Hệ số góc của đường thẳng $d$ có phương trình $y=ax+b$ chính là hệ số $a$.
Ví dụ, đường thẳng $y = -x + 4$ thì hệ số góc của nó bằng $-1$, đường thẳng $y=2x$ thì có hệ số góc là $2$.
- Hệ số góc $a$ được tính bằng $\tan \alpha$ trong đó $\alpha$ chính là góc tạo bởi chiều dương trục $Ox$ và đường thẳng $d$ lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ (xem hình vẽ).
- Cụ thể hơn, chúng ta gọi $A$ là giao điểm của đường thẳng $d:y=ax+b$ với trục $Ox$, $B$ là một điểm thuộc đường thẳng $d$ và nằm phía trên trục $Ox$. Khi đó $\alpha=\widehat{BAx}$ được gọi là góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b$ và trục $Ox$.
Phương trình đường thẳng khi biết hệ số góc
Đường thẳng đi qua điểm $M\left ( x_{0};y_{0} \right )$ và có hệ số góc $k$ thì có phương trình là $$y-y_0=k(x-x_{0})$$
Ví dụ. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3;5)$ và có hệ số góc $k=-2$ thì có phương trình $$y-5=-2(x-3)$$ hay $y=-2x-1$.
Các tính chất của hệ số góc
- Cho hai đường thẳng $y=ax+b$ và $y=a’x+b’$:
- song song hoặc trùng nhau sẽ có cùng hệ số góc ($a=a’$)
- cắt nhau khi và chỉ khi $a\ne a’$
- vuông góc với nhau khi và chỉ khi $a\cdot a’=-1$
- Cho đường thẳng $y=ax+b$ có hệ số góc là $a$:
- Nếu $a> 0$ thì góc $\alpha$ là góc nhọn, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$
- Nếu $a<0$ thì góc $\alpha$ là góc tù, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$
- Nếu $a= 0$ thì hàm số là hàm hằng trên $\mathbb{R}$, đồ thị hàm số là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành.
Xem thêm các dạng toán về đồ thị hàm số bậc nhất Toán 10 Hàm số bậc nhất y=ax+b
Hệ số góc của đường thẳng $ax+by+c=0$
Trong hình học lớp 10, phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng $ax+by+c=0$. Để tìm hệ số góc của đường thẳng này, chúng ta xét các khả năng:
- Nếu $b\neq 0$ thì ta chuyển đường thẳng về dạng $y=kx+m$ bằng cách chia hai vế cho $b$ $$y=\frac{-a}{b}x-\frac{c}{b}$$ Như vậy, hệ số góc của đường thẳng đã cho là $k=\frac{-a}{b}$.
- Nếu $b=0$ thì đường thẳng không có hệ số góc. Lúc đó đường thẳng vuông góc với trục hoành $Ox$.
Các bạn chưa hiểu rõ về hệ số góc của đường thẳng, mà các bạn lại đang cần tính hệ số góc của đường thẳng. Vậy mời các bạn hãy tham khảo bài viết dưới đây để cùng tìm hiểu rõ hơn về hệ số góc và cách tính hệ số góc của đường thẳng nhé.
Dưới đây bài viết chia sẻ đến các bạn về hệ số góc và cách tính hệ số góc của đường thẳng, mời các bạn cùng theo dõi.
Hệ số góc của đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hệ số góc của đường thẳng (d) là tan α, trong đó α là góc tạo bởi đường thẳng (d) và chiều dương của trục Ox.
• Nếu \(\alpha \ne {90^o}\) thì k = tan α chính là hệ số góc của đường thẳng (d).
- Nếu k > 0 thì 0 < α < 90°
- Nếu k < 0 thì 90° < α < 180°
• Nếu \(\alpha = {90^o}\) \(\left( {d \bot Ox} \right)\) thì đường thẳng (d) không có hệ số góc vì tan 90° không xác định.
Mệnh đề 1: Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc là k có dạng y = kx + b
Mệnh đề 2: Đường thẳng (d) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và có hệ số góc k có phương trình là \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)
Hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau sẽ có cùng hệ số góc.
