Đường tiệm cận là một kiến thức quan trọng trong hình học giải tích thuộc chương trình toán lớp 12. Bài viết này chúng ta sẽ tìm hiểu cơ bản về lý thuyết đường tiệm cận và các bài tập từ nhận biết thông hiểu đến vận dụng cao trong các đề thi. Show
Lý thuyết đường tiệm cậnĐường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu hoặc  Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: Các dạng bài tập về đường tiệm cận của hàm sốĐể làm các bài tập về đường tiệm cận thì việc hiểu bản chất và các công thức đường tiệm cận là điều bắt buộc. Dạng 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào định nghĩaPhương pháp giải– Tiệm cận ngang Đường thẳng y = y0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu hoặc – Tiệm cận đứng Đường thẳng x = x0 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: Bài tậpBài tập 1: Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằngA. 2 (đvdt) B. 3 (đvdt) C. 1 (đvdt) D. 4 (đvdt) Hướng dẫn giải Chọn A Tập xác định D = ℝ \{1} Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang là y = 2. Khi đó hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ có các kích thước là 1 và 2 nên có diện tích S = 1․2 = 2 (đvdt) Bài tập 2: Biết các đường tiệm cận của đường cong (C): và trục tung cắt nhau tạo thành một đa giác (H). Mệnh đề nào dưới đây đúng?A. (H) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 8 B. (H) là một hình vuông có diện tích bằng 4 C. (H) là một hình vuông có diện tích bằng 25 D. (H) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10 Hướng dẫn giải Chọn D Tập xác định Ta có ⇒ y = 5 là tiệm cận ngang của (C) ⇒ y = 7 là tiệm cận ngang của (C) ⇒ x = 5 là tiệm cận đứng của (C) Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận là y = 5; y = 7; x = 5 cùng với trục tung tạo thành một hình chữ nhật có kích thước 2 × 5 nên có diện tích bằng 10. Dạng 2: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thứcPhương pháp giảiCho hàm số: Để tồn tại các đường tiệm cận của đồ thị hàm số thì c ≠ 0 và ad – bc ≠ 0 Khi đó phương trình các đường tiệm cận là + Tiệm cận đứng + Tiệm cận ngang Bài tậpBài tập 1: Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 3 làA. m = 1 B. m = 0 C. m = 2 D. m = 3 Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là – m(2m – 1) – 1 ≠ 0 ⇔ 2m2 – m + 1 ≠ 0 ⇒ ∀ x ∈ ℝ Phương trình đường tiệm cận ngang là y = 2m – 1 nên có 2m – 1 = 3 ⇔ m = 2 Bài tập 2: Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng làA. ℝ B. ℝ \{0} C. ℝ \{1} D. ℝ \{0; 1} Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là Bài tập 3. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng làA. ℝ B. C. D. {0} Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là Bài tập 4: Cho hàm số . Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A(0; -1) và có đường tiệm cận ngang là y = 1. Giá trị a + b bằngA. 1 B. 0 C. 3 D. 2 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a – b ≠ 0 Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; -1) nên b = -1 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = a ⇒ a = 1 (thỏa mãn điều kiện) Vậy a + b = 0 Bài tập 5: Biết rằng đồ thị của hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của a + b bằngA. 3 B. -3 C. 6 D. 0 Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là -(a – 3)(b + 3) – (a + 2019) ≠ 0 Phương trình các đường tiệm cận là (thỏa mãn điều kiện) Vậy a + b = 0 Bài tập 6: Giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2) làA. m = 4 B. m = -2 C. m = -4 D. m = 2 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 Đường tiệm cận đứng là (thỏa mãn) Bài tập 7: Cho hàm số với tham số m ≠ 0. Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng nào dưới đây?A. x + 2y = 0 B. 2x + y = 0 C. x – 2y = 0 D. y = 2x Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là -2m2 – 1 ≠ 0 ⇒ ∀ m ∈ ℝ Phương trình các đường tiệm cận là x = 2x; y = m nên tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là I(2m; m) thuộc đường thẳng x = 2y Bài tập 8: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung làA. m > 0 và B. m > 0 C. m > 0 và D. m < 0 Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là -4m + 5 ≠ 0 ⇔ Phương trình đường tiệm cận đứng là x = m Để tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì m > 0 Vậy điều kiện cần tìm là Dạng 3: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỷPhương pháp giải– Tiệm cận của đồ thị hàm số với A là số thực khác 0 và f(x) là đa thức bậc n > 0 – Đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang y = 0 – Đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi và chỉ khi x0 là nghiệm của f(x) hay f(x0) = 0 – Tiệm cận của đồ thị hàm số với f(x), g(x) là các đa thức bậc khác 0 – Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là bậc f(x) ≤ bậc g(x) – Điều kiện để đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x0 là nghiệm của g(x) nhưng không là nghiệm của f(x) hoặc x0 là nghiệm bội n của g(x), đồng thời là nghiệm bội m của f(x) và m < n Bài tậpBài tập 1: Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng làA. m = 8 B. m = 0 C. m ≠ 4 D. m ≠ -8 Hướng dẫn giải Chọn D Tập xác định Đặt g(x) = mx2 – 2x + 1 Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì không là nghiệm của g(x) Bài tập 2: Biết đồ thị hàm số (m, n là tham số) nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng, giá trị của m + n bằngA. 