{2}\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}+\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$

Mặtkhác:

$\overrightarrow{BJ}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'J}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A'C'}=-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}+\frac{c}{2}$

b) Ta có: $\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB'}+\overrightarrow{B'K}\left( 1 \right)$

$\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{JC'}+\overrightarrow{C'K}\left( 2 \right)$

Lấy $2.\left( 1 \right)+\left( 2 \right)$ ta được:

$3\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}+2\overrightarrow{IB'}+\overrightarrow{JC'}+\underbrace{2\overrightarrow{B'K}+\overrightarrow{C'K}}_{0}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{A'J}=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ}+\overrightarrow{AJ}$

Vậy $\overrightarrow{AK}=\frac{2}{3}\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AJ} \right)$.

Bài tập 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Đặt $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}$. Gọi M và N lần lượt là hai điểm nằm trên AC và DC’ sao cho MN//BD’. Tính tỷ số $\frac{MN}{BD'}$

Lời giải chi tiết

Giả sử: $\overrightarrow{MC}=n\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{C'N}=m\overrightarrow{C'D}$

Ta có: $\overrightarrow{BD'}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$

Lại có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CC'}+\overrightarrow{C'N}=n\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{b}+m\overrightarrow{C'D}$

$=n.\left( \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA} \right)+\overrightarrow{b}+m\left( \overrightarrow{C'C}+\overline{CD} \right)$

$=n.\left( \overrightarrow{c}-\overrightarrow{a} \right)+\overrightarrow{b}+m\left( -\overrightarrow{b}+\overline{a} \right)=\left( m-n \right)\overrightarrow{a}+\left( 1-m \right)\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}$

Khi đó $MN//BD'\Rightarrow \overrightarrow{MN}=k.\overrightarrow{BD'}$

$\frac{m-n}{1}=\frac{1-m}{1}=\frac{n}{1}=k\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} m=\frac{2}{3} \\ {} n=\frac{1}{3} \\ \end{array} \right.\Rightarrow \frac{MN}{B'D'}=k=\frac{1}{3}$

Bài tập 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABB'A' và K là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành BCC'A. Biểu thị vectơ $\overrightarrow{BD}$ theo 2 vectơ $\overrightarrow{IK}$ và $\overrightarrow{C'B'}$ từ đó suy ra ba vectơ $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{IK}$, $\overrightarrow{C'B'}$ đồng phẳng.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{C'B}+\left( \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC} \right)$

$=-\overrightarrow{C'B'}+\overrightarrow{B'C'}-2\overrightarrow{IK}$ (vì $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{IK}$)

Suy ra $\overrightarrow{BD}=-2\overrightarrow{C'B'}-2\overrightarrow{IK}$

Do đó ba vectơ $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{IK}$, $\overrightarrow{C'B'}$ đồng phẳng.

Bài tập 6: Trong không gian cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu có một điểm O trong không gian sao cho $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$, đồng thời , $x+y+z=1$ thì điểm M thuộc mặt phẳng $\left( ABC \right)$.

Lời giải chi tiết

Ta có: $\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}\Leftrightarrow \left( x+y+z \right)\overrightarrow{OM}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$

$\Leftrightarrow x\overrightarrow{MA}+y\overrightarrow{MB}+z\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$

Nếu $x=0\Rightarrow \Leftrightarrow y\overrightarrow{MB}+z\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}$$\Rightarrow $ M, B, C thẳng hàng nên A, B, C, M đồng phẳng

Nếu $x\ne 0\Rightarrow \overrightarrow{MA}=\frac{-y}{x}\overrightarrow{MB}-\frac{z}{x}\overrightarrow{MC}$$\Rightarrow $ A, B, C, M đồng phẳng.

Bài tập 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi P và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho $\frac{AM}{AC}=\frac{BN}{BD}=k\left( k>0 \right)$. Chứng minh rằng 3 vectơ $\overrightarrow{PQ}$, $\overrightarrow{PM}$, $\overrightarrow{PN}$ đồng phẳng

Lời giải chi tiết

Ta có: $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD} \right)=\frac{1}{2}\left[ \left( \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP} \right)+\left( \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BP} \right) \right]$

$=\frac{1}{2}\left[ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}-\left( \overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP} \right) \right]=\frac{1}{2}\frac{\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}}{k}$

Lại có: $\left\{ \begin{array} {} \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PM} \\ {} \overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PN} \\ \end{array} \right.$ nên $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2k}\left( \overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN} \right)$

(Do $\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{0}$)

Do đó $\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2k}\left( \overrightarrow{PM}+\overrightarrow{PN} \right)$$\Rightarrow $ M, N, P, Q đồng phẳng