Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu
Để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên
Chương 0 Số phức
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.1 – Dạng đại số của số phức
0.2 – Dạng lượng giác của số phức
0.3 – Dạng mũ của số phức
0.4 – Nâng số phức lên lũy thừa
0.5 – Khai căn số phức
0.6 – Định lý cơ bản của Đại số 0.1 Dạng đại số của số phức
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Không tồn tại một số thực nào mà bình phương của nó là một
số âm. Hay, không tồn tại số thực x sao cho x2 = -1. Ở thế kỷ thứ 17, người ta định nghĩa một số ảo.
Bình phương của một số ảo là một số âm. Ký tự i được chọn
để ký hiệu một số mà bình phương của nó bằng –1.
Định nghĩa số i
Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho
i2 = -1 0.1 Dạng Đại số của số phức ----------------------------------------------------------------- Định nghĩa số phức
Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó
z = a + bi được gọi là số phức. Số thực a được gọi là
phần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z. Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re[z].
Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im[z].
Tập số thực là tập hợp con của tập số phức, bởi vì nếu cho
b = 0, thì a + bi = a + 0i = a là một số phức. 0.1 Dạng Đại số của số phức ----------------------------------------------------------------- Tất cả các số có dạng 0 + bi, với b là một số thực khác
không được gọi là số thuần ảo. Ví dụ: i, -2i, 3i là những số
thuần ảo. Số phức ghi ở dạng z = a + bi được gọi là dạng đại số
của số phức z. 0.1 Dạng Đại số của số phức ----------------------------------------------------------------- Định nghĩa sự bằng nhau
Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực và
phần ảo tương ứng bằng nhau.
Nói cách khác, hai số phức z1 = a1 + ib1 và z2 = a2 +ib2 bằng
nhau khi và chỉ khi a1 = a2 và b1 = b2. Ví dụ
Cho z1 = 2 + 3i; z2 = m + 3i.
Tìm tất cả các số thực m để z1 = z2.
Giải
2 m
z1 z2 2 3i m 3i
m 2
3 3 0.1 Dạng Đại số của số phức ----------------------------------------------------------------- Định nghĩa phép cộng và phép trừ của hai số phức.
Cho a + bi và c + di là hai số phức, khi đó
Phép cộng: [a + bi] + [c + di] = [a + c] + [b + d] i
Phép trừ: [a + bi] - [c + di] = [a - c] + [b - d] i
Ví dụ
Tìm phần thực và phần ảo của số phức
z = [3 + 5i] + [2 - 3i].
Giải
z = [3 + 5i] + [2 - 3i] = [3+2] + [5i – 3i] = 5 + 2i.
Re[z ] 5; Im[z ] 2. 0.1 Dạng Đại số của số phức
----------------------------------------------------------------- Định nghĩa phép nhân hai số phức.
Cho z1 = a + bi và z2 = c + di là hai số phức, khi đó
z1.z2 = [a + bi] [c + di] = [ac – bd] + [ ad + bc]i
Ví dụ
Tìm dạng đại số của số phức
z = [2 + 5i].[3+ 2i]
Giải
z = [2 + 5i][3 + 2i] = 2.3 + 2.2i + 3.5i + 5i.2i
= 6 + 4i + 15i + 10 i2 = 6 + 19i + 10[-1]= -4 + 19i
Vậy dạng đại số của số phức là: z = -4 + 19i. 0.1 Dạng Đại số của số phức
----------------------------------------------------------------- Cộng, trừ, nhân hai số phức:
Khi cộng [trừ ] hai số phức, ta cộng [trừ ] phần thực và
phần ảo tương ứng.
Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai biểu
thức đại số với chú ý i2 = −1. 0.1 Dạng Đại số của số phức
----------------------------------------------------------------- Định nghĩa số phức liên hợp
Số phức z a bi
phức z = a + bi. được gọi là số phức liên hợp của số Ví dụ.
Tìm số phức liên hợp của số phức z = [2 + 3i] [4 - 2i].
Giải.
z = [2 + 3i] [4 - 2i] = 2.4 – 2.2i + 3i.4 – 3i.2i
= 8 – 4i + 12i – 6i2 = 8 – 4i + 12i – 6[-1] = 14 + 8i.
Vậy số phức liên hợp là z 14 8i. 0.1 Dạng Đại số của số phức
----------------------------------------------------------------- Tính chất của số phức liên hợp
Cho z và w là hai số phức; z và
tương ứng. Khi đó:
1. z z là một số thực. w là hai số phức liên hợp 2. z z là một số thực.
3. z z khi và chỉ khi z là một số thực.