6 B. 10 C. -4 D. -7 Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện: x2 – 2mx + n + 6 ≠ 0 Đặt g(x) = x2 – 2mx + n + 6 Do x = 1 là nghiệm của f(x) = x – 1 nên đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng thì x = 1 phải là nghiệm kép của phương trình Vậy m + n = -4 Bài tập 3: Biết đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Giá trị m + n bằngA. 8 B. 9 C. 6 D. -6 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện x2 + mx + n – 6 ≠ 0 Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 2m – n ⇒ 2m – n = 0 (1) Đặt f(x) = (2m – n) x2 + mx +1 và g(x) = x2 + mx + n – 6 Nhận thấy f (0) ≠ 0 với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x = 0 là tiệm cận đứng thì g(0) = 0 ⇔ n – 6 = 0 ⇔ n = 6 . Kết hợp với (1) suy ra m = 3. Vậy m + n = 9 Bài tập 4: Cho hàm số có đồ thị (C) (a, b là các số thực dương và ab = 4). Biết rằng (C) có tiệm cận ngang y = c và có đúng một tiệm cận đứng. Giá trị của tổng T = 3a + b – 24c bằngA. 8 B. 9 C. 6 D. 11 Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện 4x2 + bx + 9 ≠ 0 Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là Đồ thị (C) có một tiệm cận đứng nên ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: Phương trình 4x2 + bx + 9 = 0 có nghiệm kép x = x0 và không là nghiệm của ax2 + bx + 1 = 0⇔ b2 – 144 = 0 ⇔ b = ±12 Vì b > 0 nên b = 12 Thử lại ta có hàm số (thỏa mãn) Vậy Trường hợp 2: 4x2 + bx + 9 = 0 có hai nghiệm phân biệt và một trong hai nghiệm thỏa mãn ax2 + bx – 1 = 0. Điều này không xảy ra vì ab = 4. Chú ý: a, b > 0 nên mẫu số (nếu có) hai nghiệm đều âm, tử số hai nghiệm trái dấu. Dạng 4. Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷPhương phápCho hàm số vô tỷ y = f(x) Tìm tập xác định D của hàm số. Để tồn tại tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) thì trong tập xác định D của hàm số phải chứa ít nhất một trong hai kí hiệu -∞ hoặc +∞ và tồn tại ít nhất một trong hai giới hạn hoặc hữu hạn. Bài tậpBài tập 1: Biết đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = -1. Giá trị 2a + b3 bằngA. 56 B. -56 C. -72 D. 72 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện ax2 + bx + 4 ≥ 0 Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì a > 0 Khi đó, ta có Vậy 2a + b3 = -56 Chú ý: Để thì bậc tử phải bằng bậc mẫu nên phải có a – 4 = 0. Khi đó Bài tập 2: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = 2?A. 0 B. Vô số C. 1 D. 2 Hướng dẫn giải Chọn D Tập xác định Ta có Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = 2 Dạng 5: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x), xác định tiệm cận của đồ thị hàm số với A là số thực khác 0, g(x) xác định theo f(x)Phương pháp giảiXác định tiệm cận đứng: Số tiệm cận của đồ thị hàm số là số nghiệm của phương trình g(x) = 0 Dựa vào đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x) để xác định số nghiệm của phương trình g(x) để suy ra số đường tiệm cận đứng. Xác định tiệm cận ngang: dựa vào nhánh vô tận của đồ thị, bảng biến thiên của hàm số để xác định. Bài tậpBài tập 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.Tổng số đường tiệm cận của hàm số A. 2 B. 3 C. 1 D. 4 Hướng dẫn giải Chọn D Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình f(x) + 1 = 0 ⇔ f(x) = -1 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có hai nghiệm phân biệt nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng. Ta có nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận ngang là Vậy đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận. Bài tập 2. Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là A. 2 B. 4 C. 3 D. 1 Hướng dẫn giải Chọn A Đặt t = x3 + x , ta có khi x → -∞ thì t → -∞ và khi x → +∞ thì t → +∞ Mặt khác ta có t’ = 3x2 + 1 > 0, ∀ x ∈ ℝ nên với mọi t ∈ ℝ phương trình x3 + x = t có duy nhất một nghiệm x. Số đường tiệm cận đứng của đồ thị là số nghiệm của phương trình f(t) + 3 = 0 ⇔ f(t) = -3 Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có duy nhất một nghiệm nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng. Ta có nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là y = 0 Vậy đồ thị có hai đường tiệm cận. Bài tập 3. Cho hàm số bậc ba f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d ∈ ℝ)có đồ thị như hình vẽ dưới đây.Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt t = 4 – x2, ta có khi x → ±∞ thì t → -∞ Khi đó nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số g(x). Mặt khác f (4 – x2) – 3 = 0 ⇔ f (4 – x2) = 3 ⇔ ⇒ Đồ thị hàm số g(x) có ba đường tiệm cận đứng. Vậy đồ thị hàm số g(x) có bốn đường tiệm cận. Dạng 6: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x), xác định tiệm cận của đồ thị hàm số với φ(x) là một biểu thức theo x, g(x) là biểu thức theo f(x)Phương pháp giảiDựa vào đồ thị hàm số y = f(x) tìm nghiệm của phương trình g(x) = 0 và xác định biểu thức g(x) Rút gọn biểu thức và tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang. Chú ý: – Điều kiện tồn tại của φ(x) – Sử dụng tính chất nếu đa thức g(x) có nghiệm là x = x0 thì g(x) = (x – x0)․g1(x), ở đó g1(x) là một đa thức. Bài tậpBài tập 1. Cho hàm số bậc ba f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ.Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? A. 4 B. 6 C. 3 D. 5 Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện xác định Xét phương trình Dựa vào đồ thị ta thấy – Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x = x1 < 1 (loại) và x = 2 (nghiệm kép) – Phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt x = 1, x = x2 ∈ (1; 2), x = x3 > 2. Khi đó f2(x) – f(x) = f(x) [f(x) – 1 ] = a2(x – x1)(x – 2)2(x – 1)(x – x2)(x – x3) Suy ra Trong đó x1 < 1, x2 ∈ (1; 2), x3 > 2 nên đồ thị hàm số y = g(x) có ba tiệm cận đứng là x = 2; x = x2; x = x3 Bài tập 2. Cho hàm số bậc ba f(x) = ax3 + bx2 + cx + d có đồ thị như hình vẽ dưới đây.Đặt . Đồ thị hàm số y = g(x) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? A. 4 B. 2 C. 5 D. 3 Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện xác định Ta có Dựa vào đồ thị ta có f(x) = 0 có hai nghiệm x = x1 < 0 và x = 1 (nghiệm kép). Vậy biểu thức f2(x) – 2f(x) = f(x) [f(x) – 2] = a2(x – x1)(x – 1)2x(x – x2)(x – x3) Khi đó ta có Vậy đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận đứng. Bài tập 3. Cho f(x) là hàm đa thức bậc 6 có bảng biến thiên như sauĐồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện Ta có (x – 3)(x2 – 4x + 3) = (x – 3)2(x – 1); f’(x)․[f(x) – 2] = 0 Dựa vào bảng biến thiên, ta có f’(x) = 0 có nghiệm là x = 1; x = 2 (nghiệm kép); x = 3 (nghiệm kép) ⇒ f’(x) = a(x – 1)(x – 2)2(x – 3 )2 với a > 0 f(x) = 2 có hai nghiệm nên f(x) = (x – x1)(x – x2)․p(x) với p(x) là một đa thức bậc 4 và p(x) > 0, ∀ x ∈ ℝ Khi đó Vậy đồ thị hàm số y = g(x) có ba đường tiệm cận đứng. Chú ý: Do f(x) là hàm đa thức bậc 6 nên f’(x) là hàm đa thức bậc 5. Bài tập 4. Cho hàm số y = f(x) là hàm đa thức bậc 6 thỏa mãn 3f(1) – 2 < 0 và 3f(a) – a3 + 3a > 0, ∀ a > 2. Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ.Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 Hướng dẫn giải Chọn B. Đặt h(x) = 3 f(x + 2) – x3 + 3x. Điều kiện h(x) ≠ 0 Ta có h’(x) = 3 f’(x + 2) –3x2 + 3 h’(x) = 0 ⇔ f’(x + 2) = x2 – 1 Đặt t = x + 2 , ta được f’(t) = t2 -4t + 3 (*) Vẽ đồ thị hàm số y = t2 -4t + 3 vào cùng hệ trục có đồ thị hàm số y = f’(t) ta được hình vẽ sau Dựa vào đồ thị ta thấy (*) có ba nghiệm là t = 1; t = 3; t = a > 4 Suy ra phương trình h’(x) = 0 có nghiệm đơn x=x-1; x= 1; x = a – 2 = b > 2 Ta có bảng biến thiên của h(x) như sau Vì h (-1) = 3 f(1) – 2 < 0 Và h (b) = 3 f(a) – (a – 2)2 + (a – 2)3 + 3(a – 2) = 3 f(a) – a3 + 6a2 – 12a + 2 > 0 với mọi a > 4 nên phương trình h(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x = x1 < -1; x = x2 ∈ (-1;1) Vậy đồ thị hàm số y = g(x) có hai tiệm cận đứng. Dạng 7: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức , với f(x) và g(x) là các đa thứcPhương pháp giảiĐiều kiện đề đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi và chỉ khi bậc f(x) ≤ bậc g(x). Khi đó đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận ngang. Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = x0 Trường hợp 1: x = x0 là nghiệm của phương trình g(x) = 0 nhưng không là nghiệm của phương trình f(x) = 0. Trường hợp 2: x = x0 là nghiệm bội n của phương trình g(x) = 0, đồng thời là nghiệm bội m của phương trình f(x) = 0 thì n > m. Ta có f(x) = (x – x0)m․f1(x) với f1(x) không có nghiệm x = x0 và g(x) = (x – x0)n․g1(x) với g1(x) không có nghiệm x = x0. Khi đó Nên x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Bài tậpBài tập 1. Gọi S là tập các giá trị nguyên dương của tham số m để đồ thị hàm số có ba tiệm cận. Tổng các giá trị của tập S bằngA. 