I. Rút gọn phân số. Rút gọn biểu thức dạng phân số
- Chia cả tử và mẫu của phân số $\dfrac{a}{b}$ cho ƯCLN của $a$ và $b$ để rút gọn thành phân số tối giản ( bỏ dấu “-” nếu có)
- Trường hợp biểu thức có dạng phân số, ta cần làm xuất hiện các thừa số chung của tử và mẫu rồi rút gọn các thừa số chung đó.
Để tìm phân số tối giản trong các phân số cho trước, ta tìm ƯCLN của tử và mẫu đối với từng phân số. Phân số nào có ƯCLN này là $1$ thì đó là phân số tối giản.
Ví dụ:
Phân số $\dfrac{{ - 5}}{7}$ tối giản vì ƯCLN $\left( {5,7} \right) = 1.$
Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu thì lớn hơn $0$, gọi là phân số dương.
Ví dụ: $\dfrac{{ - 3}}{{ - 5}} > 0$ hoặc $\dfrac{4}{5} > 0$
Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên khác dấu thì nhỏ hơn $0$, gọi là phân số âm.
Ví dụ : $\dfrac{{ - 3}}{5} < 0$
- Ta còn có các cách so sánh phân số như sau:
+ Áp dụng tính chất: $\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d} \Leftrightarrow a.d < b.c{\rm{\;}}({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}},{\rm{d}} \in {\rm{Z}};{\rm{b}},{\rm{d\;}} > {\rm{\;0}})$
+ Đưa về hai phân số cùng tử dương rồi so sánh mẫu (chỉ áp dụng đối với hai phân số cùng âm hoặc cùng dương)
Ví dụ: $\dfrac{4}{{ - 9}} > \dfrac{4}{{ - 7}};$$\dfrac{3}{5} < \dfrac{3}{2}$
+ Chọn số thứ ba làm trung gian.
Ví dụ:
$\dfrac{{ - 4}}{9} < 0 < \dfrac{4}{7}{\kern 1pt}$ suy ra $\dfrac{{ - 4}}{9}<\dfrac{4}{7}$
$\dfrac{{14}}{9} > 1 > \dfrac{4}{7}$ suy ra $\dfrac{{14}}{9}>\dfrac{4}{7}$
+ Sử dụng tính chất so sánh: Nếu \(\dfrac{a}{b} < 1\) thì \(\dfrac{a}{b} < \dfrac{{a + m}}{{b + m}}\)
Viết phân số đã cho dưới dạng $\dfrac{{q.b + r}}{b}, (r<b)$ và thu gọn được:
$\dfrac{{q.b + r}}{b}=\dfrac {q.b}{b}+\dfrac{r}{b}=q+\dfrac{r}{b}=q\dfrac{r}{b} $
1) Khi cộng hai hỗn số ta có thể viết chúng dưới dạng phân số rồi thực hiện phép cộng phân số. Ta cũng có thể cộng phần nguyên với nhau, cộng phần phân số với nhau khi hai hỗn số đều dương.
Ví dụ 1:
$2\dfrac{1}{2} + 3\dfrac{1}{4}$$ = \left( {2 + 3} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}} \right)$$ = 5 + \dfrac{3}{4} = 5\dfrac{3}{4}$
2) Khi trừ hai hỗn số, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số rồi thực hiện phép trừ phân số. Ta cũng có thể lấy phần nguyên của số bị trừ trừ phần nguyên của số trừ, phần phân số của số bị trừ trừ phân phân số của số trừ, rồi cộng kết quả với nhau (khi hai hỗn số đều dương, số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ).
Ví dụ 2:
$3\dfrac{1}{2}\; - 2\dfrac{1}{4}$$ = \left( {3 - 2} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}} \right)$$ = 1 + \dfrac{1}{4}$$ = 1\dfrac{1}{4}$
3) Khi hai hỗn số đều dương, số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ nhưng phân phân số của số bị trừ nhỏ hơn phần phân số của số trừ, ta phải rút một đơn vị ở phần nguyên của số bị trừ để thêm vào phần phân số, sau đó tiếp tục trừ như trên.
Ví dụ 3:
$8\dfrac{1}{5} - 3\dfrac{1}{2} = 8\dfrac{2}{{10}} - 3\dfrac{5}{{10}}$$ = 7\dfrac{{12}}{{10}} - 3\dfrac{5}{{10}}$$ = 4\dfrac{7}{{10}}.$
Chú ý: Ta có thể đổi hỗn số ra phân số rồi thực hiện phép cộng trừ phân số.
