Phương trình lượng giác. Là một phần của kỳ thi toán học ở phần đầu tiên, có một nhiệm vụ liên quan đến việc giải một phương trình - đây là phương trình đơn giản giải quyết trong vài phút, nhiều loại có thể được giải quyết bằng lời nói. Bao gồm: phương trình tuyến tính, bậc hai, hữu tỉ, vô tỉ, mũ, logarit và lượng giác.
Trong bài này, chúng ta sẽ xem xét các phương trình lượng giác. Giải pháp của họ khác cả về số lượng tính toán và độ phức tạp so với phần còn lại của các bài toán trong phần này. Đừng lo lắng, từ "khó khăn" đề cập đến độ khó tương đối của họ so với các nhiệm vụ khác.
Ngoài việc tự tìm nghiệm nguyên của phương trình, cần xác định nghiệm nguyên âm lớn nhất hoặc nghiệm nguyên dương nhỏ nhất. Xác suất để bạn nhận được một phương trình lượng giác trong kỳ thi tất nhiên là nhỏ.
Họ ít hơn 7% trong phần này của kỳ thi. Nhưng điều đó không có nghĩa là chúng nên bị bỏ qua. Ở phần C cũng cần giải phương trình lượng giác nên chỉ cần nắm chắc phương pháp giải và nắm chắc lý thuyết là được.
Hiểu được phần "Lượng giác" trong toán học phần lớn quyết định thành công của bạn trong việc giải quyết nhiều vấn đề. Tôi nhắc bạn rằng câu trả lời là một số nguyên hoặc một số hữu hạn số thập phân. Sau khi bạn nắm được gốc của phương trình, LUÔN LUÔN kiểm tra. Nó sẽ không mất nhiều thời gian, và bạn sẽ tự cứu mình khỏi những sai lầm.
Sắp tới, chúng ta cũng sẽ xem xét các phương trình khác, đừng bỏ lỡ nhé! Nhắc lại các công thức nghiệm nguyên của phương trình lượng giác, bạn cần biết:
Biết những giá trị này là cần thiết, đây là “bảng chữ cái”, nếu không có nó, bạn sẽ không thể đương đầu với nhiều nhiệm vụ. Thật tuyệt, nếu trí nhớ tốt, bạn dễ dàng học và ghi nhớ những giá trị này. Phải làm gì nếu điều này không thành công, bạn có sự bối rối trong đầu, nhưng đó chỉ là bạn đã đi chệch hướng trong kỳ thi. Sẽ thật đáng tiếc nếu bạn bị mất điểm do viết sai giá trị trong phép tính.
Giá trị này rất đơn giản, nó cũng được đưa ra trong lý thuyết mà bạn nhận được trong lá thư thứ hai sau khi đăng ký nhận bản tin. Nếu bạn chưa đăng ký, hãy làm điều đó! Trong tương lai, chúng tôi cũng sẽ xem xét cách xác định các giá trị này từ vòng tròn lượng giác. Không phải vì điều gì mà nó được gọi là “Trái tim vàng của lượng giác”.
Tôi sẽ giải thích ngay lập tức, để tránh nhầm lẫn, rằng trong các phương trình được xem xét bên dưới, các định nghĩa của arcsine, arccosine, arctangent được đưa ra bằng cách sử dụng góc X vì phương trình tương ứng: cosx = a, sinx = a, tgx = a, trong đó X cũng có thể là một biểu thức. Trong các ví dụ dưới đây, chúng tôi có đối số được chỉ định bởi biểu thức.
Vì vậy, hãy xem xét các nhiệm vụ sau:
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Viết ra gốc phủ định lớn nhất trong câu trả lời của bạn.
Quyết định phương trình cos x = a là hai nghiệm nguyên:
Định nghĩa: Để một số có môđun không vượt quá một. Tính cosin của số a là góc x, nằm trong khoảng từ 0 đến Pi, cosin của số đó bằng a.
Có nghĩa
Thể hiện x:
Tìm một gốc âm lớn nhất. Làm thế nào để làm nó? Thay thế ý nghĩa khác nhau n vào các nghiệm nguyên thu được, tính và chọn âm lớn nhất.