6 B. 19 C. 3 D. 15 Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện x2 + 2x + m2 – 3m ≠ 0 Ta có đồ thị hàm số luôn có một tiệm cận ngang y = 0 Số đường tiệm cận đứng của hàm số đã cho là số nghiệm khác -2 của phương trình x2 + 2x + m2 – 3m = 0 nên để đồ thị hàm số có ba tiệm cận thì phương trình x2 + 2x + m2 – 3m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác -2. Do m nguyên dương nên m ∈ {1; 2}. Vậy tổng các giá trị của tập S bằng 3. Bài tập 2. Tổng tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận làA. -5 B. 4 C. -1 D. 5 Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện x ≠ 1; x ≠ 2 Vì nên đồ thị luôn có một đường tiệm cận ngang y = 1 với mọi m Ta có x2 – 3x + 2 ⇔ Xét f(x) = x2 + m. Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì f(x) phải nhận x = 1 hoặc x = 2 là nghiệm hay Với m = -1, ta có hàm số nên đồ thị có hai đường tiệm cận là x = 2; y = 1 (thỏa mãn). Với m = -4, ta có hàm số nên đồ thị có hai đường tiệm cận là x = 1; y = 1 (thỏa mãn). Vậy S = {-1; -4} nên tổng các giá trị m bằng -5. Bài tập 3. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số không có đường tiệm cận đứngA. -12 B. 12 C. 15 D. -15 Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện x2 – mx – m + 5 ≠ 0 Đặt f(x) = x2 – 3x + 2, g(x) = x2 – mx – m + 5 Ta có f(x) = 0 ⇔ là nghiệm đơn của tử thức. Để đồ thị không có tiệm cận đứng, ta có các trường hợp sau – Trường hợp 1. Phương trình g(x) = 0 vô nghiệm ∆ = m2 +4m – 20 < 0 ⇔ Do m ∈ ℤ nên m ∈ {-6; -5; …; 2} – Trường hợp 2. f(x) = 0 nhận đồng thời x = 1 và x = 2 làm nghiệm Thử lại, ta có , khi đó đồ thị hàm số y = 1 không có tiệm cận ⇒ loại. Vậy các giá trị nguyên của m để đồ thị không có tiệm cận đứng là m ∈ {-6; -5; …; 2; 3} nên tổng bằng -15. Bài tập 4. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận làA. {-1; 0} B. {0} C. (-∞; -1) ∪ {0} D. (-∞; -1) ∪ (1; +∞) Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện Với m = 0, hàm số có dạng Đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận ngang y = 0 Do đó m = 0 là một giá trị cần tìm. Với m ≠ 0 Ta có nên đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang y = 0 Để đồ thị hàm số có đúng một tiệm cận thì + Trường hợp 1. Hai phương trình f(x) = mx2 – 2x + 1 = 0 và g(x) = 4x2 + 4mx + 1 = 0 cùng vô nghiệm ⇒ vô nghiệm + Trường hợp 2. Phương trình (mx2 – 2x + 1)(4x2 + 4mx + 1) = 0 có nghiệm duy nhất là . Khi đó là nghiệm của một trong hai phương trình f(x) = 0 hoặc g(x) = 0 Do m ≠ 0 nên m = -1. Thử lại, với m = -1 thì hàm số là Khi đó, đồ thị hàm số đã cho có các tiệm cận đứng là không thỏa mãn. Vậy tập hợp tham số m cần tìm là m ∈ {0} Dạng 8: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa căn thứcPhương pháp giảiThực hiện theo các bước sau – Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. – Bước 2. Xác định các đường tiệm cận. Tiệm cận ngang + Điều kiện cần: Để đồ thị hàm số chứa căn thức có tiệm cận ngang thì trong tập xác định phải có các khoảng (-∞; a) hoặc (b; +∞). + Điều kiện đủ là: Tồn tại một trong các giới hạn hoặc thì đường thẳng y = a hoặc y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. Tiệm cận đứng: Tồn tại giá trị x0 để một trong các giới hạn hoặc thì x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Bài tậpBài tập 1. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đúng ba tiệm cận làA. B. m > 0 C. D. ∀ m ∈ ℝ Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì m > 0 Khi đó tập xác định của hàm số là Nếu m ≤ 0 thì mx2 – 4 < 0 Ta có nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là Để tồn tại tiệm cận đứng x = 3 thì Kết hợp lại ta có Bài tập 2. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận làA. m ∈ ℝ B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện Tập xác định D = (-∞; -3] ∪ [0; +∞) \ {1; -m – 2} Ta có , ∀ m ∈ D ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì phải có một đường tiệm cận đứng. Với m = – 3 thì D = (-∞; -3] ∪ [0; +∞) \ {1} Khi đó, ta có hàm số Do đó nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ⇒ m = -3 thỏa mãn. Với m ≠ -3, ta có ⇒ x = 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Để đường x = -m – 2 là tiệm cận đứng thì Khi đó (tùy theo m) nên x = -m – 2 là tiệm cận đứng Kết hợp cả hai trường hợp, ta có Bài tập 3. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang làA. m > 1 B. 0 < m < 1 C. m = 1 D. m = -1 Hướng dẫn giải Chọn C Trường hợp 1. Với m = 0 thì hàm số là y = x + 1 nên đồ thị không có tiệm cận ngang. Do đó m = 0 không phải giá trị cần tìm. Trường hợp 2. Với m < 0 thì hàm số có tập xác định là nên không tồn tại và ⇒ đồ thị không có tiệm cận ngang. Do đó m < 0 không phải giá trị cần tìm. Trường hợp 3. Với m > 0 thì hàm số có tập xác định là D = ℝ Xét Xét Để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì 1 – m = 0 ⇔ m = 1 Bài tập 4. Tập tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số có bốn đường tiệm cận phân biệt làA. (0; +∞) B. C. D. \ {1} Hướng dẫn giải Chọn D. Điều kiện mx2 – 3mx + 2 > 0 (*) – Trường hợp 1. Với m = 0 , ta có nên đồ thị không có đường tiệm cận. Do đó m = 0 không phải giá trị cần tìm. – Trường hợp 2. Với m < 0. Phương trình mx2 – 3mx + 2 = 0 có ∆ = 9m2 – 8m > 0, ∀ m < 0 nên mx2 – 3mx + 2 > 0 ⇔ x ∈ [x1; x2] (với x1, x2 là là hai nghiệm của phương trình mx2 – 3mx + 2 = 0) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang, chỉ có tối đa hai tiệm cận đứng. Nếu ∆ ≤ 0 thì hàm số có tập xác định là D = ∅ Do đó m < 0 không phải giá trị cần tìm. – Trường hợp 3. Với m > 0. Xét phương trình mx2 – 3mx + 2 = 0 Nếu ∆ = 9m2 – 8m < 0 ⇔ . Hàm số xác định trên ℝ. Khi đó mx2 – 3mx + 2 > 0, ∀ x ∈ ℝ nên đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng mà chỉ có hai tiệm cận ngang là vì Nếu ∆ = 9m2 – 8m = 0 ⇔ . Khi đó, hàm số trở thành nên đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng và hai tiệm cận ngang. Nếu ∆ = 9m2 – 8m > 0 ⇔ . Hàm số xác định trên các khoảng (-∞; x1) và (x2; +∞). Khi đó đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là . Để đồ thị hàm số đã cho có bốn đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có hai đường tiệm cận đứng. Vì x = 1 là nghiệm của tử f(x) = x – 1 nên để đồ thị có hai tiệm cận đứng thì x = 1 không phải là nghiệm của phương trình mx2 – 3mx + 2 = 0 ⇔ m – 3m + 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 Vậy giá trị của m cần tìm là . Nếu x = 1 là nghiệm của phương trình g(x) = 0 do phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt nên phương trình g(x) = 0 có một nghiệm nữa x = a ≠ 1 thì g(x) = m(x – 1)(x – a). Khi đó hàm số có dạng nên chỉ có một tiệm cận Bài tập 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng?A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện Đặt f(x) = x2 – (1 – m) x + 2m Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ≥ -1 – Trường hợp 1. f(x) có nghiệm x = -1 ⇔ f (-1) = 0 ⇔ m = -2 Khi đó hàm số có dạng có tập xác định là D = (4; +∞) nên chỉ có một tiệm cận đứng. – Trường hợp 2. f(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 > -1 ⇔ Do m ∈ ℤ nên m = -1; m = 0 Dạng 9: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm ẩnBài tập 1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và y = f’(x) có bảng biến thiên như sauĐồ thị hàm số có nhiều nhất bao nhiêu đường tiệm cận đứng? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện f(x) ≠ m Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng thì phương trình f(x) = m phải có nghiệm. Từ bảng biến thiên của hàm số y = f’(x) suy ra phương trình f’(x) = 0 có đúng hai nghiệm là với -1 < a < 1 < b Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = f(x) như sau Suy ra phương trình y = f(x) có nhiều nhất là ba nghiệm phân biệt. Vậy đồ thị hàm số có nhiều nhất ba đường tiệm cận đứng. Bài tập 2. Cho hàm số với h(x) = mx4 + nx3 + px2 + qx (m, n, p, q ∈ ℝ, m ≠ 0), h (0) = 0. Hàm số y = h’(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số g(x) có hai tiệm cận đứng? A. 2 B. 11 C. 71 D. 2019 Hướng dẫn giải Chọn B. Từ đồ thị suy ra h’(x) = m(x + 1)(4x – 5)(x – 3) = m(4x3 – 13x2 – 2x + 15) và m < 0 Nên do h (0) = 0 Đồ thị g(x) có hai đường tiệm cận đứng ⇔ phương trình h(x) = m2 + m có hai nghiệm phân biệt ⇔ có hai nghiệm phân biệt. Đặt Ta có bảng biến thiên của f(x) như sau Vì m < 0 nên Vậy có 11 số nguyên m. Bài tập 3. Cho hàm số y = f(x) là hàm số bậc 3. Đồ thị hàm số y = f’(x) như hình vẽ dưới đây và f (-1) < 20Đồ thị hàm số (m là tham số thực) có bốn tiệm cận khi và chỉ khi A. m < f (3) B. f (3) < m < f (-1) C. m > f (-1) D. f (3) ≤ m ≤ f (-1) Hướng dẫn giải Chọn B. Điều kiện f(x) ≠ m Từ đồ thị hàm số f’(x), ta có bảng biến thiên hàm số f(x) là Nếu m = 20 thì đồ thị hàm số không có đủ bốn tiệm cận. Nếu m ≠ 20 thì ⇒ Đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Ta có phương trình f(x) = 20 có một nghiệm x = a > 3 vì f (-1) < 20 Suy ra đồ thị hàm số g(x) có bốn tiệm cận khi phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt khác a ⇔ f (3) < m < f (-1) Bài tập 4. Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-2020; 2020] để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang nằm bên dưới đường thẳng y = -1.A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện Do nên khi x → +∞ thì 2f(x) – f2(x) → -∞ vì vậy không có nghĩa khi x đủ lớn. Do đó không tồn tại . Xét . Vì nên ; Từ đó với m ≠ 1 Khi đó đồ thị hàm số g(x) có tiệm cận ngang là đường thẳng Để tiệm cận ngang tìm được ở trên nằm dưới đường thẳng y = -1 thì Vì m ∈ ℤ nên m = 0. Dạng 10: Bài toán liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm sốPhương pháp giảiĐồ thị hàm số có đường tiệm cận khi và chỉ khi ad – bc ≠ 0, c ≠ 0 Khi đó, phương trình đường tiệm cận đứng là Phương trình đường tiệm cận ngang là Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là điểm và cũng là tâm đối xứng của đồ thị. Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số cùng với hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có các kích thước là nên có chu vi là và diện tích là . Bài tậpBài tập 1. Giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng đi qua điểm làA. m = -2 B. m = 2 C. D. m = -1 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ad – bc = m2 + 2 ≠ 0, ∀ m nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng x = Để tiệm cận đứng đi qua điểm thì = -1 ⇔ m = 2 Bài tập 2. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằngA. 3 (đvdt) B. 6 (đvdt) C. 1 (đvdt) D. 2 (đvdt) Hướng dẫn giải Chọn D Phương trình các đường tiệm cận là x = 1; y = 2 Do đó hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật diện tích bằng 1․2 = 2 (đvdt). Bài tập 3. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cùng hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8 làA. m ≠ ±2 B. m = 2 C. D. m = ±4 Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là -2m – m ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 Khi đó phương trình hai đường tiệm cận là x = 1 và y = 2m Theo công thức tính diện tích hình chữ nhật tạo bởi hai tiệm cận và hai trục tọa độ, ta có S = |2m| Theo giả thiết thì |2m| = 8 ⇔ m = ±4 Bài tập 4. Cho đồ thị hai hàm số và với . Tất cả các giá trị thực dương của tham số a để các tiệm cận của hai đồ thị hàm số tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 4 làA. a = 6 B. a = 4 C. a = 3 D. a = 1 Hướng dẫn giải Chọn A Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là x = -1 và y = 2 Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là 2a – 1 ≠ 0 ⇔ Với điều kiện đó thì đồ thị hàm số g(x) có hai đường tiệm cận là x = -2 và y = a Hình chữ nhật được tạo thành từ bốn đường tiệm cận của hai đồ thị trên có hai kích thước là 1 và |a – 2|. Theo giả thiết, ta có |a – 2|․1 = 4 ⇔ Vì a > 0 nên a = 6. Bài tập 5. Cho hàm số có đồ thị (C). Hai đường tiệm cận của (C) cắt nhau tại I. Đường thẳng d: y = 2x + b (b là tham số thực) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Biết b < 0 và diện tích tam giác AIB bằng . Giá trị của b bằngA. -1 B. -3 C. -2 D. -4 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có tọa độ điểm I(1;1) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (*). Khi đó A(x1; 2x1 + b), B(x2; 2x2 + b) Ta có Diện tích tam giác IAB là Theo giả thiết thì Do b < 0 nên b = -4 Chú ý: Với tam giác ABC có thì Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thì Bài tập 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C1) và (C2) lần lượt có phương trình (x – 1)2 + (y – 2)2 = 1 và (x + 1)2 + y2 = 1. Biết đồ thị hàm số đi qua tâm của (C1), đi qua tâm của (C2) và có các đường tiệm cận tiếp xúc với cả (C1) và (C2). Tổng a +b + c làA. 5 B. 8 C. 2 D. -1 Hướng dẫn giải Chọn C Đường tròn (C1) có tâm I1(1; 2); R1 = 1 và (C2) có tâm I2(-1; 0); R2 = 1 Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là ac – b ≠ 0 Gọi (C) là đồ thị hàm số Khi đó ta có các đường tiệm cận (C) là x = -c và y = a Ta có I1, I2 ∈ (C) Đường thẳng x = -c tiếp xúc với cả (C1) và (C2) nên ⇒ a = b = 1 Khi đó tiệm cận ngang của (C) là y = 1 tiếp xúc cới cả (C1) và (C2) thỏa mãn bài toán. Vậy a = b = 1; c = 0 ⇒ a +b + c = 2 Dạng 11: Bài toán về khoảng cách từ điểm trên đồ thị hàm số đến các đường tiệm cậnPhương pháp giảiGiả sử đồ thị hàm số có các đường tiệm cận là Gọi là điểm bất kì trên đồ thị Khi đó và Vậy ta luôn có là một số không đổi Khi đó nên khi d1 = d2 Ví dụ: Xét hàm số có hai đường tiệm cận là x = 1 và y = 2. Khi đó tích các khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên đồ thị đến hai đường tiệm cận là Bài tậpBài tập 1. Gọi M là giao điểm của đồ thị với trục hoành. Khi đó tích các khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho bằngA. 4 B. 2 C. 8 D. 6 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi d1, d2 lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. Áp dụng công thức, ta có Bài tập 2. Cho hàm số (C). Gọi M là điểm bất kỳ trên (C), d là tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị. Giá trị nhỏ nhất của d bằngA. 10 B. 6 C. 2 D. 5 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi d1, d2 lần lượt là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. Áp dụng công thức, ta có Khi đó Vậy dmin = 2 Bài tập 3. Cho hàm số có đồ thị (C). Điểm M có hoành độ dương, nằm trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của (C). Khoảng cách từ M đến tâm đối xứng của (C) bằngA. 