Cách vẽ đồ thị hàm số y=(ax+b)/(cx+d)

Lời giải của GV Vungoi.vn

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có:

- TCĐ $x =  - \dfrac{d}{c} < 0 \Rightarrow cd > 0$

- TCN $y = \dfrac{a}{c} > 0 \Rightarrow ac > 0$

$ \Rightarrow ac.cd > 0 \Rightarrow ad > 0 \Rightarrow $Loại A, B.

- $y' = \dfrac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}} > 0 \Rightarrow ad > bc$

- Cắt $Oy:x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{b}{d} < 0 \Rightarrow bd < 0$

- Cắt $Ox:y = 0 \Rightarrow x =  - \dfrac{b}{a} > 0 \Rightarrow ab < 0$

Vì $ac > 0;ab < 0$ nên $ac.ab < 0 \Rightarrow bc < 0 \Rightarrow $ Loại D

Loading Preview

Sorry, preview is currently unavailable. You can download the paper by clicking the button above.

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Tiệm cận của đồ thị hàm số y = (ax + b)/(cx + d), nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Tiệm cận của đồ thị hàm số y = (ax + b)/(cx + d): Tiệm cận của đồ thị hàm số y. Phương pháp giải. Để tồn tại các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = g thì c # 0 và ad – bc + 0. Khi đó phương trình các đường tiệm cận là. Tiệm cận đứng x = -4. Tiệm cận ngang y. Bài tập 1: Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số y có đường tiệm cận ngang y = 3. Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là -m(2m – 1) – 1. Phương trình đường tiệm cận ngang là y = 2m – 1 nên có 2m – 1= 32m = 2. Bài tập 2: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y có tiệm cận đứng là. Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là. Bài tập 3. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y không có tiệm cận đứng là. Điều kiện để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là. Bài tập 4: Cho hàm số y = 1. Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A(0; -1) và có đường tiệm x + 1 cận ngang là y = 1. Giá trị a + b bằng. Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a – b. Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; -1) nên b = -1. Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = a = 1 (thỏa mãn điều kiện). Vậy a + b = 0. Bài tập 5: Biết rằng đồ thị của hàm số y = (a -3)x + a + 2019 nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và x – (b + 3) trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của a + b bằng. Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là. Phương trình các đường tiệm cận là. Vậy a + b = 0. Bài tập 6: Giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y. Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là m – 2 + 0 + m + 2. Đường tiệm cận đúng là x.

Bài tập 7: Cho hàm số y với tham số m. Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng nào dưới đây? Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là. Phương trình các đường tiệm cận là x = 2m; y = m nên tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là I(2m; m) thuộc đường thẳng x = 2y. Bài tập 8: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y có tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung là điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là. Phương trình đường tiệm cận đứng là x = m. Để tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì m > 0.

Tập xác định $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{d}{c} \right\}$

Đạo hàm ${y}'=\frac{ad-bc}{cx+d},\,\,\,\forall x\ne -\frac{d}{c}$ suy ra:

- Nếu $ad-bc>0\to $ hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

- Nếu $ad-bc<0\to $ hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

2. Giới hạn, tiệm cận của hàm phân thức

- $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{a}{c}\to y=\frac{a}{c}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

- $\underset{x\to -\frac{d}{c}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\frac{d}{c}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ax+b}{cx+d}=\infty \to y=-\frac{d}{c}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

3. Bảng biến thiên hàm bậc nhất trên bậc nhất

4. Đồ thị hàm số phân thức

Đồ thị hàm số nhận $I\left( -\frac{d}{c};\frac{a}{c} \right)$ là giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

5. Phương pháp giải toán

Để nhận diện hàm số phân thức bậc nhất: $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ $\left( c\ne 0 \right)$ ta làm như sau:

Dựa vào các đường tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}$ và tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}$ .

Dựa vào giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm $\left( \frac{-b}{a};0 \right)$ và giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm $\left( 0;\frac{b}{d} \right)$ .

Chú ý: Với các bài toán xác định dấu của $a,b,c,d$ ta có thể chọn $a>0$ (vì $y=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{-ax-b}{-cx-d}$) từ đó suy ra dấu của $b,c,d$.

–o0o–

Hàm nhất biến :

bài 49 trang 49 nc :

Cho hàm số

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) chứng minh rằng giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị

Giải.

1)      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) :

MXĐ : D = R \ { }

Đạo hàm : y’ = > 0

Giới hạn :

;

Tiện cận đứng : x =

;

Tiện cận ngang : y = 1/2

Bảng biến thiên :

kết luận :

hàm số tăng trên D.

hàm số nhận I(-1/2, 1/2) là tâm đối xứng của đồ thị.

Các điểm đặc biệt :

Giao trục hoành : y = 0 => x = 2 => A(2, 0)

Giao trục tung : x = 0 => y = -2 => B(0, -2)

Đồ thị :

b) I(-1/2, 1/2) tâm đối xứng của đồ thị :

chuyển hệ trục Oxy về hệ trục IXY, ta có :

(*)

Thế (*) vào (C), ta được :

Xét : f(-X) = = -f(X)

=>  hàm số f(X) hàm số lẽ, nên nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

=> hàm số f(x) nhân I làm tâm đối xứng.

HÀM SỐ HỮU TỈ :

Cho hàm số

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2) chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

3) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận phương trình sau :

Giải.

1)      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) :

MXĐ : D = R \ {-2 }

Đạo hàm : y’ =

Cho y’ = 0 <=> 2x2 + 8x + 6 = 0 <=> x1 = -1 v x2 = -3

Khi x1 = -1 => y1 = 1

Khi x2 = -3 => y2 = -7

Giới hạn :

;

;

Tiện cận đứng : x = -2

Tiện cận xiên : y = 2x + 1

Bảng biến thiên :

kết luận :

• hàm số đồng biến trong khoảng(-∞; -3) và (-1; +∞)
• hàm số nghịch biến trong khoảng (-3; -1)\{-2}
• hàm số đạt cực đại tại A ( -3; -7)
• hàm số đạt cực tiểu tại B(-1; 1)

Các điểm đặc biệt :

Giao trục tung : x = 0 => y = 2 => B(0, 2)

Đồ thị :

2) tâm đối xứng của đồ thị :

giao điểm tiện cận đứng và tiện cận xiên : x = -2 => y = 2.(-2) + 1 = -3 => I(-2; -3).

chuyển hệ trục Oxy về hệ trục IXY, ta có :

(*)

Thế (*) vào (C), ta được :

Xét : f(-X) == -f(X)

=>  hàm số f(X) hàm số lẽ, nên nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

=> hàm số f(x) nhân I làm tâm đối xứng.

3. biện luận nghiệm phương trình : (*)

<=>

Đặt :

y = (C)

y = – m (d)

vị trí tương đối của (C) và (d) :

Kết luận :

• Khi m > 7 v m < -1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
• Khi m = 7 v m = -1 thì phương trình có hai nghiệm kép.
• Khi -1 < m < 7 thì phương trình vô nghiệm.

=================================================

ĐỀ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC :

NĂM 2011 :

ĐÁP ÁN :

ĐẠI HỌC KHỐI A 2011 :

ĐÁP ÁN :

2.m = -1

——————————————————————————-

ĐẠI HỌC KHỐI A 2008 :

———————————————————————————————————

Câu I ĐẠI HỌC KHỐI D 2011 : (2,0 điểm)

Cho hàm số

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau.

ĐÁP ÁN : k =-3.

Câu I ĐẠI HỌC KHỐI b 2010 : (2,0 điểm)

Cho hàm số

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng   (O là gốc tọa độ).

 ĐÁP ÁN : m= ±2.