Chúng tôi tính toán:
Với n \ u003d - 2 x 1 \ u003d 3 (- 2) - 4,5 \ u003d - 10,5 x 2 \ u003d 3 (- 2) - 5,5 \ u003d - 11,5
Với n \ u003d - 1 x 1 \ u003d 3 (- 1) - 4,5 \ u003d - 7,5 x 2 \ u003d 3 (- 1) - 5,5 \ u003d - 8,5
Tại n = 0 x 1 = 3 ∙ 0 - 4,5 = - 4,5 x 2 = 3 ∙ 0 - 5,5 = - 5,5
Tại n \ u003d 1 x 1 \ u003d 3 1 - 4,5 \ u003d - 1,5 x 2 \ u003d 3 1 - 5,5 \ u003d - 2,5
Tại n = 2 x 1 = 3 ∙ 2 - 4,5 = 1,5 x 2 = 3 ∙ 2 - 5,5 = 0,5
Chúng tôi nhận thấy rằng gốc âm lớn nhất là -1,5
Trả lời: -1,5
Quyết định cho chính mình:
Giải phương trình:
Quyết định phương trình sin x = a là hai nghiệm nguyên:
Hoặc (nó kết hợp cả hai điều trên):
Định nghĩa: Để một số có môđun không vượt quá một. Cung của số a là góc x, nằm trong khoảng từ - 90 o đến 90 o, sin của số đó bằng a.
Có nghĩa
Biểu thị x (nhân cả hai vế của phương trình với 4 và chia cho số pi):
Tìm một gốc dương nhỏ nhất. Ở đây, rõ ràng ngay lập tức rằng khi thay thế giá trị âm n ta nhận được gốc âm. Do đó, chúng ta sẽ thay n = 0,1,2 ...
Với n = 0 x = (- 1) 0 + 4 ∙ 0 + 3 = 4
Với n = 1 x = (- 1) 1 + 4 ∙ 1 + 3 = 6
Với n = 2 x = (- 1) 2 + 4 ∙ 2 + 3 = 12
Kiểm tra n = –1 x = (–1) –1 + 4 ∙ (–1) + 3 = –2
Vậy căn dương nhỏ nhất là 4.
Trả lời: 4
Quyết định cho chính mình:
Giải phương trình:
Viết gốc dương nhỏ nhất cho câu trả lời của bạn.
Khá thường xuyên trong các nhiệm vụ tăng độ phức tạp gặp phương trình lượng giác có chứa môđun. Hầu hết chúng đều yêu cầu phương pháp tiếp cận theo phương pháp heuristic đối với giải pháp, điều này không hề quen thuộc với hầu hết học sinh.
Nhiệm vụ dưới đây nhằm giới thiệu cho bạn đọc những phương pháp tiêu biểu nhất để giải phương trình lượng giác có chứa môđun.
Bài toán 1. Tìm hiệu (theo độ) giữa nghiệm nguyên dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của phương trình 1 + 2sin x · | cos x | = 0.
Quyết định.
Hãy mở rộng mô-đun:
1) Nếu cos x ≥ 0 thì phương trình ban đầu sẽ có dạng 1 + 2sin x cos x = 0.
Hãy sử dụng công thức sin góc đôi, chúng tôi nhận được:
1 + sin2x = 0; sin2x = -1;
2x = -π / 2 + 2πn, n € Z;
x = -π / 4 + πn, n € Z. Vì cos x ≥ 0 nên x = -π / 4 + 2πk, k € Z.
2) Nếu cos x< 0, то phương trình đã cho có dạng 1 - 2sin x cos x = 0. Theo công thức sin góc kép, ta có:
1 - sin2x = 0; sin2x = 1;
2x = π / 2 + 2πn, n ∈ Z;
x = π / 4 + πn, n € Z. Vì cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Căn âm lớn nhất của phương trình: -π / 4; căn dương nhỏ nhất của phương trình: 5π / 4.
Hiệu số mong muốn: 5π / 4 - (-π / 4) = 6π / 4 = 3π / 2 = 3 180 ° / 2 = 270 °.
Đáp án: 270 °.
Bài toán 2. Tìm (theo độ) nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình | tg x | + 1 / cos x = tg x.
Quyết định.
Hãy mở rộng mô-đun:
1) Nếu tg x ≥ 0, thì
tg x + 1 / cos x = tg x;
Không có nghiệm nguyên nào trong phương trình kết quả.
