Giải và biện luận bất phương trình m(x-m) x-1

Cho bất phương trình:m(x-m)≥x-1

Các giá trị nào sau đây của m thì tập nghiệm của bất phương trình là S=(-∞;m+1]

A. m= 1

B. m> 1

C. m< 1

Đáp án chính xác

D.m≥1

Xem lời giải

$m(x-m)\leq x-1\Leftrightarrow (m-1)x \leq m^2-1 \Leftrightarrow (m-1)x\leq (m-1)(m+1)$

TH1: $m=1$ thì $x\leq 2$ (đúng)

$S=\mathbb{R}$

TH2: $m>1$ thì $x\leq m+1$

$S=(-\infty;m+1]$

TH3: $m<1$ thì $x\geq m+1$

$S=[m+1;+\infty)$

CÔNG THỨC(CT):

 ta có dạng tổng quát của 1 bpt bậc nhất: ax > b(ax<b; ax≤b;  ax≥b)

cách biện luận 1 bpt bậc nhất ta đưa bpt ấy về dạng tổng quát như trên rồi biện luận như sau:

VD: dạng ax>b

nếu a>0 thì x>$\frac{b}{a}$ 
nếu a<0 thì x<$\frac{b}{a}$ 

nếu a=0, b>0 vô nghiệm(vì vế bằng 0 không thể lớn hơn vế lớn hơn ko VD: 0>1 (sai)
nếu a=0 b≤0 ⇒bpt có vô số nghiệm

Giải thích các bước giải:

 Bài 3:m(x-m)≤ x-1

          ⇔mx-m²≤x-1

          ⇔mx-x≤m²-1

          ⇔x(m-1)≤(m+1)(m-1)

          nếu m-1>0 ⇒x≤m+1

          nếu m-1<0⇒x≥m+1

          nếu m-1=0⇒0×x≤0×m+1⇔0≤0(lđ)⇒bpt có nghiệm x∈R

 các câu sau tương tự nhá

Bài 4: tương tự như cách biện luận trên ta đều đưa về dạng tổng quát

 như câu a có dạng tổng quát là: x(m²-1)< m²-4m +3
bpt này sẽ vô nghiệm khi

x(m²-1)> m²-4m+3(1)

⇔x(m+1)(m-1)>(m-3)(m-1)

đến đây biện luận y như CT trên và chỉ lấy đk để pt 1 có nghiệm sau đó kết luận
các câu sau tương tự bạn ạ: trường hợp gặp dấu ≤hoặc≥ ta bỏ dấu bằng đi nhá

vì câu hỏi của bạn khá dài mình không có nhiều thời gian nên đưa bạn CT thôi nha 

đánh giá tốt câu trả lời này nha

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất một ẩn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.

Nội dung bài viết Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất một ẩn:
Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất một ẩn. Xét bất phương trình một ẩn dạng: ax + b > 0 (*). Trường hợp a khác 0. Nếu a > 0 thì bất phương trình (*) có các nghiệm x > −b hay bất phương trình có tập nghiệm là S = (b; +∞). Nếu a < 0 thì bất phương trình (*) có các nghiệm x 0 thì bất phương trình (*) luôn nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình có tập nghiệm S = R. Nếu b ≤ 0 thì bất phương trình (*) vô nghiệm hay bất phương trình có tập nghiệm S = R. Các bất phương trình dạng ax + b 0 (hoặc về dạng ax + b 2x + 3. Lời giải. mx + 6 > 2x + 3 ⇔ (m − 2)x > −3. Trường hợp m − 2 = 0 hay m = 2 thì bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x ∈ R. Trường hợp m − 2 > 0 hay m > 2 thì bất phương trình đã cho có các nghiệm x > −3. Trường hợp m − 2 < 0 hay m < 2 thì bất phương trình đã cho có các nghiệm x < −3. Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình (m2 − 4m + 3)x + 2m − 4 0. Lời giải. Điều kiện x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. Trường hợp x = 1 không là nghiệm của bất phương trình đã cho. Trường hợp x > 1 ta được bất phương trình: x − m + 2 > 0 ⇔ x > m − 2. Nếu m − 2 ≥ 1 hay m ≥ 3 thì bất phương trình có tập nghiệm S = (m − 2; +∞). Nếu m − 2 < 1 hay m < 3 thì bất phương trình có tập nghiệm S = (1; +∞). Vậy: với m ≥ 3 thì bất phương trình có tập nghiệm S = (m − 2; +∞); với m −2x − 6. Lời giải. (1 − m)x − 2m > −2x − 6 ⇔ (3 − m)x > 2m − 6. Trường hợp 3 − m = 0 hay m = 3 thì bất phương trình đã cho vô nghiệm. Trường hợp 3 − m > 0 hay m 2m − 6 hay x > −2. Trường hợp 3 − m 3 thì bất phương trình đã cho có các nghiệm x < 2m − 6 hay x < −2. Bài 2. Cho bất phương trình (m2 + 3m)x + 4 ≥ −2(x + m). Tìm tất cả các giá trị của m để bất hương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x. (m2 + 3m)x + 4 ≥ −2(x + m) ⇔ (m2 + 3m + 2)x + 2m + 4 ≥ 0. Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x. Vậy m = −1, m = −2 là giá trị thỏa yêu cầu bài toán. Bài 3. Giải và biện luận bất phương trình (2x − 3m + 2) √2 − x < 0. Điều kiện 2 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2. Trường hợp x = 2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho. Trường hợp x 0 ⇔ x > 3m − 2. Nếu 3m − 2 < 2 hay m < 2 thì bất phương trình có tập nghiệm S = (3m − 2; 2). Nếu 3m − 2 ≥ 2 hay m ≥ 2 thì bất phương trình vô nghiệm. Vậy: với m ≥ 2 thì bất phương trình có tập nghiệm S = R; với m < 2 thì bất phương trình có tập nghiệm S = (3m − 2 ; 2).

