$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}$ và $2x+3y-z=50$
HD:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
$\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4}=\frac{2\left( x-1 \right)+3\left( y-2 \right)-\left( z-3 \right)}{2.2+3.3-4}=\frac{2x+3y-z-2-6+3}{9}=\frac{45}{9}=5$
Câu 4. Tìm $x,y,z$biết rằng
- a) $\frac{x}{3}=\frac{y}{12}=\frac{z}{5}$ và $xyz=-22,5$ b) $\frac{x}{3}=\frac{y}{7}=\frac{z}{5}$ và ${{x}{2}}-{{y}{2}}+{{z}^{2}}=-60$
HD:
- a) Đặt $\frac{x}{3}=\frac{y}{12}=\frac{z}{5}=k$ . Tính x, y, z theo k và thay vào biểu thức $xyz=-22,5$ ta tìm được $k=0,5$.
Từ đó tính được $x=1,5$ ; $y=6$ ; $z=2,5$;
- b) Làm tương tự như phần a, đặt $\frac{x}{3}=\frac{y}{7}=\frac{z}{5}=k\Rightarrow k=\pm 2$
Với $k=2$ thì $x=6;y=14;z=10$
Với $k=-2$ thì $x=-6;y=-14;z=-10$.
Dạng 2. Chứng minh đẳng thức – Tính giá trị biểu thức
Câu 5. Cho $\frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{3}}}=\frac{{{a}_{3}}}{{{a}_{4}}}=...=\frac{{{a}_{19}}}{{{a}_{20}}}=\frac{{{a}_{20}}}{{{a}_{1}}}$ và ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{19}}+{{a}_{20}}\ne 0$
CM: ${{a}_{1}}={{a}_{2}}=...={{a}_{19}}={{a}_{20}}$
HD:
Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta có
$\frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}=\frac{{{a}_{2}}}{{{a}_{3}}}=\frac{{{a}_{3}}}{{{a}_{4}}}=...=\frac{{{a}_{19}}}{{{a}_{20}}}=\frac{{{a}_{20}}}{{{a}_{1}}}=\frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{19}}+{{a}_{20}}}{{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{20}}+{{a}_{1}}}=1$ (do ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{19}}+{{a}_{20}}\ne 0$).
Vậy ${{a}_{1}}={{a}_{2}}=...={{a}_{19}}={{a}_{20}}$ (đpcm)
Câu 6. Cho tỉ lệ thức: $\frac{3a+2b+c}{a+2b-c}=\frac{3a-2b+c}{a-2b-c}$ và b ≠ 0
Chứng minh rằng: $a+c=0$
Câu 7. Cho $\frac{a}{c}=\frac{c}{b}$, ($a+b\ne 0$). Chứng minh rằng:
- a) \[\frac{{{a}{2}}+{{c}{2}}}{{{b}{2}}+{{c}{2}}}=\frac{a}{b}\] b) \[\frac{{{b}{2}}-{{a}{2}}}{{{a}{2}}+{{c}{2}}}=\frac{b-a}{a}\]
HD:
Từ $\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\Rightarrow {{c}^{2}}=ab$, thay lần lượt vào các biểu thức cần chứng minh
- a) \[\frac{{{a}{2}}+{{c}{2}}}{{{b}{2}}+{{c}{2}}}=\frac{{{a}{2}}+ab}{{{b}{2}}+ab}=\frac{a(a+b)}{b(a+b)}=\frac{a}{b}\]
- b) \[\frac{{{b}{2}}-{{a}{2}}}{{{a}{2}}+{{c}{2}}}=\frac{{{b}{2}}-{{a}{2}}}{{{a}^{2}}+ab}=\frac{(b-a)(b+a)}{a(a+b)}=\frac{b-a}{a}\]
Câu 8. Chứng minh rằng nếu $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ thì:
- a) $\frac{4a+3b}{4a-3b}=\frac{4c+3d}{4c-3d}$ b) $\frac{9{{a}{2}}+4ab}{19{{a}{2}}-11{{b}{2}}}=\frac{9{{c}{2}}+4cd}{19{{c}{2}}-11{{d}{2}}}$
HD:
Đặt $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk$
- a) Thay a, c vào biểu thức ta có đpcm
- b) Thay a, c vào biểu thức ta có đpcm
- Dạng 3. Bài toán có lời văn
Câu 9. Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư vớivận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 118 giây
HD:
Gọi x, y, z lần lượt là thời gian vật chuyển động trên 1 cạnh ứng với các vận tốc 5m/s , 4m/s, 3m/s.
Do các cạnh của hình vuông bằng nhau nên ta có: $5x=4y=3z$
Và theo giả thiết: $x+x+y+z=118$. Lưu ý rằng vật chuyển động trên 2 cạnh đầu với cùng vận tốc 5m/s.
Từ đó HS sẽ tính được: $x=24{{;}_{{}}}y=30{{;}_{{}}}z=40$ (giây)
Câu 10. Tìm 3 chữ số tự nhiên biết rằng tỉ số của số thứ nhất với số thứ hai là 3:4, tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ ba là 6:13 và BCNN của ba số đó bằng 7176
HD:
Gọi a, b, c theo thứ tự là 3 số cần tìm. Ta có a:b=3:4 và a:c=6:13.
