Nội dung bài viết gồm 2 phần:
- Ôn tập lý thuyết
- Hướng dẫn giải bài tập sgk
A. Tóm tắt lý thuyết
I. Giá trị lượng giác
1. Định nghĩa
Các giá trị \(sin\,\alpha ; cos\,\alpha; tan\,\alpha; cot\,\alpha\)được gọi là các giá trị lượng giác của cung \(\alpha\)
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục cos.
CHÚ Ý:
- Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác
- Nếu \(0^o \leq \alpha \leq 180^o\)thì các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\)chính là các giá trị lượng giác của góc đó đã nêu trong SGK Hình học 10.
2. Hệ quả.
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
Giá trị lượng giác | Góc phần tư | |||
I | II | III | IV | |
\(cos\,\alpha\) | + | - | - | + |
\(sin\,\alpha\) | + | + | - | - |
\(tan\,\alpha\) | + | - | + | - |
\(cot\,\alpha\) | + | - | + | - |
3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
\(\alpha\) | \(0\) | \(\frac{\pi }{6}\) | \(\frac{\pi }{4}\) | \(\frac{\pi }{3}\) | \(\frac{\pi }{2}\) |
\(sin\,\alpha\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt 2}{2}\) | \(\frac{\sqrt 3}{2}\) | \(1\) |
\(cos\,\alpha\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt 3}{2}\) | \(\frac{\sqrt 2}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) |
\(tan\,\alpha\) | \(0\) | \(\frac{1}{\sqrt 3}\) | \(1\) | \(\sqrt 3\) | Không xác định |
\(cot\,\alpha\) | Không xác định | \(\sqrt 3\) | \(1\) | \(\frac{1}{\sqrt 3}\) | \(0\) |
II. Ý nghĩa hình học của Tang và Côtang
1. Ý nghĩa hình học của \(tan\,\alpha \)
\(tan\,\alpha \)được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ \(\overrightarrow{AT}\)trên trục \(t’At\).
Trục \(t’At\)được gọi là trục tang.(hình 50 sgk trang 144)
2. Ý nghĩa hình học của \(cot\,\alpha \)
\(cot\,\alpha \)được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ \(\overrightarrow{BS}\)trên trục \(s’Bs\).
Trục \(s’Bs\)được gọi là trục côtang.(hình 51 sgk trang 144)
III. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
1. Công thức lượng giác cơ bản
\(sin^2\alpha +cos^2\alpha =1\) | |
\(1+tan^2\alpha =\frac{1}{cos^2\alpha }\) | \(\alpha \neq \frac{\pi }{2}+k \pi , k \in \mathbb{Z}\) |
\(1+cot^2\alpha =\frac{1}{sin^2\alpha }\) | \(\alpha \neq k \pi , k \in \mathbb{Z}\) |
\(tan\,\alpha .cot \,\alpha =1\) | \(\alpha \neq \frac{k \pi }{2} , k \in \mathbb{Z}\) |
2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a. Cung đối nhau: \(\alpha \)và \(-\alpha \)
\(cos\,(-\alpha)= cos\,\alpha\)
\(sin\,(-\alpha)= -sin\,\alpha\)
\(tan\,(-\alpha)= -tan\,\alpha\)
\(cot\,(-\alpha)= -cot\,\alpha\)
b. Cung bù nhau : \(\alpha \)và \(\pi -\alpha \)
\(sin\,(\pi -\alpha)= sin\,\alpha\)
\(cos\,(\pi -\alpha)= -cos\,\alpha\)
\(tan\,(\pi -\alpha)= -tan\,\alpha\)
\(cot\,(\pi -\alpha)= -cot\,\alpha\)
c. Cung hơn kém \(\pi \):\(\alpha \)và \(\alpha +\pi \)
\(sin\,(\alpha +\pi )= -sin\,\alpha\)
\(cos\,(\alpha +\pi )= -cos\,\alpha\)
\(tan\,(\alpha +\pi )= tan\,\alpha\)
\(cot\,(\alpha +\pi )= cot\,\alpha\)
d. Cung phụ nhau \(\alpha \)và \(\left ( \frac{\pi }{2}-\alpha \right )\)
\(sin\,\left ( \frac{\pi }{2}-\alpha \right )=cos\,\alpha \)
\(cos\,\left ( \frac{\pi }{2}-\alpha \right )=sin\,\alpha \)
\(tan\,\left ( \frac{\pi }{2}-\alpha \right )=cot\,\alpha \)
\(cot\,\left ( \frac{\pi }{2}-\alpha \right )=tan\,\alpha \)
Page 2
Câu 1: trang 148 sgk Đại số 10
Có cung \(α\) nào mà \(\sinα\) nhận các giá trị tương ứng sau đây không?
