1. Bạn Khôi viết dãy số cách đều là 1, 5, 9, 13, …, 1001. Hỏi bạn Khôi đã viết tất cả bao nhiêu chữ số
Giải:
Nhận xét: Dãy số đầu bài cho là dãy các số chia 4 dư 1
Số các số hạng gồm 1 chữ số trong dãy số là:
(9 – 1):4 + 1 = 3 (số)
Số lượng các chữ số tạo thành các số có 1 chữ số là:
3
Số các số hạng gồm 2 chữ số trong dãy số là:
(97 – 13):4 + 1 = 22 (số)
Số lượng các chữ số tạo thành các số có 2 chữ số là:
22
Số các số hạng gồm 3 chữ số trong dãy số là:
(997 – 101):4 + 1 = 225 (số)
Số lượng các chữ số tạo thành các số có 3 chữ số là:
225
Số có 4 chữ số là 1001
Số lượng các chữ số tạo thành các số có 4 chữ số là 4
Số lượng các chữ số bạn Khôi viết là:
3 + 44 + 675 + 4 = 726 (chữ số)
Đáp án:726
2. Người ta tính rằng phải dùng 2001 chữ số để ghi số trang một quyển sách. Hỏi quyển sách đó dày bao nhiêu trang?
Giải:
Số các số hạng từ 1 đến 9 là:
(9 – 1):1 + 1 = 9 (số )
Số các chữ số để đánh số trang từ 1 đến 9 là:
9
Số các số hạng từ 10 đến 99 là:
(99 – 10):1 + 1 = 90 (số )
Số các chữ số để đánh số trang từ 10 đến 99 là:
90
Sau khi đánh xong số trang từ 1 đến 99 thì còn lại số chữ số là:
2001 – 9 – 180 = 1812 (chữ số)
Số lượng các trang có 3 chữ số là:
1812 : 3 = 604 (trang)
Quyển sách đó dày là:
604+9 + 90 = 703 (trang)
Đáp án: 703
3. Bạn Tú viết dãy số tự nhiên liên tiếp kể từ 1. Hỏi chữ số thứ 6897 của dãy số đó là chữ số nào?
Giải:
Từ 1 đến 9 có số số hạng là:
(9 – 1):1 + 1 = 9 (số )
Từ 1 đến 9 có số chữ số là:
9
Từ 10 đến 99 có số số hạng là:
(99 – 10):1 + 1 = 90 (số )
Từ 10 đến 99 có số chữ số là:
90
Từ 100 đến 999 có số số hạng là:
(999 – 100):1 + 1 = 900 (số )
Từ 100 đến 999 có số chữ số là:
900
Sau khi viết các số từ 1 đến 999 thì còn lại số chữ số là:
6897 – (9 + 180 + 2700) = 4008(chữ số)
Số lượng các số có 4 chữ số được viết là:
4008: 4 = 1002 (số)
Số chứa chữ số thứ 6897 là:
1000 + (1002 – 1)
Vậy chữ số thứ 6897 là 1
Đáp án: 1
4. Bạn Minh Anh viết dãy số tự nhiên liên tiếp kể từ 1. Hỏi chữ số thứ 1000 của dãy số đó là chữ số nào?
Hướng dẫn:
Từ 1 đến 9 có: 9 chữ số
Từ 10 đến 99 có: 90 số -> 90
Từ 100 đến 999 có 900 số - > 900
Chữ số thứ 1000 sẽ nằm trong khoảng từ 100 đến 999.
Số lượng chữ số của các số có 3 chữ số là:
1000 – 9 – 180 = 811 (chữ số)
Số lượng các số có 3 chữ số là:
811 : 3 = 270 (dư 1)
Số thứ 270 trong dãy từ 100 đến 999 là :
100 + (270 – 1)
ð chữ số thứ 1000 là số 3
Đáp số: 3
5. Bạn Quang viết dãy số chẵn liên tiếp kể từ 2. Hỏi chữ số thứ 2002 của dãy số đó là chữ số nào?
Hướng dẫn:
Số chẵn từ 2 đến 8 có : 4 số -> 4 chữ số
Số chẵn từ 10 đến 98 có : 45 số -> 45
Số chẵn từ 100 đến 998 có : 450 số -> 450
Số chẵn từ 1000 đến 9998 có : 4500 số -> 4500
Chữ số thứ 2002 sẽ thuộc 1 chữ số chẵn nằm trong khoảng từ 1000 đến 9998.
Số lượng chữ số của các số có 4 chữ số là:
2002 – (4 + 90 + 1350) = 558 (chữ số)
Số các số chẵn có 4 chữ số là:
558:4 = 139 (dư 2)
Số hạng thứ 139 trong dãy từ 1000 là:
1000 + (139 – 1)
Số hạng thứ 140 là 1278
Chữ số thứ 2002 là số 2
Đáp số: 2
6. Viết dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 99. Tính tổng của tất cả các chữ số của dãy số đó.
Hướng dẫn:
Cách 1:
Tính tổng các chữ số theo các cặp như sau:
1 và 98: 1 + 9 + 8 = 18
2 và 97: 2 + 9 + 7 = 18
3 và 96: 3 + 9 + 6 = 18
…
49 và 50: 4 + 9 + 5 + 0 = 18
Tổng các chữ số của dãy số từ 1 đến 98 là:
18
Tổng các chữ số của dãy số từ 1 đến 99 là:
882 + 18 = 900
Đáp số: 900
Cách 2:
Đối với các số từ 1 đến 9 ta thêm 1 chữ số 0 vào đằng trước ta sẽ được 1 dãy số như sau:
01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,…,99
Nhận xét:
Số lần xuất hiện của các chữ số {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ở hàng chục và hàng đơn vị là 10 lần nên ta có tổng của các chữ số như sau:
(0+1+2+…+9)
Đáp án:900
7. Cho dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến N. Tìm số N sao cho số chữ số của dãy đó gấp 2 lần số N.
Đáp số: 108
8. Bạn Minh viết các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2001. Hỏi bạn Minh đã viết tất cả bao nhiêu chữ số ?