2) Nếu tg x< 0, тогда
Tg x + 1 / cos x = tg x;
1 / cos x - 2tg x = 0;
1 / cos x - 2sin x / cos x = 0;
(1 - 2sin x) / cos x = 0;
1 - 2sin x = 0 và cos x ≠ 0.
Sử dụng Hình 1 và điều kiện tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Căn dương nhỏ nhất của phương trình 5π / 6. Chuyển đổi giá trị này thành độ:
5π / 6 = 5 180 ° / 6 = 5 30 ° = 150 °.
Trả lời: 150 °.
Nhiệm vụ 3. Tìm số lượng rễ khác nhau sin | 2x | = cos 2x trên khoảng [-π / 2; π / 2].
Quyết định.
Hãy viết phương trình dưới dạng sin | 2x | - cos 2x = 0 và xét hàm số y = sin | 2x | - cos 2x. Vì hàm là số chẵn, chúng tôi tìm thấy các số không của nó cho x ≥ 0.
sin 2x - cos 2x = 0; ta chia cả hai vế của phương trình cho cos 2x ≠ 0, ta được:
tg 2x - 1 = 0;
2x = π / 4 + πn, n ∈ Z;
x = π / 8 + πn / 2, n ∈ Z.
Sử dụng tính chẵn lẻ của hàm, chúng ta nhận được rằng nghiệm nguyên của phương trình ban đầu là các số có dạng
± (π / 8 + πn / 2), trong đó n ∈ Z.
Khoảng [-π / 2; π / 2] các số thuộc: -π / 8; π / 8.
Vậy hai nghiệm nguyên của phương trình thuộc khoảng đã cho.
Trả lời: 2.
Phương trình này cũng có thể được giải quyết bằng cách mở rộng mô-đun.
Nhiệm vụ 4. Tìm số nghiệm của phương trình sin x - (| 2cos x - 1 |) / (2cos x - 1) sin 2 x = sin 2 x trên khoảng [-π; 2π].
Quyết định.
1) Xét trường hợp 2cos x - 1> 0, tức là cos x> 1/2, khi đó phương trình trở thành:
sin x - sin 2 x \ u003d sin 2 x;
sin x - 2sin 2 x \ u003d 0;
sinx (1 - 2sinx) = 0;
sinx = 0 hoặc 1 - 2sinx = 0;
sin x = 0 hoặc sin x = 1/2.
Sử dụng Hình 2 và điều kiện cos x> 1/2, ta tìm được nghiệm nguyên của phương trình:
x = π / 6 + 2πn hoặc x = 2πn, n € Z.
2) Xét trường hợp 2cos x - 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
sin x + sin 2 x = sin 2 x;
x = 2πn, n ∈ Z.
Sử dụng Hình 2 và điều kiện cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Kết hợp hai trường hợp, chúng tôi nhận được:
x = π / 6 + 2πn hoặc x = πn.
3) Khoảng [-π; 2π] thuộc các gốc: π / 6; -π; Số 0; số π; 2π.
Như vậy, năm nghiệm của phương trình thuộc khoảng đã cho.
Trả lời: 5.
Nhiệm vụ 5. Tìm số nghiệm của phương trình (x - 0,7) 2 | sin x | + sin x = 0 trên khoảng [-π; 2π].
Quyết định.
1) Nếu sin x ≥ 0 thì phương trình ban đầu có dạng (x - 0,7) 2 sin x + sin x = 0. Sau khi lấy nhân tử chung sin x ra ngoài dấu ngoặc, ta được:
sin x ((x - 0,7) 2 + 1) = 0; vì (x - 0,7) 2 + 1> 0 với mọi x thực, thì sinx = 0, tức là x = πn, n ∈ Z.
2) Nếu sin x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x ((x - 0,7) 2 - 1) = 0;
sinx \ u003d 0 hoặc (x - 0,7) 2 + 1 \ u003d 0. Vì sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем Căn bậc hai từ bên trái và đúng bộ phận phương trình cuối cùng, chúng tôi nhận được:
x - 0,7 \ u003d 1 hoặc x - 0,7 \ u003d -1, nghĩa là x \ u003d 1,7 hoặc x \ u003d -0,3.
Có tính đến điều kiện sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0 có nghĩa là chỉ số -0,3 là nghiệm nguyên của phương trình ban đầu.
3) Khoảng [-π; 2π] thuộc các số: -π; Số 0; số π; 2π; -0,3.
Như vậy, phương trình có năm nghiệm trên một khoảng cho trước.