| a) \(-0,7\) | b) \( \frac{4}{3}\) |
| c) \(-\sqrt2\) | d)\( \frac{\sqrt{5}}{2}\) |
Ta có \(-1 ≤ sin\,\alpha ≤1\)
a) Ta thấy \(-1 ≤ -0,7 ≤ 1\)
Vậy có cung \(α\)sao cho \(sin α = -0,7\)
b) Ta thấy \( \frac{4}{3}> 1\).
Vậy không có cung \(α\)có \(\sin\,\alpha = \frac{4}{3}\)
c) Ta thấy \(-\sqrt2 < -1\)
Vậy không tồn tại cung \(\alpha \)thỏa mãn.
d) Ta thấy \( \frac{\sqrt{5}}{2} > 1\)
Vậy không tồn tại cung \(\alpha \)thỏa mãn.
Trắc nghiệm đại số 10 bài 2: Giá trị lượng giác của một cung
Từ khóa tìm kiếm Google: Giải câu 1 trang 148 sgk toán đại số 10, giải bài tập 1 trang 148 toán đại số 10, toán đại số 10 câu 1 trang 148, câu 1 bài 2 giá trị lượng giác của một cung sgk toán đại số 10
11:09:2610/03/2021
Bài viết này chúng ta cùng tìm hiểu về giá trị lượng giác của cung α? các công thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt. Vận dụng lý thuyết giải một số bài tập cơ bản.
A. Lý thuyết Giá trị lượng giác của một cung
I. Giá trị lượng giác của cung α.
• Trên đường tròn lượng giác cung
- Tung độ của M gọi là sin của α ký hiệu sinα:
- Hoành độ của M gọi là cosin của α ký hiệu cosα:
- Nếu cosα ≠ 0, ta gọi là tang của α, ký hiệu tanα là tỉ số:
- Nếu sinα ≠ 0, ta gọi là cotang của α, ký hiệu cotα là tỉ số:
⇒ Các giá trị sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của cung α.
> Lưu ý: vì sđ = sđ
2. Hệ quả
a) sinα và cosα xác định với mọi α ∈ R, hơn nữa, ta có:
sin(α + k2π) = sinα, ∀k ∈ Z;
cos(α + k2π) = cosα, ∀k ∈ Z;
b) Vì
c) tanα xác định với mọi
cotα xác định với mọi
d) Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
II. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
1. Công thức lượng giác cơ bản
- Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau:
2. Giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt
a) Cung đối nhau: α và -α
cos(-α) = cosα
sin(-α) = -sinα
tan(-α) = -tanα
cot(-α) = -cotα
b) Cung bù nhau: α và π-α
sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
tan(π-α) = -tanα
cot(π-α) = -cotα.
c) Cung hơn kém nhau π: α và α+π
sin(α+π) = -sinα
cos(α+π) = -cosα
tan(α+π) = tanα
cot(α+π) = cotα.
d) Cung phụ nhau π: α và π/2 - α
> Gợi ý cách ghi nhớ:
- Chúng ta thấy: Trong cung đối chỉ hàm cos có dấu dương, cung bù chỉ hàm sin có dấu dương, cung phụ tất cả dương nhưng chéo sin-cos tan-cot; hơn kém nhau pi thì tan và cot dương; nên cách nhớ như sau: cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi (π) tan (Cot)
B. Bài tập vận dụng Giá trị lượng giác của một cung
* Bài 1 trang 148 SGK Đại Số 10: Có cung α nào mà sinα nhận các giá trị tương ứng sau đây không?
a) -0,7; b) 4/3; c) –√2 d) (√5)/2;
* Lời giải:
Ta có: -1 ≤ sin α ≤ 1 với mọi α ∈ R.
a) Vì -1 < –0,7 < 1 nên tồn tại cung α thỏa mãn sinα = -0,7.
