Đối với các định nghĩa khác, xem Vectơ (định hướng).
Trong toán học, vật lý và kỹ thuật, véctơ (tiếng Anh: vector hay Hán-Việt: hướng lượng) là một đoạn thẳng có hướng. Đoạn thẳng này biểu thị phương, chiều, độ lớn (chiều dài của vectơ). Ví dụ trong mặt phẳng cho hai điểm phân biệt A và B bất kì ta có thể xác định được vectơ
A
B
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
trong hình học được đo bằng độ dài đoạn thẳng AB, ký hiệu giống như ký hiệu giá trị tuyệt đối:
|
A
B
|
{\displaystyle |{\overrightarrow {AB}}|}
đọc là độ dài của vectơ AB
Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1, là vectơ quy ước để so sánh.
Ngoài ra, bạn cũng có thể dễ nhận thấy 1 tính chất cộng đơn giản khác của vectơ:
|
A
B
|
{\displaystyle |{\overrightarrow {AB}}|}
+ |
C
D
{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}
| = |AB + CD|
Vectơ-không là vectơ đặc biệt có điểm đầu trùng với điểm cuối. Ký hiệu là
A
A
{\displaystyle {\overrightarrow {AA}}}
hoặc
0
{\displaystyle {\overrightarrow {0}}}
2 vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau
2 vectơ bằng nhau là 2 vectơ cùng hướng (phương song song, cùng chiều) và độ lớn bằng nhau. Véctơ
A
B
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
bằng véctơ
C
D
{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}
được ký hiệu là
A
B
=
C
D
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {CD}}}
.
2 vectơ đối nhau là 2 vectơ ngược hướng (phương song song, ngược chiều) và độ lớn bằng nhau. Vectơ đối của véctơ
A
B
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
là
B
A
{\displaystyle {\overrightarrow {BA}}}
, ta có
A
B
=
B
A
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}=-{\overrightarrow {BA}}}
Vectơ tự do: vectơ có thể di chuyển tịnh tiến đến một điểm bất kì, thực chất là thay thế bởi một vectơ khác bằng với vectơ cũ
Vectơ buộc: vectơ có điểm đầu cố định, không di chuyển được. Trong vật lý, vectơ buộc được dùng để biểu thị các lực tác dụng vào điểm đặt lực.
Trong hệ tọa độ Descartes, vectơ
a
{\displaystyle {\vec {a}}}
có điểm đầu đặt tại gốc hệ tọa độ thì có thể xác định hoàn toàn bằng tọa độ của điểm cuối của nó, là một bộ số thực sắp thứ tự
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,\,y)}
trong mặt phẳng và
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\,y,\,z)}
trong không gian. Trong không-thời gian bốn chiều, tọa độ đó được xác định bằng
(
c
t
,
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (ct,\,x,\,y,\,z)}
trong đó c là tốc độ ánh sáng, t là thời gian.Góc giữa 2 vectơSửa đổi
Cho 2 vectơ
a
0
{\displaystyle {\vec {a}}\neq {\vec {0}}}
và
b
0
{\displaystyle {\vec {b}}\neq {\vec {0}}}
. Từ điểm O vẽ
O
A
=
a
{\displaystyle {\vec {OA}}={\vec {a}}}
và
O
B
=
b
{\displaystyle {\vec {OB}}={\vec {b}}}
. Khi đó
A
O
B
^
{\displaystyle {\widehat {AOB}}}
chính là góc giữa
a
{\displaystyle {\vec {a}}}
và
b
{\displaystyle {\vec {b}}}
. Ký hiệu
(
a
;
b
)
=
A
O
B
^
{\displaystyle ({\vec {a}};{\vec {b}})={\widehat {AOB}}}
Quy ước trong hình học
-
0
(
a
;
b
)
180
{\displaystyle 0^{\circ }\leq ({\vec {a}};{\vec {b}})\leq 180^{\circ }}
- Góc hợp bởi 2 vectơ cùng phương và cùng hướng là
0
{\displaystyle 0^{\circ }}
- Góc hợp bởi 2 vectơ cùng phương và ngược hướng là
180
{\displaystyle 180^{\circ }}