5 B. C. D. 4 Hướng dẫn giải Chọn C Giả sử (x0 > 0; x0 ≠ 3) Đồ thị (C) có tiệm cận đứng ∆1: x = 3 , tiệm cận ngang ∆2: y = 3 và tâm đối xứng I(3; 3) Khi đó d1 = d(M; ∆1) = | x0 – 3| và d2 = d(M; ∆2) = Theo giả thiết Vậy M (7; 5) ⇒ IM = Bài tập 4. Cho hàm số có đồ thị (H). Gọi M(x0; y0) với x0 < 0 là một điểm thuộc đồ thị (H) thỏa mãn tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (H) bằng 6. Giá trị của biểu thức S = (x0 + y0)2 bằngA. 4 B. 0 C. 9 D. 1 Hướng dẫn giải Chọn C Đồ thị (H) có tiệm cận ∆1: x = -1 , tiệm cận ngang ∆2: y = 4 Gọi , x0 ≠ -1, x0 < 0 Khi đó d1 = d(M; ∆1) = | x0 + 1| và d2 = d(M; ∆2) = ⇒ d1․d2 = 9 Ta có nên min(d1 + d2) = 6 khi Do x0 < 0 nên M(-4; 7) ⇒ S = 9 Dạng 12: Bài toán liên quan giữa tiếp tuyến và tiệm cận của đồ thị hàm sốPhương pháp giảiGiả sử đồ thị hàm số có đồ thị (C) có các đường tiệm cận là và Gọi là điểm bất kỳ trên đồ thị Khi đó tiếp tuyến của (C) tại M là Gọi A = d ∩ ∆1 B = d ∩ ∆2 Do đó là một số không đổi Do △IAB vuông tại I nên là một số không đổi Ngoài ra, ta có nên M luôn là trung điểm của AB. Ta có các dạng câu hỏi thường gặp sau Câu 1: Tính diện tích tam giác IAB. Câu 2: Tìm điểm M ∈ (C) hoặc viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có Cạnh huyền nhỏ nhất Dấu bằng xảy ra khi IA = IB Chu vi nhỏ nhất Dấu bằng xảy ra khi IA = IB Bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất Dấu bằng xảy ra khi IA = IB Bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất Vậy r lớn nhất khi IA + IB + AB nhỏ nhất và bằng Dấu bằng xảy ra khi IA = IB Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn nhất Gọi H là hình chiếu của I lên d, ta có Dấu bằng xảy ra khi IA = IB Nhận xét: Các câu hỏi trên thì đẳng thức đều xảy ra khi IA = IB nên △IAB vuông cân tại I. Gọi α là góc giữa tiếp tuyến d và tiệm cận ngang ∆2 thì α = (d; ∆2) = (d; Ox) = 45° nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = ±tan 45° = ±1. Vậy các bài toán trong câu 2 ta quy về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc k = 1 hoặc k = -1. Bài tậpBài tập 1. Cho hàm số có đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3 thuộc (C) cắt các đường tiệm cận của (C) tạo thành tam giác có diện tích bằngA. 4 B. C. D. 2 Hướng dẫn giải Chọn D Áp dụng công thức, ta có Bài tập 2. Cho hàm số (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của đồ thị hàm số (C). Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị (C) đạt giá trị lớn nhất bằngA. B. 1 C. D. Hướng dẫn giải Chọn A Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là Gọi A, B là giao điểm của tiếp tuyến d tại M ∈ (C) bất kỳ với hai đường tiệm cận. Khi đó ta có Gọi H là hình chiếu của I trên d, ta có Vậy IHmax = Bài tập 3. Cho hàm số có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận (C). Biết tiếp tuyến ∆ của (C) tại M cắt các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang tại A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Khi đó, diện tích lớn nhất của tam giác tạo bởi ∆ và hai trục tọa độ thuộc khoảng nào dưới đây?A. (28; 29) B. (29; 30) C. (27; 28) D. (26; 27) Hướng dẫn giải Chọn C Ta có Theo lý thuyết thì để diện tích đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB nhỏ nhất thì AB nhỏ nhất. Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến ∆ phải là k = ±1. Do y’ < 0, ∀ x nên k = -1. Xét phương trình Với ⇒ Tiếp tuyến ∆1: Khi đó ∆1 cắt Ox, Oy tại hai điểm và Với ⇒ Tiếp tuyến ∆1: Khi đó ∆1 cắt Ox, Oy tại hai điểm và Bài tập 4. Cho hàm số , gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng m – 2. Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng của đồ thị hàm số tại điểm A(x1; y1) và cắt tiệm cận ngang của đồ thị hàm số tại điểm B(x2; y2). Gọi S là tập hợp các số m sao cho x2 + y1 = -5. Tổng bình phương các phần tử của S bằngA. 4 B. 9 C. 0 D. 10 Hướng dẫn giải Chọn D Điều kiện m – 2 ≠ 2 ⇔ m ≠ 0 Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ∆: x = -2 và tiệm cận ngang ∆’: y = 1 Ta có và Phương trình đường thẳng d là Do đó x2 + y1 = -5 Vậy S = (-3)2 + 12 = 10 Tài liệu hay về đường tiệm cậnBài toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số xuất hiện nhiều trong các đề thi toán lớp 12 và kỳ thi THPTQG. Để giúp các bạn học sinh có thêm nguồn tài liệu tham khảo chất lượng, chúng tôi đã tổng hợp lại một số tài liệu hay về chuyên đề này. Mỗi tài liệu đều có đáp án và phân dạng rõ ràng. #1. Các dạng toán đường tiệm cận của đồ thị hàm số thường gặp trong kỳ thi THPTQG