-Thực hiện phép cộng hoặc phép trừ hỗn số bằng cách viết hỗn số dưới dạng phân số rồi làm phép cộng hoặc phép chia phân số.
- Khi nhân hoặc chia một hỗn số với một số nguyên, ta có thể viết hỗn số dưới dạng một tổng của một số nguyên và một phân số.
Ví dụ:
$2\dfrac{1}{3}.2 = \left( {2 + \dfrac{1}{3}} \right).2 = 2.2 + \dfrac{1}{3}.2 = 4 + \dfrac{2}{3} = 4\dfrac{2}{3}$
$6\dfrac{2}{5}:2 = \left( {6 + \dfrac{2}{5}} \right):2 = 6:2 + \dfrac{2}{5}:2 = 3 + \dfrac{1}{5} = 3\dfrac{1}{5}.$
+ Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn.
+ Nếu hai phần nguyên bằng nhau thì hỗn số nào có phần phân số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây
Dưới đây là một vài câu hỏi có thể liên quan tới câu hỏi mà bạn gửi lên. Có thể trong đó có câu trả lời mà bạn cần!
Cách 1: Chuyển hỗn số về phân số
Muốn cộng (hoặc trừ) hai hỗn số, ta chuyển hai hỗn số về dạng phân số rồi cộng (hoặc) trừ hai phân số vừa chuyển đổi.
Ví dụ:
$\begin{array}{l}a)\,\,2\dfrac{1}{3} + 1\dfrac{1}{6} = \dfrac{7}{3} + \dfrac{7}{6} = \dfrac{{14}}{6} + \dfrac{7}{6} = \dfrac{{21}}{6} = \dfrac{7}{2}\\b)\,\,3\dfrac{1}{2} - 1\dfrac{3}{5} = \dfrac{7}{2} - \dfrac{8}{5} = \dfrac{{35}}{{10}} - \dfrac{{16}}{{10}} = \dfrac{{19}}{{10}}\end{array}$
Cách 2: Tách hỗn số thành phần nguyên và phần phân số
Ví dụ:
$2\dfrac{1}{3} + 1\dfrac{1}{6} = 2 + \dfrac{1}{3} + 1 + \dfrac{1}{6} = 2 + 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = 3 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{{18}}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{{21}}{6} = \dfrac{7}{2}$
6. Phép nhân, chia hỗn số
Muốn nhân (hoặc chia) hai hỗn số, ta chuyển hai hỗn số về dạng phân số rồi nhân (hoặc chia) hai phân số vừa chuyển đổi.
Ví dụ:
$\begin{array}{l}a)\,\,1\dfrac{4}{5} \times 3\dfrac{2}{7} = \dfrac{9}{5} \times \dfrac{{23}}{7} = \dfrac{{207}}{{35}}\\b)\,\,3\dfrac{3}{4}:1\dfrac{1}{2} = \dfrac{{15}}{4}:\dfrac{3}{2} = \dfrac{{15}}{4} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{{{{\not{{15}}}_5} \times {{\not{2}}_1}}}{{{{\not{4}}_2} \times {{\not{3}}_1}}} = \dfrac{5}{2}\end{array}$
Cách 1: Chuyển hỗn số về phân số
Muốn so sánh hai hỗn số, ta chuyển hai hỗn số về dạng phân số rồi so sánh hai phân số vừa chuyển đổi.
Ví dụ: So sánh hai hỗn số $2\dfrac{3}{5}$ và $2\dfrac{2}{3}$
Cách giải:
Ta có: $2\dfrac{3}{5} = \dfrac{{2 \times 5 + 3}}{5} = \dfrac{{13}}{5};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2\dfrac{2}{3} = \dfrac{{2 \times 3 + 2}}{3} = \dfrac{8}{3}$
Quy đồng mẫu số hai phân số ta có:
$\dfrac{{13}}{5} = \dfrac{{13 \times 3}}{{5 \times 3}} = \dfrac{{39}}{{15}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{8}{3} = \dfrac{{8 \times 5}}{{3 \times 5}} = \dfrac{{40}}{{15}}$
Vì $\dfrac{{39}}{{15}} < \dfrac{{40}}{{15}}$ nên $\dfrac{{13}}{5} < \,\,\dfrac{8}{3}$
Vậy $2\dfrac{3}{5} < \,\,2\dfrac{2}{3}$
Cách 2: So sánh phần nguyên và phần phân số
Khi so sánh hai hỗn số:
- Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn và ngược lại hỗn số nào có phần nguyên nhỏ hơn thì hỗn số đó nhỏ hơn
- Nếu hai phần nguyên bằng nhau thì ta so sánh phần phân số, hỗn số nào có phần phân số lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn.