Phép toán trên vectơSửa đổi
Phép cộng vectơ bằng quy tắc hình bình hành (trái) và tam giác (phải)
Phép cộng hai vectơSửa đổi
Quy tắcSửa đổi
Phép cộng hai vectơ: tổng của hai vectơ
A
B
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
và
C
D
{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}
là một vectơ được xác định theo quy tắc:
- Quy tắc 3 điểm: di chuyển vectơ
C
D
{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}
sao cho điểm đầu C của
C
D
{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}
trùng với điểm cuối B của
A
B
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
:
C
B
{\displaystyle C\equiv B}
. Khi đó vectơ
A
D
{\displaystyle {\overrightarrow {AD}}}
có điểm gốc đặt tại điểm A, điểm cuối đặt tại D, chiều từ A đến D là vectơ tổng
- Quy tắc hình bình hành: di chuyển vectơ
C
D
{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}
đến vị trí trùng điểm gốc A của vectơ
A
B
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
. Khi đó vectơ tổng có gốc đặt tại điểm A, có điểm cuối đặt tại góc đối diện trong hình bình hành tạo ra bởi hai vectơ thành phần
A
B
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
và
C
D
{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}
, chiều từ gốc A đến điểm cuối
Tính chất VectơSửa đổi
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}}
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
{\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}})}
- Tính chất của vectơ-không
a
+
0
=
0
+
a
=
a
{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {0}}+{\vec {a}}={\vec {a}}}
- Với 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta có:
A
B
+
B
C
=
A
C
{\displaystyle {\vec {AB}}+{\vec {BC}}={\vec {AC}}}
- I là trung điểm đoạn thẳng AB
A
I
+
B
I
=
0
{\displaystyle \Leftrightarrow {\vec {AI}}+{\vec {BI}}={\vec {0}}}
- G là trọng tâm
A
B
C
{\displaystyle \vartriangle ABC}
G
A
+
G
B
+
G
C
=
0
{\displaystyle \Leftrightarrow {\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}={\vec {0}}}
Hiệu hai vectơSửa đổi
Ta có:
A
B
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
-
C
D
{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}
=
A
B
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
+(-
C
D
{\displaystyle {\overrightarrow {CD}}}
)=.
A
B
{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}
+
D
C
{\displaystyle {\overrightarrow {DC}}}
Quy tắc trừ: Với 3 điểm A, B, C, ta có
A
B
A
C
=
C
B
=
C
A
B
A
{\displaystyle {\vec {AB}}-{\vec {AC}}={\vec {CB}}={\vec {CA}}-{\vec {BA}}}
Tích vectơ với một sốSửa đổi
Quy tắcSửa đổi
- Phép nhân vectơ với một số: tích của vectơ
a
{\displaystyle {\vec {a}}}
với một số thực
r
R
{\displaystyle r\in \mathbb {R} }
là một vectơ có gốc và phương trùng với gốc và phương của
a
{\displaystyle {\vec {a}}}
, cùng chiều nếu
r
>
0
{\displaystyle r>\ 0}
và ngược chiều nếu
r
<
0
{\displaystyle r<\ 0}
, có độ dài bằng
|
r
|
|
a
|
{\displaystyle |r||{\vec {a}}|}
Tính chấtSửa đổi
- Với hai vectơ bất kì, với mọi số h và k, ta có
-
k
(
a
+
b
)
=
k
a
+
k
b
{\displaystyle k({\vec {a}}+{\vec {b}})=k{\vec {a}}+k{\vec {b}}}
-
(
h
+
k
)
a
=
h
a
+
k
a
{\displaystyle (h+k){\vec {a}}=h{\vec {a}}+k{\vec {a}}}
-
h
(
k
a
)
=
(
h
k
)
a
{\displaystyle h(k{\vec {a}})=(hk){\vec {a}}}
-
1.
a
=
a
,
(
1
)
.
