- Ôn tập lý thuyết
- Hướng dẫn giải bài tập sgk
1. Định nghĩa
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Nếu $(u_{n})$là cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi
$u_{n+1}=u_{n}+d; n \in \mathbb{N^{*}}$(1)
Đặc biệt khi $d=0$thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau)
2. Số hạng tổng quát
ĐỊNH LÍ 1:
Nếu cấp số cộng $(u_{n})$có số hạng đầu $(u_{1})$và công sai $d$ thì số hạng tổng quát $(u_{n})$được xác định bởi công thức:
$u_{n}=u_{1}+(n-1)d; n\geq 2$(2)
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng
ĐỊNH LÍ 2:
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là:
$u_{k}=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}; k\geq 2$(3)
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
ĐỊNH LÍ 3:
Cho cấp số cộng $(u_{n})$.Đặt $S_{n}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+....+u_{n}$
Khi đó
$S_{n}=\frac{n(u_{1}+u_{n})}{2}$(4)
Chú ý: Vì $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$nên công thức (4) có thể viết:
$S_{n}=nu_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d$(4')
Giải bài tập Toán 11 Cấp số cộng
Bài 1 (trang 97 SGK Đại số 11): Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó:
a) \[{{u}_{n}}=5-2n\] b) \[{{u}_{n}}=\frac{n}{2}-1\]
c) \[{{u}_{n}}={{3}^{n}}\] d) \[{{u}_{n}}=\frac{7-3n}{2}\]
Lời giải
a) Với mọi \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] ta có:
\[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=5-2\left( n+1 \right)-\left( 5-2n \right)\]
\[=5-2n+2-5+2n=2\]
Vậy dãy số là cấp số cộng có \[{{u}_{1}}=3\] và công sai \[d=-2\]
b) Với mọi \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] ta có:
\[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{n+1}{2}-1-(\frac{n}{2}-1)=\frac{1}{2}\]
Vậy dãy số là cấp số cộng với \[{{u}_{1}}=-\frac{1}{2}\] và \[d=\frac{1}{2}\]
c) Ta có: \[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{3}^{n+1}}-{{3}^{n}}={{3}^{n}}\left( 3-1 \right)={{2.3}^{n}}\] không là hằng số (phụ thuộc n).
Vậy dãy số không phải là cấp số cộng.
d) Với mọi \[n\in {{\mathbb{N}}^{*}}\] ta có:
\[{{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{7-3\left( n+1 \right)}{2}-\frac{7-3n}{2}=\frac{7-3n-3-7+3n}{2}=-\frac{3}{2}\]
Vậy dãy số là cấp số cộng có \[{{u}_{1}}=2\] và \[d=-\frac{3}{2}\]
Bài 2 (trang 97 SGK Đại số 11): Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:
Lời giải
Bài 3 (trang 97 SGK Đại số 11):
Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \[{{u}_{1}},n,d,{{u}_{n}},S\]
a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
b) Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:
Lời giải
a.Có thể sử dụng các công thức:
un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2
\[{{S}_{n}}=\frac{n({{u}_{1}}+{{u}_{n}})}{2}\Leftrightarrow {{S}_{n}}=n.{{u}_{1}}+\frac{n(n-1)}{2}.d\]
b. Điền vào bảng
Bài 4 (trang 98 SGK Đại số 11): Mặt sàn tầng một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm.
a. Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân.
b. Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.
Lời giải:
a. Mỗi bậc thang cao 18cm = 0,18m.
=> n bậc thang cao 0,18.n (m)
Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân 0,5m nên công thức tính độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân sẽ là:
hn = (0, 5 + 0, 18n) (m)
b.Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với n = 21 là:
h21 = 0,5 + 0,18.21 = 4,28 (m)
Bài 5 (trang 98 SGK Đại số 11): Từ 0 đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu có chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng tiếng giờ?
Lời giải:
Số tiếng chuông của đồng hồ theo giờ từ 0 đến 12 giờ là một cấp số cộng hữu hạn u1, u2,…, u12 trong đó un với n = 1, 2, …, 12 với số hạng đầu tiên u1 = 1, công sai d = 1.
Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ 0 đến 12 giờ trưa là:
\[S=1+2+3+...+12=\frac{(1+12).12}{2}=78\](tiếng)
Vậy đồng hồ đánh 78 tiếng chuông.
Giải bài tập Toán 11 Giải tích: Cấp số cộng
- Bài 1 (trang 97 SGK Đại số 11)
- Bài 2 (trang 97 SGK Đại số 11)
- Bài 3 (trang 97 SGK Đại số 11)
- Bài 4 (trang 98 SGK Đại số 11)
- Bài 5 (trang 98 SGK Đại số 11)
VnDoc mời thầy cô cùng các bạn học sinh tham khảo tài liệu Giải bài tập Toán 11 bài 3: Cấp số cộng, nội dung bộ tài liệu gồm 5 bài tập kèm theo lời giải chi tiết sẽ giúp các bạn học sinh học tập tốt hơn môn Toán.