Giải và biện luận bất phương trình

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (60.62 KB, 8 trang )

Tư liệu : Gỉai và biện luận BPT và hệ BPT
một số trường hợp đặc biệt và kho
Kí hiệu ** : vô cực
_/--: căn bậc hai
Bài 1 : Gỉai và biện luận bất phương trỉnh :
2x-m ≥ 1
x-1
Lời gỉai BPT đã cho  x-m+1 ≥0
x-1
Đặt f(x) = x-m+1
x-1
f(x)=0 => x= m-1 v x= 1
TH1 : m-1 >1  m>2 . ta co bảng xét dấu
x -** 1 m-1
x-m-1
- 0
x-1
- 0+
f(x)
+||- 0

+**
+
+
+

Ta co nghiệm S= ( -** ; 1) , ( m-1 ; +**)
TH2 : nếu m-1<1  m<2 , ta co bảng xét dấu :
x
-** m-1
1

+**
x-m-1

-

x-1

-

0

+

+

- 0 +


F(x)

+

0

- | | +

Tập nghiệm : S= ( -** ; m-1) , ( 1;+**)
TH3 : Nếu m-1 = 1  m=2
Thế vào BPT trên ,ta co : 2x -2 ≥ 0
x-1

 2≥0 ( đúng với mọi x #1)
Kết luận : m<2 , S= ( -** ;1) , ( m-1 ; +**)
m=2 , S=R\1
m>2,S= ( -** ; m-1 ) , ( 1;+**)
Bài 2 : Giải và biện luận BPT : ( x-2m)(x+1)(x-3)>0
Lời giải : Đặt f(x) = ( x-2m)(x+1)(x-3)
F(x)=0 => x=2m , x= -1 , x=3
TH1 : 2m<-1  m< -1/2
Bảng xét dấu :
x -** 2m -1
3 +**
x-2m - 0 + + +
x+1
- 0 + +
x-3
- 0 +
f(x)
- 0 + 0 - 0 +
Tập nghiệm : S= (2m; -1) , ( 3; +**)
TH2 : nếu 2m = -1  m= -1/2
Thế vào BPT trên , ta co : ( x+1)2(x-3)>0
Đặt f(x1)= ( x+1)2(x-3)
F(x1)= 0 => x= -1 v x=3
Bảng xét dấu :
x
-** -1
3
+**
(x+1)2
+ 0 +

+


x-3
- 0 +
f(x1)
- 0 - 0 +
Tập nghiệm : S= (3; +**)
TH3 : -1 < 2m< 3  m> -1/2 v m< 3/2 ( hợp lí )
x
-** -1
2m
3 +**
x-2m
- 0 +
+
x+1
- 0 +
+ +
x-3
- 0 +
F(x)
- 0 + 0 - 0 +
Tập nghiệm : S = ( -1:2m) , ( 3; +**)
TH4 : 2m= 3  m=3/2
Thế vào BPT ta co : (x+1)(x-3)2>0
Đặt f(x3)= ( x+1)( x-3)2
F(x3)=0 => x= -1, x=3
Bảng xét dấu :
x

-** -1
3
+**
(x-3)2
+
+ 0 +
x+1
- 0 +
+
F(x)
- 0 + 0 +
Tập nghiệm : S= ( -1; +**)\3
TH5 : 2m>3  m>3/2
Bảng xét dấu :
X -** -1
3
2m +**
x-2m
- 0 +
x+1
- 0 +
+
+
x-3
- 0 +
+


F(x)