a
=
a
{\displaystyle 1.{\vec {a}}={\vec {a}},(-1).{\vec {a}}=-{\vec {a}}}
Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giácSửa đổi
- Nếu K là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có
M
A
+
M
B
=
2
M
K
{\displaystyle {\vec {MA}}+{\vec {MB}}=2{\vec {MK}}}
- Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có
M
A
+
M
B
+
M
C
=
3
M
G
{\displaystyle {\vec {MA}}+{\vec {MB}}+{\vec {MC}}=3{\vec {MG}}}
Điều kiện để hai vectơ cùng phươngSửa đổi
Điều kiện cần để hai vectơ
a
{\displaystyle {\vec {a}}}
và
b
{\displaystyle {\vec {b}}}
(
b
0
)
{\displaystyle ({\vec {b}}\neq 0)}
cùng phương là có một số k để
a
=
k
b
{\displaystyle {\vec {a}}=k{\vec {b}}}
Nếu
a
{\displaystyle {\vec {a}}}
và
b
{\displaystyle {\vec {b}}}
cùng hướng thì
k
=
|
a
b
|
{\displaystyle k=\left\vert {\frac {\vec {a}}{\vec {b}}}\right\vert }
Nếu
a
{\displaystyle {\vec {a}}}
và
b
{\displaystyle {\vec {b}}}
ngược hướng thì
k
=
|
a
b
|
{\displaystyle k=-\left\vert {\frac {\vec {a}}{\vec {b}}}\right\vert }
Tích vô hướng của hai vectơSửa đổi
Quy tắcSửa đổi
- Tích vô hướng () của hai vectơ a và b nhân với cosin của góc α giữa hai vectơ đó
a
b
=
|
a
|
|
b
|
cos
α
{\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \alpha }
Các tính chất của tích vô hướngSửa đổi
- Tính chất giao hoán
a
.
b
=
b
.
a
{\displaystyle {\vec {a}}.{\vec {b}}={\vec {b}}.{\vec {a}}}
- Tính chất phân phối
a
.
(
b
+
c
)
=
a
.
b
+
a
.
c
{\displaystyle {\vec {a}}.({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}.{\vec {b}}+{\vec {a}}.{\vec {c}}}
-
(
k
a
)
.
b
=
k
(
a
.
b
)
=
a
(
k
b
)
{\displaystyle (k{\vec {a}}).{\vec {b}}=k({\vec {a}}.{\vec {b}})={\vec {a}}(k{\vec {b}})}
-
a
2
=
|
a
|
2
{\displaystyle {\vec {a}}^{2}=\left\vert {\vec {a}}\right\vert ^{2}}
-
a
2
0
,
a
2
=
0
a
=
0
{\displaystyle {\vec {a}}^{2}\geq 0,{\vec {a}}^{2}=0\Leftrightarrow {\vec {a}}={\vec {0}}}
- 2 vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng 0
Một số tính chất mở rộngSửa đổi
-
(
a
+
b
)
2
=
a
2
+
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})^{2}={\vec {a}}^{2}+2{\vec {a}}{\vec {b}}+{\vec {b}}^{2}}
-
(
a
b
)
2
=
a
2
2
a
b
+
b
2
{\displaystyle ({\vec {a}}-{\vec {b}})^{2}={\vec {a}}^{2}-2{\vec {a}}{\vec {b}}+{\vec {b}}^{2}}
-
(
a
+
b
)
.
(
a
b
)
=
a
2
b
2
{\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}}).({\vec {a}}-{\vec {b}})={\vec {a}}^{2}-{\vec {b}}^{2}}
Biểu thức tọa độ của tích vô hướngSửa đổi
Trong mặt phẳng:
a
.
b
=
a
1
.
b
1
+
a
2
.
b
2
{\displaystyle {\vec {a}}.{\vec {b}}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}}
Trong không gian 3 chiều:
a
.
b
=
a
1
.
b
1
+
a
2
.
b
2
+
a
3
.
b
3
{\displaystyle {\vec {a}}.{\vec {b}}=a_{1}.b_{1}+a_{2}.b_{2}+a_{3}.b_{3}}
Xem thêmSửa đổi
- Không gian vectơ
- Tích có hướng (nhân vectơ, tích ngoài)
- Tích vô hướng
Tham khảoSửa đổi
- Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10
- Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao
- ^ Latin: vectus, perfect participle of vehere, "to carry"/ veho = "I carry". For historical development of the word vector, see vector n.. Từ điển tiếng Anh Oxford (ấn bản 3). Nhà xuất bản Đại học Oxford. tháng 9 năm 2005.(yêu cầu Đăng ký hoặc có quyền thành viên của thư viện công cộng Anh.) and Jeff Miller. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. Truy cập ngày 25 tháng 5 năm 2007.
- ^ The Oxford english dictionary (ấn bản 2). London: Claredon Press. 2001. ISBN9780195219425.
- ^ a b c d Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis; see also his lecture notes (PDF). Bản gốc (PDF) lưu trữ ngày 26 tháng 1 năm 2004. Truy cập ngày 4 tháng 9 năm 2010. on the subject.
- ^ W. R. Hamilton (1846) London, Edinburgh & Dublin Philosophical Magazine 3rd series 29 27
Liên kết ngoàiSửa đổi
| Wikimedia Commons có thêm hình ảnh và phương tiện truyền tải về Vectơ. |
|