4. z w z w
5. z w z w
6. z z
7. z n [ z ] n với mọi số tự nhiên n 0.1 Dạng Đại số của số phức
----------------------------------------------------------------- Phép chia hai số phức.
z1 a1 ib1
z2 a2 ib2
z1 [a1 ib1 ][a2 ib2 ]
z2 [a2 ib2 ][ a2 ib2 ]
z1 a1a2 b1b2
b1a2 a2b1
2
i 2 2
2
z2
a2 b2
a2 b2
Muốn chia số phức z1 cho z2, ta nhân tử và mẫu cho số phức liên
hợp của mẫu. [Giả sử z2 0 ] 0.1 Dạng Đại số của số phức
----------------------------------------------------------------- Ví dụ.
Thực hiện phép toán 3 2i
5 i Giải.
3 2i [3 2i ][5 i ]
5 i
[5 i ][5 i ] Nhân tử và mẫu cho số
phức liên hợp của mẫu là
5 + i. 15 3i 10i 2i 2
25 1
13 13i 1 1
i
26
2 2 Viết ở dạng Đại số 0.1 Dạng Đại số của số phức
------------------------------------------------------------------ Lưu ý: So sánh với số phức.
Trong trường số phức không có khái niệm so sánh. Nói một
cách khác, không thể so sánh hai số phức z1 = a1 + ib1 và
z2
= a2 + ib2 như trong trường số thực. Biểu thức z1 < z2 hoặc z2 ≥
z1 không có nghĩa trong trường số phức C ngoại trừ chúng ta
định nghĩa khái niệm so sánh một cách khác. 0.2 Dạng lượng giác của số phức
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- y
trục ảo b trục thực r a 2 b2 mod[ z ] M [a, b] z a bi
r o
a
a
cos r
:
sin b
r x 0.2 Dạng lượng giác của số phức
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Môđun của số phức
Môđun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định
nghĩa như sau: mod[ z ] | z | a 2 b 2
Ví dụ
Tìm môđun của số phức z = 3 - 4i.
Giải
2
2
2
2
a = 3; b = -4. Vậy mod[z] = |z| = a b 3 [ 4] 5. 0.2 Dạng lượng giác của số phức
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Chú ý:
Nếu coi số phức z = a + bi là một điểm có tọa độ [a, b], thì | z | a 2 b 2 [a 0] 2 [b 0] 2
là khoảng cách từ điểm [a, b] đến gốc tọa độ.
Cho z = a + bi và w = c + di. | z w | [a c] 2 [b d ] 2
là khoảng cách giữa hai điểm [a, b] và [c,d]. 0.3 Dạng mũ của số phức
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ
Tìm tất cả các số phức z thỏa | z 2 3i |5
Giải
| z 2 3i |5
| z [2 3i ] |5 đường tròn tâm [2,-3] bán kính bằng 5. 0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------Định nghĩa argument của số phức
Góc được gọi là argument của số phức z và được ký hiệu
là arg[ z ] .
Lưu ý.
Góc được giới hạn trong khoảng
0 2 hoặc
Công thức tìm argument của số phức.
a
cos a
r
a 2 b2
b
sin b
r
a 2 b2 hoặc b
tg
a 0.2 Dạng lượng giác của số phức
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ
Tìm argument của số phức z 3 i.
Giải
a 3; b 1 . Ta tìm góc thỏa:
a
3
3
cos =
r
3 1 2 b
1
1
sin =
r
3 1 2
Vậy arg[z] =
6
Suy ra
6 0.2 Dạng lượng giác của số phức
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- z a bi; a 2 b 2 0
2 z a b [ z r a 2 a 2 b2 [cos i b
a 2 b2 ] i sin ] z r [cos i sin ] Dạng lượng giác của số phức 0.2 Dạng lượng giác của số phức
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ
Tìm dạng lượng giác của số phức z 1 i 3.
Giải
a 1; b 3. Môđun: r | z | a 2 b 2 2.
Argument:
a
1
1
cos =
r
3 1 2
2
Suy ra
3
Dạng lượng giác: b
3
3
sin =
r
3 1 2 2
2
z 1 i 3 2[cos
i sin ]
3
3 0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------- z1 r1 [cos 1 i sin 1 ]; z2 r2 [cos 2 i sin 2 ]
Sự bằng nhau giữa hai số phức ở dạng lượng giác
r
r
1
2
z
z
1 2
2
k
1
2
Phép nhân ở dạng lượng giác
z1 z2 r1r2 [cos[1 2 ] i sin[1 2 ]] Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau
và argument cộng lại. 0.2 Dạng lượng giác của số phức
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức z [1 i ][1 i 3].