Mục lục tài liệu: – Dạng 1. Xác định đường tiệm cận thông qua bảng biến thiên – Dạng 2. Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số thông hàm số cho trước – Dạng 3. Định m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thỏa mãn điều kiện cho trước – Dạng 4. Xác định tiệm cận của đồ thị hàm số g[f(x)] khi biết bảng biến thiên hàm số f(x) #2. Tổng ôn tập đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Mục lục tài liệu: – Lý thuyết tiệm cận đứng tiệm cận ngang – Dạng 1: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số thông qua bảng biến thiên và đồ thị. – Dạng 2: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số thông qua hàm số – Dạng 3: Định m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận thỏa mãn điều kiện cho trước – Phần lời giải cho 3 dạng bài tập. #3. Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Mục lục tài liệu: – Lý thuyết đường tiệm cận của hàm số – Dạng 1: Câu hỏi lý thuyết về đường tiệm cận của hàm số – Dạng 2: Xác định đường tiệm cận của hàm số – Dạng 3: Bài toán tham số liên quan đến tiệm cận – Dạng 4: Tiệm cận của đồ thị hàm ẩn – Dạng 5: Các bài toán khác về đường tiệm cận của hàm số #4. Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Mục lục tài liệu: – Lý thuyết về đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. – Lý thuyết về đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. – Một số dạng toán thường gặp liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số. – Bài tập tự luận. #5. Các dạng bài tập trắc nghiệm VDC đường tiệm cận của đồ thị hàm số
Mục lục tài liệu: – Dạng 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào định nghĩa – Dạng 2: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức – Dạng 3: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ – Dạng 4 Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ – Dạng 5: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x), xác định tiệm cận của đồ thị hàm số y = A / g(x) với A là số thực khác 0, g(x) xác định theo f(x). – Dạng 6: Biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số y = f(x) , xác định tiệm cận của đồ thị hàm số y = h(x) / g(x) với h(x) là một biểu thức theo x, g(x) là biểu thức theo f(x) – Dạng 7: Biện luôn số đường tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức y = f(x) / g(x) với f(x) và g(x) là các đa thức. – Dạng 8: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số chứa căn thức – Dạng 9: Biện luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm ẩn – Dạng 10: Bài toán liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = (ax + b) / (cx + d) – Dạng 11: Bài toán về khoảng cách từ điểm trên đồ thị hàm số y = (ax + b) / (cx + d) đến các đường tiệm cận – Dạng 12: Bài toán liên quan giữa tiếp tuyến và tiệm cận của đồ thị hàm số y = (ax + b) / (cx + d) #6. Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tiệm cận của hàm số
Mục lục tài liệu: Dạng 1: Biết đồ thị của hàm số y = f(x), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) trong bài toán không chứa tham số. Dạng 2: Biết đồ thị của hàm số y = f(x), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) trong bài toán chứa tham số. Dạng 3: Biết đồ thị của hàm số y = f(x), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = g(x), trong bài toán không chứa tham số. Dạng 4: Biết đồ thị của hàm số y = f(x), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = g(x), trong bài toán chứa tham số. Dạng 5: Biết BBT của hàm số y = f(x), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) trong bài toán không chứa tham số. Dạng 6: Biết BBT của hàm số y = f(x), tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) trong bài toán chứa tham số. Dạng 7: Biết BBT của hàm số y = f(x) tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = g(x) trong bài toán không chứa tham số. Dạng 8: Biết BBT của hàm số y = f(x) tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = g(x) trong bài toán chứa tham số. Dạng 9: Biết giới hạn của hàm số y = f(x) tại một điểm hoặc tại vô cực, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) trong bài toán không chứa tham số. Dạng 10: Biết giới hạn của hàm số y = f(x) tại một điểm hoặc tại vô cực, tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) trong bài toán chứa tham số. Dạng 11: Biết biểu thức hoặc đồ thị hoặc BBT của hàm số y = f’(x) tìm tiệm cận của hàm số y = g(x). #7. Hướng dẫn giải các dạng toán tiệm cận của đồ thị hàm số
Mục lục tài liệu: – Kiến thức chung – Dạng 1: Bài toán không chứa tham số – Dạng 2: Các bài toán chứa tham số – Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số – Công thức logarit – Công thức nguyên hàm – Tích phân – Số phức Tốt nghiệp cử nhân ngôn ngữ Anh năm 2010, với hơn 10 năm kinh nghiệm trong việc giảng dạy về Tiếng Anh. Nguyễn Võ Mạnh Khôi là một trong những biên tập viên về mảng ngoại ngữ tốt nhất tại VerbaLearn. Mong rằng những chia sẽ về kinh nghiệm học tập cũng như kiến thức trong từng bài giảng sẽ giúp độc giả giải đáp được nhiều thắc mắc. |