Ví dụ: So sánh các hỗn số sau:
a) $3\dfrac{1}{3}$ và $1\dfrac{5}{6}$
b) $5\dfrac{3}{8}$ và $5\dfrac{1}{2}$
Cách giải:
a) Ta có: hỗn số $3\dfrac{1}{3}$ có phần nguyên là \(3\) và hỗn số $1\dfrac{5}{6}$ có phần nguyên là \(1\).
Vì \(3 > 1\) nên $3\dfrac{1}{3} > 1\dfrac{5}{6}$.
b) Hai hỗn số $5\dfrac{3}{8}$ và $5\dfrac{1}{2}$đều có phần nguyên là 5. Ta sẽ so sánh hai phần phân số của hai hỗn số là $\dfrac{3}{8}$ và $\dfrac{1}{2}$.
Ta có: $\dfrac{1}{2} = \dfrac{{1 \times 4}}{{2 \times 4}} = \dfrac{4}{8}$
Vì $\dfrac{3}{8} < \dfrac{4}{8}$ nên $\dfrac{3}{8} < \dfrac{1}{2}$
Do đó $5\dfrac{3}{8} < 5\dfrac{1}{2}$.
- Hỗn số là sự biểu diễn ngắn gọn về tổng của một số tự nhiên với một phân số nhỏ hơn 1
- Hỗn số gồm hai thành phần là phần nguyên và phần phân số.
Ví dụ: $3 \frac{1}{5}$ có phần nguyên là 3, phần phân số là $\frac{1}{5}$
- Phần phân số của hỗn số luôn nhỏ hơn 1
(vì nếu phần phân số lớn hơn 1 thì phần nguyên sẽ tăng lên)
- Một hỗn số có thể được viết dưới dạng tổng của phần nguyên + phần phân số:
Ví dụ: $3 \frac{1}{5}= 3 + \frac{1}{5}$
2. Đọc, viết hỗn số
- Khi đọc hỗn số ta đọc phần nguyên kèm theo từ "và" , rồi đọc phần phân số.
Hoặc cũng có thể không đọc từ "và" nhưng ngắt hơi bởi dấu phẩy.
Ví dụ: $2 \frac{1}{3}$ đọc là: Hai và một phần ba (hoặc hai, một phần ba)
- Khi viết hỗn số ta viết phần nguyên rồi viết phần phân số
Ví dụ : Hỗn số "ba, hai phần bảy" viết là: $3 \frac{2}{7}$
3. Cách chuyển đổi một hỗn số thành phân số
- Có thể viết dưới dạng công thức như sau:
Tử số = (phần nguyên x mẫu số) + tử số phần phân số
Mẫu số = mẫu số ở phần phân số
Ví dụ: $3\frac{1}{4} = \frac{3\times4+1}{4} = \frac{13}{4} $
- Ứng dụng của cách chuyển đổi này để so sánh hỗn số và thực hiện các phép tính với hỗn số.
4. Cách chuyển đổi một phân số thành hỗn số
- Cách chuyển như sau:
Bước 1: Thực hiện phép chia tử số cho mẫu số
Bước 2: Giữ nguyên mẫu số của phần phân số
Bước 3: Tử số = số dư của phép chia tử số cho mẫu số
Bước 4: Phần nguyên = thương của phép chia tử số cho mẫu số
Ví dụ: Chuyển phân số $\frac{23}{3}$ thành hỗn số
Ta có: 23 : 3 = 7 (dư 2)
Vậy $\frac{23}{3}$ = $7\frac{2}{3}$
- Ứng dụng của cách chuyển đổi này để giúp học sinh dễ dàng chuyển từ phân số sang số thập phân sau này.
5. So sánh hỗn số
Cách 1: Chuyển hỗn số về phân số
Muốn so sánh hai hỗn số, ta chuyển hai hỗn số về dạng phân số rồi so sánh hai phân số vừa chuyển đổi.