Giải z [1 i][1 i 3]
z 2[cos isin ] 2[cos
isin ]
4
4
3
3
z 2 2[cos[ ] isin[ ]]
4 3
4 3
isin ].
Dạng lượng giác: z 2 2[cos
12
12 0.2 Dạng lượng giác của số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------- z1 r1 [cos 1 i sin 1 ]; z2 r2 [cos 2 i sin 2 ]
z2 0 r2 0.
Phép chia hai số phức ở dạng lượng giác
zr
11
[
c
o
s
[
]
i
s
i
n
[
]
]
1
2
1
2
zr
22
Chia hai số phức ở dạng lượng giác: môđun chia cho nhau và
argument trừ ra. 0.2 Dạng lượng giác của số phức
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ Tìm dạng lượng giác, môđun và argument của số phức 2 i 12
z
.
3i
Giải -
-
4[cos i sin ]
2 2i 3
3
3
z
5
5
3i
2[cos i sin ]
6
6
- 5
- 5
z 2[cos[ - ] i sin[ - ]]
3 6
3 6
7
7
isin
].
Dạng lượng giác: z 2[cos
6
6 0.3 Dạng mũ của số phức
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định lý Euler [1707-1783] ei cos i sin z a bi Dạng đại số của số phức z z r [cos i sin ] Dạng lượng giác của số phức z z rei Dạng mũ của số phức z 0.3 Dạng mũ của số phức
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ
Tìm dạng mũ của số phức sau z 3 i
Dạng lượng giác:
Dạng mũ: 5
5
z 2[cos i sin ]
6
6
z 2e i 5
6 0.3 Dạng mũ của số phức
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ
Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức z e2i ; R
z e2[cos i sin ]
Môđun không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là đường tròn. 0.3 Dạng mũ của số phức
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ
Biểu diễn các số phức sau lên mặt phẳng phức z ea 3i ; a R
z ea[cos3 i sin3]
Argument không thay đổi, suy ra tập hợp các điểm là nửa
đường thẳng nằm trong góc phần tư thứ 2. 0.4 Nâng số phức lên lũy thừa
---------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa phép nâng số phức lên lũy thừa bậc n
z a bi
z 2 z z [a bi ][a bi ] [a 2 b 2 ] [2ab]i
z 3 [a bi ]3 a3 3a 2bi 3a[bi ] 2 [bi ]3 ...
z n [a bi ]n Cn0 a n Cn1 a n 1 [bi ] Cn2a n 2 [bi ]2 ... Cnn [bi ]n
z n A iB 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa
---------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Cho z = 2 + i. Tính z5.
z 5 [2 i]5
C50 25 C51 24 i C52 23 i 2 C53 22 i 3 C54 2i 4 C55i 5
32 5.16.i 10.8.[ 1] 10.4.[ i ] 5.2.1 i
38 41i 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa
-------------------------------------------------------------- Lũy thừa bậc n của số phức i:
i 5 i 4 i 1 i i i1 i i 6 i 4 i 2 1 [ 1] 1 i 2 1
3 2 4 2 i i i [ 1] i i
2 i i i [ 1] [ 1] 1 i 7 i 4 i 3 1 [ i ] i
i 8 i 4 i 4 1 1 1 Lũy thừa bậc n của i
Giả sử n là số tự nhiên, khi đó in = ir, với r là phần dư của n
chia cho 4. 0.3 Dạng mũ của số phức
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ
Tính z i1987 1987 4496 3
z i 1987
3
i 4496
i 3 i 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa
---------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ
Cho z = 1 + i.
a] Tìm z3;
b] Tìm z100. a] z 3 [1 i ]3 1 3i 3i 2 i 3
z 1 3i 3 i
z 2 2i
b] Tính töông töïraá
t phöù
c taïp. Ta söûduïng caù
ch khaù
c 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa
---------------------------------------------------------------------------------------------------- z a bi r [cos i sin ]
z 2 z z r 2[cos2 i sin2 ]
z 3 z 2 z r 3[cos3 i sin3 ]
z n z n 1 z r n [cosn i sinn ]
Công thức De Moivre
Cho r > 0, cho n là số tự nhiên. Khi đó [r [cos i sin ]]n r n [cos n i sin n ] 0.3 Nâng số phức lên lũy thừa
---------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Sử dụng công thức de Moivre’s, tính:
a]
c] [1 + i]25 b] [ 1 i 3] 200 [ 3 i]17
[ 12
2i]20 Giải. a] Bước 1. Viết 1 + i ở dạng lượng giác
z 1 i 2 [cos i sin ]
4
4
Bước 2. Sử dụng công thức de Moivre’s:
25
25
25
25
25
z [ 2 [cos i sin ]] [ 2 ] [cos
i sin
]
4
4
4
4
25
12
z
2
2
[cos
i
sin
]
Bước 3. Đơn giản
4 4 0.4 Khai căn số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa căn bậc n của số phức
Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho wn = z,
trong đó n là số tự nhiên. z a bi r [cos i sin ]
2
k 2
k
n
n
n
z
r
[
c
o
s
i
s
i
n
]
z
r
[
c
o
s
i
s
i
n
]
k
n n
với k = 0, 1, 2, …, n – 1. Căn bậc n của số phức z có đúng n nghiệm phân biệt. 0.4 Khai căn số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Tìm căn bậc n của các số phức sau. Biểu diển các nghiệm
lên trên mặt phẳng phức.