Cách tính hệ số góc của đường thẳng
Như vậy ta thấy: đường thẳng (d) có dạng tổng quát là (d): Ax + By + C = 0
Nếu \(B \ne 0\) thì ta chuyển đường thẳng (d) về dạng: y = kx + b
\( \Leftrightarrow \frac{A}{B}x + y + \frac{C}{B} = 0\)
\( \Rightarrow y = - \frac{A}{B}x - \frac{C}{B}\)
Khi đó hệ số góc của đường thẳng (d) là \(k = - \frac{A}{B}\)
Cách tính góc a tạo bởi đường thẳng (d) và chiều dương trục Ox
Để tính góc α ta cần biết hệ số góc k của đường thẳng, cách tính hệ số góc của đường thẳng ở trên. Sau khi có hệ số góc k ta có: tan α = k => α
Bài tập ví dụ
Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d): 2y - x + 1 = 0, hãy xác định hệ số góc của đường thẳng (d) và tính góc hợp bởi đường thẳng d và chiều dương của trục Ox.
Giải
Ta có: 2y - x + 1 = 0
\( \Leftrightarrow 2y = x - 1\)
\( \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\)
=> Hệ số góc của đường thẳng (d) \(k = \frac{1}{2}\)
Mà tan \(\alpha = k = \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow \alpha = \arctan \frac{1}{2}\)
Vậy góc hợp bởi đường thẳng d và chiều dương của trục Ox là \(\arctan \frac{1}{2}\)
Ví dụ 2: Cho hàm số y = -x + 2
a) Vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tính góc tạo bởi đường thẳng y = -x + 2 và trục Ox (làm tròn đến phút).
Giải
Đồ thị hàm số:
x = 0 => y = 2 điểm A(0; 2)
y = 0 => x = 2 điểm B(2; 0)
Đồ thị hàm số y = - x + 2 là đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 2) và B(2; 0).
Góc hợp bởi đường thẳng y = - x + 2 và trục Ox là α
\( \Rightarrow \alpha = \widehat {ABx}\)
\(\vartriangle OAB\) là tam giác vuông cân vì OA=OB
\( \Rightarrow \widehat {OBA} = \widehat {OAB} = {45^o}\)
Vậy \(\alpha = {180^o} - \widehat {OBA} = {180^o} - {45^o} = {135^o}\)
=> Góc tạo bởi đường thẳng y = - x + 2 và trục Ox là 135°
Ví dụ 3: Cho hàm số y = -2x + 3
Tính góc tạo bởi đường thẳng y và trục Ox (làm tròn đến phút).
Giải
Đồ thị hàm số y = -2x + 3
Gọi góc hợp bởi đường thẳng y = -2x + 3 và trục Ox là α.
\( \Rightarrow \alpha = \widehat {ABx}\)
Xét tam giác vuông OAB, ta có: \(\tan \widehat {OBA} = \frac{{OA}}{{OB}} = 2\)
\( \Rightarrow \widehat {OBA} = {63^o}26'\)
\( \Rightarrow \alpha = {180^o} - \widehat {OBA} = {180^o} - \,{63^o}26' = {116^o}34'\)
Vậy góc hợp bởi đường thẳng y = -2x + 3 và trục Ox bằng \({116^o}34'\)
Trên đây thuthuatphanmem.vn đã chia sẻ đến các bạn hệ số góc của đường thẳng và cách tính hệ số góc của đường thẳng cùng với ví dụ cụ thể. Hi vọng sau bài viết này các bạn sẽ hiểu rõ hơn về hệ số góc và cách tính hệ số góc của đường thẳng. Chúc các bạn thành công!
Hệ số góc của đường thẳng là gì? Cách tính hệ số góc của đường thẳng như thế nào? Mời các bạn hãy cùng Mobitool theo dõi bài viết dưới đây nhé.
==>> Hệ số góc là gì
Trong cuộc sống thực tế chúng ta tiếp xúc rất nhiều với hệ số góc. Thông qua các công việc thực tế như xây mái nhà, làm sân bóng. Tuy nhiên không phải ai cũng biết cách tính hệ số góc. Chính vì vậy mời các bạn cùng theo dõi bài viết dưới đây để nắm được cách tính và bài tập hệ số góc nhé. Hãy cùng mobitool tham khảo.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, α là góc được tạo bởi chiều dương của trục Ox và đường thẳng, còn tan α chính là hệ số góc đường thẳng (d).