Do đó: a:b:c=6:8:13.
Đặt $\frac{a}{6}=\frac{b}{8}=\frac{c}{13}=k$ suy ra $a=6k{{;}_{{}}}b=8k{{;}_{{}}}c=13k$
Ta có: $BCNN(a,b,c)=BCNN(6k,8k,13k)=k.BCNN(6,8,13)=k.312$
Từ đó: $k.312=7176\Rightarrow k=23$
Vậy: $a=138{{;}_{{}}}b=184{{;}_{{}}}c=299$
Để đăng kí học trực tuyến qua video, qua zoom, anh chị phụ huynh vui lòng liên hệ qua SĐT thầy Long 0832646464 để được tư vấn!
\(\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{{x - y}}{{3 - 4}} = \frac{2}{{ - 1}} = - 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2.3 = - 6\\y = - 2.4 = - 8\end{array} \right..\)
Chọn B
Đáp án - Lời giải
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{a + c}}{{b + d}} = \dfrac{{a - c}}{{b - d}}\)
* Từ dãy tỉ số bằng nhau \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f}\) ta suy ra:
\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{f} = \dfrac{{a + c + e}}{{b + d + f}} = \dfrac{{a - c + e}}{{b - d + f}}\)
Với điều kiện các tỉ số đều có nghĩa.
Ví dụ: \(\dfrac{{10}}{6} = \dfrac{5}{3} = \dfrac{{10 + 5}}{{6 + 3}} = \dfrac{{15}}{9}\)
\(\dfrac{{10}}{6} = \dfrac{5}{3} = \dfrac{{10 - 5}}{{6 -3}}\)
* Mở rộng
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{{ma + nc}}{{mb + nd}} = \dfrac{{ma - nc}}{{mb - nd}}$
Ví dụ:
\(\dfrac{{10}}{6} = \dfrac{5}{3} = \dfrac{{2.10 + 3.5}}{{2.6 + 3.3}} = \dfrac{{35}}{{21}}\)
Chú ý:
Khi nói các số \(x,\,y,\,z\) tỉ lệ với các số \(a,\,b,\,c\) tức là ta có \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}\). Ta cũng viết \(x:y:z = a:b:c\)
II. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tìm hai số $x;y$ biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của chúng.
Phương pháp giải:
* Để tìm hai số \(x;y\) khi biết tổng $x + y = s$ và tỉ số \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\) ta làm như sau
Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\)
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x + y}}{{a + b}} = \dfrac{s}{{a + b}}\)
Từ đó \(x = \dfrac{s}{{a + b}}.a;\,y = \dfrac{s}{{a + b}}.b\) .
* Để tìm hai số \(x;y\) khi biết hiệu $x - y = p$ và tỉ số \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\) ta làm như sau
Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\)\( \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\)
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{{x - y}}{{a - b}} = \dfrac{p}{{a - b}}\)
Từ đó \(x = \dfrac{p}{{a - b}}.a;\)\(y = \dfrac{p}{{a - b}}.b\) .
Ví dụ: Tìm hai số \(x;y\) biết \(\frac{x}{3} = \frac{y}{5}\) và \(x + y = - 32\)
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{x}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{x + y}}{{3 + 5}} = \frac{{ - 32}}{8} = - 4\)
Do đó \(\frac{x}{3} = - 4 \Rightarrow x = (-4).3 = - 12\) và \(\frac{y}{5} = - 4 \Rightarrow y = (-4).5 = - 20.\)
Vậy \(x = - 12;y = - 20.\)
Dạng 2: Chia một số thành các phần tỉ lệ với các số cho trước
Phương pháp:
Giả sử chia số \(P\) thành ba phần \(x,\,y,\,z\) tỉ lệ với các số \(a,b,c\), ta làm như sau:
\(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c} = \dfrac{{x + y + z}}{{a + b + c}} = \dfrac{P}{{a + b + c}}\)
Từ đó \(x = \dfrac{P}{{a + b + c}}.a;\,y = \dfrac{P}{{a + b + c}}.b\); \(z = \dfrac{P}{{a + b + c}}.c\).
Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tỉ số của chúng
Phương pháp:
Tìm hai số \(x;\,y\) biết $x.y = P$ và \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\)
Cách 1: Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \Rightarrow \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b}\)
Đặt \(\dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = k\) ta có \(x = ka;\,y = kb\)
Nên \(x.y = ka.kb = {k^2}ab = P \)\(\Rightarrow {k^2} = \dfrac{P}{{ab}}\)
Từ đó tìm được \(k\) sau đó tìm được \(x,y\).
Cách 2: Ta có \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b}\)\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{xy}} = \dfrac{a}{b}\) hay \(\dfrac{{{x^2}}}{P} = \dfrac{a}{b} \)\(\Rightarrow {x^2} = \dfrac{{Pa}}{b}\) từ đó tìm được \(x\) và \(y.\)