Trả lời: 5.
Bạn có thể chuẩn bị cho các bài học hoặc kỳ thi với sự trợ giúp của các phương pháp giáo dục có trên web. Hiện tại, bất kỳ ai
Bạn có câu hỏi nào không? Bạn không biết cách giải phương trình lượng giác?
Để được trợ giúp từ một gia sư -.
Bài học đầu tiên là miễn phí!
blog.site, với việc sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn.
Quyền riêng tư của bạn rất quan trọng với chúng tôi. Vì lý do này, chúng tôi đã phát triển Chính sách bảo mật mô tả cách chúng tôi sử dụng và lưu trữ thông tin của bạn. Vui lòng đọc chính sách bảo mật của chúng tôi và cho chúng tôi biết nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào.
Thu thập và sử dụng thông tin cá nhân
Thông tin cá nhân đề cập đến dữ liệu có thể được sử dụng để xác định hoặc liên hệ với một người cụ thể.
Bạn có thể được yêu cầu cung cấp thông tin cá nhân của bạn bất kỳ lúc nào khi bạn liên hệ với chúng tôi.
Sau đây là một số ví dụ về các loại thông tin cá nhân mà chúng tôi có thể thu thập và cách chúng tôi có thể sử dụng thông tin đó.
Chúng tôi thu thập thông tin cá nhân nào:
- Khi bạn gửi đơn đăng ký trên trang web, chúng tôi có thể thu thập nhiều thông tin khác nhau, bao gồm tên, số điện thoại, địa chỉ của bạn E-mail vân vân.
Cách chúng tôi sử dụng thông tin cá nhân của bạn:
- Do chúng tôi sưu tầm thông tin cá nhân cho phép chúng tôi liên hệ với bạn và thông báo cho bạn về các ưu đãi, khuyến mãi độc đáo và các sự kiện khác và các sự kiện sắp tới.
- Đôi khi, chúng tôi có thể sử dụng thông tin cá nhân của bạn để gửi cho bạn những thông báo và tin nhắn quan trọng.
- Chúng tôi cũng có thể sử dụng thông tin cá nhân cho các mục đích nội bộ, chẳng hạn như thực hiện kiểm toán, phân tích dữ liệu và các nghiên cứu khác nhau để cải thiện các dịch vụ mà chúng tôi cung cấp và cung cấp cho bạn các khuyến nghị liên quan đến dịch vụ của chúng tôi.
- Nếu bạn tham gia rút thăm giải thưởng, cuộc thi hoặc khuyến khích tương tự, chúng tôi có thể sử dụng thông tin bạn cung cấp để quản lý các chương trình đó.
Tiết lộ cho bên thứ ba
Chúng tôi không tiết lộ thông tin nhận được từ bạn cho bên thứ ba.
Các trường hợp ngoại lệ:
- Nếu cần - theo quy định của pháp luật, lệnh tư pháp, trong quá trình tố tụng pháp lý và / hoặc dựa trên yêu cầu công khai hoặc yêu cầu từ cơ quan chính phủ trên lãnh thổ của Liên bang Nga - tiết lộ thông tin cá nhân của bạn. Chúng tôi cũng có thể tiết lộ thông tin về bạn nếu chúng tôi xác định rằng việc tiết lộ đó là cần thiết hoặc thích hợp vì lý do bảo mật, thực thi pháp luật hoặc lợi ích công cộng khác.
- Trong trường hợp tổ chức lại, sáp nhập hoặc bán, chúng tôi có thể chuyển thông tin cá nhân mà chúng tôi thu thập được cho người kế nhiệm bên thứ ba có liên quan.
Bảo vệ thông tin cá nhân
Chúng tôi thực hiện các biện pháp phòng ngừa - bao gồm hành chính, kỹ thuật và vật lý - để bảo vệ thông tin cá nhân của bạn khỏi bị mất, bị đánh cắp và sử dụng sai mục đích, cũng như khỏi bị truy cập, tiết lộ, thay đổi và phá hủy trái phép.
Duy trì quyền riêng tư của bạn ở cấp công ty
Để đảm bảo rằng thông tin cá nhân của bạn được bảo mật, chúng tôi truyền đạt các thông lệ về quyền riêng tư và bảo mật cho nhân viên của mình và thực thi nghiêm túc các thông lệ về quyền riêng tư.