* Nếu như α ≠ 90 độ thì k = tan α
– Nếu k > 0 thì 0 < α=””>< 90=””>
– Nếu k <0 thì=”” 90=”” độ=””>< α=””>< 180=””>
* Nếu như α = 90 độ (tức là đường thẳng (d) vuông góc với trục Ox), tan 90 độ không xác định nên trường hợp này sẽ không có hệ số góc.
Mệnh Đề 1: Phương trình đường thẳng (d) với hệ số góc k có dạng là y = kx + b
Mệnh Đề 2: Đường thẳng (d) đi qua điểm M (xo, yo) với hệ số góc k có dạng: y = k (x – xo) + yo.
Lưu ý: Hai đường thẳng trùng nhau hoặc song song sẽ có hệ số góc bằng nhau.
Dạng tổng quát của đường thẳng (d) là Ax + By + C = 0
Nếu B ≠ 0 thì bạn có thể chuyển phương trình đường thẳng (d) sang dạng: y = kx + b
Tính góc α tạo bởi đường thẳng d và chiều dương trục Ox
Khi biết được hệ số góc k của đường thẳng (d), bạn dễ dàng tính được góc α với công thức: k = tan α
Hoặc:
Cho đường thẳng (d) cắt trục dương Ox tại M, tia Mt là phần trong đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ trục Ox mà điểm trên nửa mặt phẳng có tung độ dương. Lúc này, Mt hợp với Mx tạo ra góc α. Ta đặt k = tan α (k là hệ số góc đường thẳng d).
Do đó, hai đường thẳng song song sẽ có hệ số góc bằng nhau và hai đường thẳng vuông góc sẽ có tích 2 hệ số góc bằng -1.
Bài Tập Ví Dụ 1: Cho đường thẳng (d) có phương trình 3y – 2x + 1 = 0, hãy xác định hệ số góc của đường thẳng (d), tính góc hợp bởi đường thẳng và chiều dương của trục Ox.
Giải:
Ta có phương trình đường thẳng (d) là:
3y – 2x + 1 = 0
<=> 3y = 2x – 1
<=> y = 2x/3 – 1/3
Do đó, hệ số góc của đường thẳng (d) k = 2/3
Trong khi đó, tan α = k nên α = arctan 2/3
vậy góc hợp bởi đường thẳng (d) và chiều dương trục Ox là arctan 2/3
Bài Tập Ví Dụ 2: Cho đường thẳng (d): y = 3x + 5, đường thẳng (d’): y = 2x + 4. Tìm hệ số góc hai đường thẳng này
Giải:
– Hệ số góc đường thẳng (d) là 3
– Hệ số góc đường thẳng (d’) là 2
Bài Tập Ví Dụ 3: Cho hàm số y = -3x + 6
a. Vẽ đồ thị của hàm số
b. Tính góc tạo bởi đường thẳng y = -3x + 6 với trục Ox
Giải:
a. Đồ thị hàm số: y = -3x + 6
– Xét x = 0 => y = 4, ta có điểm A(0;6) thuộc đồ thị hàm số
– Xét y = 0 => x = 2, ta có điểm B (2;0) thuộc đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số y = -3x + 4 là đường thẳng đi qua hai điểm A và B trên
b. Tính góc
Gọi α là góc hợp bởi đường thẳng y = -3x +6 và trục Ox
=> α = góc ABx
Xét tam giác vuông AOB vuông tại O, ta có:
Tan góc ABO = OA/OB = 6/2 = 3
=> Góc ABO = 71 độ 33′
=> Góc ABx = 180 độ – góc ABO = 101 độ 27′
Kiến thức hệ số góc của đường thẳng Toán 10 được học ở lớp 10. Khi bạn biết nắm bắt được kiến thức này, bạn sẽ giải được nhiều dạng bài tập liên quan xuyên suốt từ lớp 10 tới lớp 12. Nếu như bạn quên công thức, cách tính hệ số góc của đường thẳng thì bạn tham khảo bài viết trên đây.