16i
4
8
3
c]
b] 3 i
a] 8
1 i
d] 6 1i
3 i e] 5 12i f] 1 2i Giải câu a]
b] Viết số phức ở dạng lượng giác: 8 8[cos 0 i sin 0] Sử dụng công thức:
3 8[cos 0 i sin 0] z 2[cos 0 2k i sin 0 2k ]
k 3
k 0,1, 2. 3 0.4 Khai căn số phức
---------------------------------------------------------------------------------------------------- Giải câu b] b] Viết số phức ở dạng lượng giác:
3 i 2[cos i sin ]
6
6 Sử dụng công thức:
2 k
2 k
6
4 2[cos i sin ] z 4 2[cos 6
i
sin
]
k
6
6
4
4
k 0,1, 2,3. z1
z0 z2
z3 0.5 Định lý cơ bản của Đại số
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss [1777-1855]
chứng minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm. Số nghiệm của một đa thức
Đa thức P[z] bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội. 0.5 Định lý cơ bản của Đại số
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định lý cơ bản của Đại số cho biết được số nghiệm của
phương trình mà không chỉ cách tìm các nghiệm đó như thế
nào. Nếu đa thức với hệ số thực, chúng ta có một hệ quả rất quan
trọng sau đây
Hệ quả
Nếu a + bi là một nghiệm phức của đa thức P[z] với hệ số
thực, thì a – bi cũng là một nghiệm phức. 0.5 Định lý cơ bản của Đại số
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ
[sử dụng hệ quả của định lý cơ bản]
1] Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận z1 = 3i và z2 = 2+i
làm nghiệm.
2] Tìm đa thức bậc 4 với hệ số thực nhận z1 = 3i và z2 = 2+i
làm nghiệm.
1] Không tồn tại đa thức thỏa yêu cầu bài toán.
2] Đa thức cần tìm là: P [z ] [z z1][z z1][z z2][z z2]
P [z ] [z 3i ][z 3i ][z [2 i ]][z [2 i ]]
P [z ] [z 2 9][z 2 4z 5] 0.5 Định lý cơ bản của Đại số
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ
[sử dụng hệ quả của định lý cơ bản]
Tìm tất cả các nghiệm của P[ z ] z 4 4 z 3 14 z 2 36 z 45
biết 2 + i là một nghiệm.
Giải. Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm,
theo hệ quả ta có 2 –i là một nghiệm.
P[z] có thể phân tích thành [z – [2 + i]][z - [2 – i]] =
= z2 – 4z + 5
P[z] có thể ghi ở dạng
P[z] = [z2 – 4z + 5][z2 + 9]
z2 + 9 có hai nghiệm 3i và –3i. Vậy ta tìm được cả 4
nghiệm của P[z] là 2 + i, 2 – i, 3i, -3i. 0.5 Định lý cơ bản của Đại số
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ
Giải phương trình sau trong C. z 9 i 0 z 9 i z 9 i z 9 cos
i sin
2
2
k 2
k 2
zk cos 2
i sin 2
9
9
k 0,1,...,8. 0.5 Định lý cơ bản của Đại số
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ví dụ. Giải các phương trình sau trong C.
a] z 5 1 i 0 b] z 2 z 1 0
c] z 4 z 2 2 0
d] z 2 2 z 1 i 0
Giải. Giải phương trình
Bước 1. Tính
Bước 2. Tìm
Bước 3. az 2 bz c 0 b 2 4ac
2
b
4
ac
1
,
2
b
b
1
2
z
;
z
1
2
a2 2
a Kết luận
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Dạng Đại số của số phức
z a bi
2. Dạng Lượng giác của số phức
z r [cos i sin ]
3. Nâng lên lũy thừa
z n [r [cos i sin ]]n r n [cos n i sin n ]
4. Căn bậc n của số phức
2
k
2
k
n
n
n
z
r
[cos
i
sin
]
z
r
[co
i
si
]
k
n n
k 1,2,3,..., n 1. This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Video liên quan
Video liên quan