Ví dụ: So sánh hai hỗn số $2\frac{3}{5}$ và $2\frac{2}{3}$
Ta có: $2\frac{3}{5} = \frac{2\times5+3}{5} = \frac{13}{5} $
$2\frac{2}{3} = \frac{2\times3+2}{3} = \frac{8}{3} $
$\frac{13}{5} = \frac{13\times3}{5\times3} = \frac{39}{15} $
$\frac{8}{3} = \frac{8\times5}{3\times5} = \frac{40}{15} $
Vì $\frac{39}{15} < \frac{40}{15}$ Nên $\frac{13}{5} < \frac{8}{3}$
Vậy $2\frac{3}{5}$ < $2\frac{2}{3}$
Cách 2: So sánh phần nguyên trước, rồi so sánh phần phân số
- Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì lớn hơn
- Hỗn số nào có phần nguyên nhỏ hơn thì nhỏ hơn
- Nếu hai phần nguyên bằng nhau thì ta so sánh phần phân số, hỗn số nào có phần phân số lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại hỗn số nào có phần phân số nhỏ hơn thì nhỏ hơn.
Ví dụ 1: So sánh hai hỗn số $1\frac{1}{5}$ và $2\frac{1}{3}$
Ta thấy: Hỗn số $1\frac{1}{5}$ có phần nguyên là 1
Hỗn số $2\frac{1}{3}$ có phần nguyên là 2
Vì 1 < 2 nên $1\frac{1}{5}$ < $2\frac{1}{3}$
Ví dụ 2: So sánh hai hỗn số $3\frac{1}{4}$ và $3\frac{2}{7}$
Ta thấy: 2 hỗn số $3\frac{1}{4}$ và $3\frac{2}{7}$ đều có phần nguyên là 3
Nên ta so sánh đến phần phân số của hai hỗn số là: $\frac{1}{4}$ và $\frac{2}{7}$
$\frac{1}{4} = \frac{1\times7}{4\times7} = \frac{7}{28} $ ;
$\frac{2}{7} = \frac{2\times4}{7\times4} = \frac{8}{28} $
Vì $\frac{7}{28} <\frac{8}{28}$ nên $\frac{1}{4}$ < $\frac{2}{7}$
Vậy $3\frac{1}{4}$ < $3\frac{2}{7}$
6. Phép cộng, trừ hỗn số
Cách 1: Chuyển hỗn số về phân số
Muốn cộng (hoặc trừ hai hỗn số) ta chuyển hai hỗn số về dạng phân số, rồi cộng (hoặc trừ) hai phân số vừa chuyển đổi.
Ví dụ: $2 \frac{1}{3} + 1\frac{1}{6} = \frac{7}{3} + \frac{7}{6} $
$= \frac{14}{6} + \frac{7}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$
$3 \frac{1}{2} - 1\frac{3}{5} = \frac{7}{2} - \frac{8}{5}$
$ = \frac{35}{10} - \frac{16}{10} = \frac{19}{10}$
Cách 2: Tách hỗn số thành phần nguyên và phần phân số
Ví dụ: $2 \frac{1}{3} + 1\frac{1}{6} = 2+ \frac{1}{3} + 1+\frac{1}{6} $
$= 3+ \frac{1}{3} + \frac{1}{6} $
$= \frac{18}{6} + \frac{2}{6}+\frac{1}{6} $
$= \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$
$3 \frac{1}{2} - 1\frac{3}{5} = 3 +\frac{1}{2} - (1+\frac{3}{5}) $
$= \frac{30}{10} + \frac{5}{10} - \frac{10}{10}-\frac{6}{10}$
$ = \frac{19}{10}$
7. Phép nhân, chia hỗn số
Muốn nhân (hoặc chia) hai hỗn số, ta chuyển hai hỗn số về dạng phân số rồi nhân (hoặc chia) hai phân số vừa chuyển đổi.
Ví dụ: $2 \frac{1}{4} \times 3\frac{2}{5} = \frac{9}{4} \times \frac{17}{5} = \frac{153}{20}$
$1 \frac{1}{5} : 1\frac{1}{3} = \frac{6}{5} : \frac{4}{3} = \frac{6}{5}\times\frac{3}{4}$
$= \frac{18}{20}= \frac{9}{10}$