- 0 + 0 - 0 +
Tập nghiệm : S= ( -1:3) , ( 2m;+**)
Kết luận : m<-1/2 , S= (2m ;-1) , (3;+**)
m =-1/2 ,S= ( 3;+**)
-1/2 < m< 3/2 ,S= ( -1;2m) ,( 3; +**)
m=3/2 ,S = (-1; +**)\3
m>3/2 ,S= (-1;3) , ( 2m; +**)
Bài 3 : Giải và biện luận BPT : mx2+ x2-2 >0
Lời giải : đặt t=x2 ( t≥0 ) ,BPT đã cho
 t( m+1)>2
TH1 : nếu m+1 = 0  m=-1
BPT trở thành 0t > 2 ( vô nghiệm )
TH2 : nếu m+1>0  m>-1
BPT đã cho co nghiệm t> 2
m+1
doĐK : t ≥ 0 nên bắt buộc : 2 ≥0 ( đúng với mọi m≥-1)
m+1
2
ta co : x > 2
 x> _/-- 2 v x < - _/-- 2
m+1
m+1
m+1
TH3 : nếu m+1<0  m<-1
BPT đã cho co nghiệm t < 2
m+1
do t ≥0 nên để nhận nghiệm trên ,ta phải co :
2 >0 ( vô nghiệm với mọi m<-1)
m+1
Kết luận : m ≤1 , S = ( rỗng )

m>1 ,S = (-/-- 2 ; +**) , ( -** ; --/-- 2 )
m+1
m+1


ghi chú : Kí tự trên gây kho cho bạn đọc , ở TH2 phát biểu
thành lời là : x> căn bậc hai của 2 và nhỏ hơn trừ căn bậc
m+1
hai của 2
m+1
Bài 4 : Gỉai và biện luận BPT : ( x-m)(x-2m)(x-3m)≤0
Bài giải : Đặt f(x)=(x-m)(x-2m)(x-3m)
F(x)=0 => x=m , x=2m , x=3m
Nếu m=0 ,BPT trở thành : x3≤0x≤0
Nếu m>0 ,ta co : 3m>2m>m
Bảng xét dấu :
x -** m 2m 3m +**
x-m
- 0 +
+
+
x-2m - 0 +
+
x-3m - 0 +
F(x)
- 0 + 0 - 0 +
Tập nghiệm S= ( -**; m] , [ 2m;3m]
Nếu m<0 ,ta co : m>2m>3m
Bảng xét dấu
x

-** 3m 2m
m +**
x-m
- 0 +
x-2m
- 0 +
+
x-3m - 0
+
+
+
F(x)
- 0
+ 0 - 0 +
Tập nghiệm S= (-**;3m], [2m;m]
Kết luận , m<0 ,S= (-**;3m] ,[ 2m;m]


m=0 , S= (-**;0]
m>0 , S= (-**;m), [2m;3m]
Bài 5 : Gỉai và biện luận BPT
mx+1 > mx-1
m-1
m+1
Lời giải :ta co : ( mx+1)(m+1)- (m-1)(mx-1) >0
(m-1)(m+1)
 m2x+mx+m+1 – m2x+m+mx-1 >0
(m-1)(m+1)
 2mx +2m >0


2mx >
-2m
(m-1)(m+1)
(m-1)(m+1)
(m-1)(m+1)
Nếu m=0 ,ta co : 0x > 0 ( vô lý )
-1 -1
Nếu m>0 ,ta co : x> -2m( m-1)(m+1) = -2
2m (m-1)(m+1)
Nếu m<0, ta co : x<-2
Cả hai trường hợp trên chỉ đúng với mọi m#1và m#-1
Kết luận : m=0 ,S= ( rỗng)
m>0v m#1 , S= (-2;+**)
m<0v m#-1,S=(-**:-2)
Bài 6 : Gỉai và biện luận hệ BPT :
a/ m2x – 2mx-3x +12>0
b/5x>-5
Lời giải
Gỉai (b) ,ta co : x>-1
Xét (a) ,ta co : x( m2-2m-3)+12>0
TH1 : m2-2m-3=0  m= 3v m=-1
Với m=3 ,ta co : 0x+12 >0 ,đúng với mọi x thuộc R
Với m=-1,ta co : 0x+12 >0 ,đúng với mọi x thuộc R


Nhưng (b) luôn co nghiệm x>-1
Vậy hệ co nghiệm S=S1giao S2 = ( -1:+**)
TH2 : m2-2m-3>0  m>3 v m<-1
BPT (a) co nghiệm x>
-12_

m2-2m-3
b cũng co nghiệm x>-1
nếu -1 = -12___ (ĐK ; m#3 v m#-1)
m2-2m-3
ta co : -12= -m2+2m+3
, m2 -2m -15 = 0
 m = -3 v m=5 ( thỏa ĐKXĐ)
So với 2 ĐK : m>3 v m<-1 ,ta chon : m= -3 và m=5
Với m=-3 , m=5 , BPT đã cho co ngiệm x>-1
Nếu -1 >
-12___
-12+m2-2m-3<0  m2-2m -15 <0
M2-2m-3
m2-2m-3
m2-2m-3
Đặt f(m) = m2-2m-15
M2-2m-3
F(m)=0 => m2-2m-15=0
 m=5 v m=-3
M2-2m-3 =0
 m=3 v m=-1
Bảng xét dấu của m
M -**
-3
-1
3
5
+**
M2-2m-15 - 0 +
+

+ 0 M2-2m-3
- 0 + 0
F(m)

+

0

-

| |

+| |

- 0

+

Tập nghiệm S= (-3:-1) , ( 3;5)
So với Đk : m >3 và m<-1 ta chon : 3