+ Cách dựng:
Trên trục tung xác định kiểm K sao cho Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M1 và M2.
b) Vì 4/3 > 1 nên không tồn tại α để sinα = 4/3.
c) Vì (-√2) < -1 nên không tồn tại α để sinα = -√2.
d) Vì (√5)/2 > 1 nên không tồn tại α để sinα = √5/2.
* Bài 2 trang 148 SGK Đại Số 10: Các đẳng thức sau đây có thể đồng thời xảy ra không?
a)
b)
c) sinα = 0,7 và cosα = 0,3
* Lời giải:
- Vận dụng công thức: sin2α + cos2α = 1, ∀α ∈ R.
a)
- Ta có:
Do đó KHÔNG TỒN TẠI α ∈ R để và
b) và
- Ta có:
Do đó TỒN TẠI α ∈ R để và
c) sinα = 0,7 và cosα = 0,3
- Ta có: 0,72 + 0,32 = 0,49 + 0,09 = 0,58 ≠ 1
Do đó KHÔNG TỒN TẠI α ∈ R để sinα = 0,7 và cosα = 0,3
* Bài 3 trang 148 SGK Đại Số 10: Cho 0 < α < π/2. Xác định dấu của các giá trị lượng giác.
a) sin(α – π) b)
c)
* Lời giải:
- Vì 0 < α < π/2 (góc phần tư thứ I) nên sin α > 0, cos α > 0, tan α > 0, cot α > 0.
• Cách 1: Dựa vào mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a) sin(α – π) = -sin(π – α) (áp dụng công thức sin(-α) = -sinα)
= -sinα (áp dụng công thức sin (π – α) = sinα).
b)
(áp dụng công thức cos(π + α)=-cosα và công thức cos(π/2 - α) = sinα)
Mà sinα > 0 nên suy ra <0
c) tan (α + π) = tan α.
Mà tan α > 0 nên tan (α + π) > 0.
d)
(áp dụng công thức
Mà tanα > 0 nên <0
* Cách 2: Dựa vào biểu diễn cung trên đường tròn lượng giác. Vì 0 < α < π/2 nên ta biểu diễn α = sđ
a) α – π = sđ
Các em làm tương tự các câu còn lại.
* Bài 4 trang 148 SGK Đại Số 10: Tính các giá trị lượng giác của góc α nếu
a)
b)
c)
d)
* Lời giải:
a) và
- Áp dụng công thức: sin2α + cos2α = 1
Mà 0<α<π/2 nên sinα > 0 nên
+ Ta có:
+ Ta có:
b) Vận dụng công thức: sin2α + cos2α = 1
Tính tương tự câu a)
c) Vận dụng công thức:
d) Vận dụng công thức:
* Bài 5 trang 148 SGK Đại Số 10: Tính α, biết
a) cosα = 1; b) cosα = -1; c) cosα = 0
d) sinα = 1; e) sinα = -1; f) sinα = 0
* Lời giải:
- Dựa vào đường tròn lượng giác:
b) cosα = -1 ⇔ M≡A' ⇔ α = π + k2π = (2k + 1)π, k ∈ Z.
c) cosα = 0 ⇔ M≡B hoặc M≡B' ⇔ α = π/2 + m2π hoặc α = -π/2 + n2π
⇔ α = π/2 + kπ, k ∈ Z.
d) sinα = 1 ⇔ M≡B ⇔ α = π/2 + k2π, k ∈ Z.
e) sinα = -1 ⇔ M≡B' ⇔ α = -π/2 + k2π = (2k+1)π, k ∈ Z.
f) sinα = 0 ⇔ M≡A hoặc M≡A' ⇔ α = m2π hoặc α = (2n + 1)π
⇔ α = kπ, k ∈ Z.
Tóm lại, với bài viết về Giá trị lượng giác của một cung các em có rất nhiều nội dung cần phải ghi nhớ, đó là các công thức lượng giác cơ bản; giá trị lượng giác của các cung đặc biệt (cung đối nhau, cung bù, cung phụ, cung hơn kém pi,..).