- Giải bài tập Toán 11 ôn tập chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
- Giải bài tập trang 28, 29 SGK Giải tích 11: Phương trình lượng giác cơ bản
- Giải bài tập Toán 11 ôn tập chương 2: Tổ hợp - xác suất
- Giải bài tập Toán 11 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
- Giải bài tập Toán 11 bài 2: Dãy số
Để tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 11, VnDoc mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 11 sau: Nhóm Tài liệu học tập lớp 11. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các bạn.
Giải bài tập Toán 11 Cấp số cộng
Bài 1 (trang 97 SGK Đại số 11)
Trong các dãy số (
Hướng dẫn giải
Xác định số hạng
Nếu kết quả nhận được là hằng số d thì dãy số là cấp số cộng với d là sông sai.
Nếu kết quả nhận được khác hằng số thì dãy số đó không phải là cấp số cộng.
Lời giải:
a.Vì un = 5 – 2n nên u1 = 5 – 2 = 3
giả sử n ≥ 1, xét hiệu sau:
un+1 – un = 5 – 2(n + 1) – 5 + 2n = -2
=> un+1 = un – 2
Vậy (un) là cấp số cộng với công sai d = - 2
b. Vì
Giả sử
Vậy
c. un = 3n => u1 = 3
giả sử n ≥ 1, xét hiệu sau:
un+1 – un = 3n+1 – 3n = 3n . 3 – 3n = 2.3n => un+1 = un.2 ≠ un + d
Vậy (un) không phải là cấp số cộng vì không xác định được công sai.
d.
Giả sử , xét hiệu sau:
Vậy là cấp số cộng với công sai
Bài 2 (trang 97 SGK Đại số 11)
Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết:
Lời giải:
a. Ta có:
Vậy số hạng đầu bằng 16 và công sai bằng – 3
b. Ta có:
Vậy cấp số cộng có số hạng đầu là -17, công sai d = 2, hoặc số hạng đầu là 3, công sai là d = 2.
Bài 3 (trang 97 SGK Đại số 11)
Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng u1, d, n, un, Sn.
a. Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
b. Lập bảng theo mẫu sau và điền vào số thích hợp vào ô trống:
| d | n | |||
| -2 | 55 | 20 | ||
| -4 | 15 | 120 | ||
| 3 | 7 | |||
| 17 | 12 | 72 | ||
| 2 | -5 | -205 |
Hướng dẫn giải
- Xuất phát từ công thức
Lời giải:
a. Có thể sử dụng các công thức:
un = u1 + (n – 1)d với n ≥ 2
Vậy cần phải biết ít nhất ba đại lượng để tìm được các đại lượng còn lại.
b. Điền vào bảng như sau:
| d | n | |||
| -2 | 3 | 55 | 20 | 530 |
| 36 | -4 | -20 | 15 | 120 |
| 3 | 7 | 28 | 140 | |
| -5 | 2 | 17 | 12 | 72 |
| 2 | -5 | -43 | 10 | -205 |
Bài 4 (trang 98 SGK Đại số 11)
Mặt sàn tầng một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18cm.
a. Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân.
b. Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân.
Lời giải:
a. Mỗi bậc thang cao 18cm = 0,18m.
=> n bậc thang cao 0,18.n (m)
Vì mặt bằng sàn cao hơn mặt sân 0,5m nên công thức tính độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân sẽ là:
hn = (0, 5 + 0, 18n) (m)
b. Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với n = 21 là:
h21 = 0,5 + 0,18.21 = 4,28 (m)
Bài 5 (trang 98 SGK Đại số 11)
Từ 0 đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu có chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng tiếng giờ?
Hướng dẫn giải
Cho cấp số cộng
Ngoài ra ta có thể tính bằng cách khác:
Lời giải:
Lúc 1 giờ đồng hồ đánh 1 tiếng chuông.
Lúc 2 giờ đồng hồ đánh 2 tiếng chuông.
....
Lúc 12 giờ đồng hồ đánh 12 tiếng chuông
Do đó số tiếng chuông của đồng hồ theo giờ từ 0 đến 12 giờ là một cấp số cộng hữu hạn u1, u2,…, u12 trong đó với n = 1, 2, …, 12 với số hạng đầu tiên u1 = 1, công sai d = 1.
Vậy tổng số tiếng chuông đồng hồ trong khoảng thời gian từ 0 đến 12 giờ trưa là:
------------------------------------
Trên đây VnDoc.com đã giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải bài tập Toán 11 bài 3: Cấp số cộng. Để có kết quả cao hơn trong học tập, VnDoc xin giới thiệu tới các bạn học sinh tài liệu Hóa học lớp 10, Giải bài tập Hóa học lớp 11, Hóa học lớp 12, Thi thpt Quốc gia môn Văn, Thi thpt Quốc gia môn Lịch sử, Thi thpt Quốc gia môn Địa lý, Thi thpt Quốc gia môn Toán, đề thi học kì 1 lớp 11, đề thi học kì 2 lớp 11 mà VnDoc tổng hợp và đăng tải.