Lời giải rút gọn:
1 đến 9 có 5 số lẻ : 5 cs
11 đến 99 có 45 số lẻ: 45 x 2 = 90 cs
101 đến 999 có 450 số lẻ: 450 x 3 = 1350 cs
1001 đến 2001 có 501 số lẻ: 501x4 = 2004 cs
Tổng các chữ số Minh viết là:
5 + 90 + 1350 + 2004 = 3449
Đáp án:3449
9. Khi viết dãy số lẻ liên tiếp từ 1 đến x phải dùng 2001 chữ số. Hỏi chữ số cuối cùng của dãy số đó là chữ số nào?
Giải:
Giải:
Từ 1 đến 9 có 5 số lẻ: 5 cs
Từ 11 đến 99 có 45 số lẻ: 45x2 = 90 cs
Từ 101 đến 999 có 450 số lẻ: 450x3 = 1350 cs
Từ 1001 đến 9999 có 4500 số lẻ:4500x4 = 18000 cs
Chữ số thứ 2001 sẽ nằm trong khoảng từ 1001 đến 9999.
2001 có thể viết được số các số lẻ có 4 cs là:
[2001 – (5 + 90 + 1350)] : 4 = 139 (số)
Dãy các số lẻ có 4cs là:
1001,1003,1005,…
Số hạng thứ 139 của dãy này là:
1001 + (139 – 1)x2 = 1001 + 276 = 1277
=> chữ số thứ 2001 là số 7
Đáp số: 7
10. Viết dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1000. Hỏi dãy số đó có tất cả bao nhiêu :
a. Chữ số 5 ?
b. Chữ số 0 ?
Giải:
a) Dãy các số có chữ số 5 ở hàng đơn vị là:
(5,15,25,…,995 ) có 100 (số)
Dãy các số có chữ số 5 ở hàng chục là:
(50,51,…,59);(150,151,…,159);..;(950,951,…,959)
Có 10 cụm ngoặc mà mỗi cụm có 10 số, nên số lượng các số có chữ số 5 ở hàng chục là:
10
Dãy các số có chữ số 5 ở hàng trăm là:
(500,501,502,…,599) có 100 (số)
Từ 1 đến 1000 có :
100 + 100 + 100 = 300 (chữ số 5)
b) Dãy các số có chữ số 0 ở hàng đơn vị là:
(10,20,30,…,1000) có 100 số
Dãy số có chữ số 0 ở hàng chục là:
(100,101,…109);(200,201, …,209);…;(900,901, …,990)
Có 9 cụm ngoặc mà mỗi cụm có 10 số, nên số lượng các số có chữ số 0 ở hàng chục là: 9
Số lượng chữ số 0 ở hàng trăm có 1 số là 1000
Từ 1 đến 1000 có :
100 + 90 + 1 = 191 (số)
Đáp án: a)300 b)201
11. Cho một số tự nhiên N được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2002. Tính tổng của tất cả các chữ số của số N đó.
Hướng dẫn giải:
Số tự nhiên N là:
1234567…1999200020012002
Thực hiện ghép cặp như sau:
1 và 1998: có tổng c/s là: 28
2 và 1997: có tổng c/s là: 28
3 và 1996: có tổng c/s là: 28
…
998 và 1001: có tổng c/s là: 28
999 và 1000: có tổng c/s là: 28
Tổng của các chữ số trong phép tính trên là:
999
Tổng của các chữ số của số 1999200020012002 là 37
Tổng của các chữ số của số N là:
27972 + 37 = 28009
Đáp án:28009
12. Có bao nhiêu số gồm bốn chữ số mà số tạo bởi hai chữ số đầu lớn hơn số tạo bởi hai chữ số cuối?
Giải:
Giải:
Gọi số phải tìm là
Dãy các số có thể có của
Dãy các số có thể có của
Nhận xét:
TH1:
Nếu
Nếu
Nếu
…
Nếu
TH2:
Nếu
Nếu
Nếu
…
Nếu
1 + 2 + 3 +…+ 89 = (1+89)
Tổng các số gồm bốn chữ số mà số tạo bởi hai chữ số đầu lớn hơn số tạo bởi hai chữ số cuối là:
900 + 4005 = 4905 (số)
Đáp số: 4905 số
13. Cho dãy số lẻ liên tiếp từ 1 đến x. Tìm x sao cho số chữ số của dãy gấp 3 lần số các số hạng của dãy đó
Giải:
Để số chữ số gấp 3 lần số số hạng thì trung bình 1 số phải có 3 chữ số.
Từ 1 đến 9 có 5 số lẻ gồm 1 chữ số. Mỗi số đó cần phải bù thêm 2 chữ số. Nên số chữ số cần viết thêm là:
5
Từ 10 đến 99 có 45 số lẻ,mỗi số gồm hai chữ số. Mỗi số cần bù thêm 1 chữ số. Nên số chữ số cần viết thêm là:
45
Từ 100 đến 999 có 900 số có 3 chữ số. Vì mỗi số đều gồm 3 chữ số nên số chữ số của dãy từ 100 đến 999 gấp 3 lần số các số hạng của dãy số đó.
Số lượng các chữ số cần bù để đảm bảo mỗi số có 3 chữ số là:
10 + 45 = 55 (chữ số)
Mỗi 1 số lẻ gồm 4 chữ số sẽ bù được 1 chữ số nên số lượng số lẻ gồm 4 chữ số cần dùng là 55 số.