Sau khi học thuộc các khái niệm, quy tắc về phương trình bậc nhất, phương trình bậc nhất một ẩn thì các em cần áp dụng vào làm thật nhiều bài tập cho thuần thục.
Sau khi học thuộc các khái niệm, quy tắc về phương trình bậc nhất, phương trình bậc nhất một ẩn thì các em cần áp dụng vào làm thật nhiều bài tập cho thuần thục.
Một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x), trong đó vế trái là A(x) và vế phải là B(x) là hai biểu thức của cùng một biến.
Một phương trình có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba nghiệm,… nhưng cũng có thể không có nghiệm nào hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không có nghiệm nào được gọi là phương trình vô nghiệm.
2. Giải phương trình
Tập hợp tất các các nghiệm của một phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó và thường kí hiệu bởi S.
Khi bài toán yêu cầu giải phương trình, ta phải tìm tất cả các nghiệm (hay tìm tập nghiệm) của phương trình đó.
3. Phương trình tương đương
Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng một tập nghiệm.
Ví dụ : x + 1 = 0 x = -1
4. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn
Phương trình dạng ax + b = 0, với a và b là hai số đã cho và a 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
5. Hai quy tắc biến đổi phương trình
a) Quy tắc chuyển vế
Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
b) Quy tắc nhân với một số.
– Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
– Trong một phương trình, ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0.
6. Cách giải phương trình chưa ẩn ở mẫu
Bước 1 : Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2 : Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3 : Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4 : Kết luận. Trong các giá trị ẩn vừa tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn ĐKXĐ chính là nghiệm của phương trình đã cho.
7. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bước 1 : Lập phương trình.
– Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
– Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
– Lập phương trinh biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2 : Giải phương trình.
Bước 3 : Trả lời : Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.
Bài viết gợi ý:
Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải phương trình bậc nhất một ẩn một cách dễ dàng và chính xác nhất cùng các ví dụ cụ thể và bài tập SGK.
Trước tiên ta cùng đến các kiến thức cần nhớ để giúp ta giải phương trình bậc nhất một ẩn.
Xem thêm: Các bài viết Toán 8
Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn
1. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn
Phương trình dạng ax + b = 0 với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Hai quy tắc biến đổi phương trình
a) Quy tắc chuyển vế
Trong một phương trình, ta có thể chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia và đổi dấu số hạng đó.
Ví dụ: 3x + 4 = 0 ⇔ 3x = − 4
b) Quy tắc nhân với một số
Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
Ví dụ: 3x = − 4 ⇔ 3.1/3 .x = − 4 .1/3 ⇔ x = – 4/3 (ta nhân cả hai vế với 1/3 cũng tương đương với việc ta chia cả hai vế cho 3)
3. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn
Cách giải:
Phương trình bậc nhất ax + b = 0 (a ≠ 0) được giải như sau:
ax + b = 0 ⇔ ax = − b ⇔ x = − b/a.
Phương trình bậc nhất một ẩn luôn có một nghiệm duy nhất x = − b/a.
4. Ví dụ. Giải các phương trình bậc nhất
Ví dụ 1: Giải phương trình bậc nhất (dạng đơn giản)
a) 2x − 1 = 0
⇔ 2x = 1 <<< Ta chuyển vế – 1 từ trái sang phải và đổi dấu thành 1
⇔ x = 1/2 <<< Ta chia cả hai vế cho 2
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1/2.
Hoặc Kết luận: Tập nghiệm của phương trình S = {1/2}.
b) – 4x + 4 = 0
⇔ – 4x = – 4 <<< Ta chuyển vế 4 từ trái sang phải và đổi dấu thành – 4
⇔ x = (-4)/(-4) = 1 <<< Ta chia cả hai vế cho -4
Các dạng bài tập giải phương trình bậc nhất
Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc nhất.
Phương pháp giải:
Dựa vào định nghĩa phương trình bậc nhất để đối chiếu với các phương trình đã cho.
Phương trình dạng ax + b = 0 với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn
Bài 1: (B7/10/SGK Toán 8 tập 2)
Hãy chỉ ra các phương trình bậc nhất trong các phương trình sau:
a) 1 + x = 0
Phương trình này thuộc dạng ax + b = 0 nên là phương trình bậc nhất một ẩn với a = 1.
b) x + x² = 0
Phương trình này có ẩn x mũ 2 nên không là phương trình bậc nhất.
c) 1 – 2t = 0
Phương trình này có ẩn là t và có dạng at + b = 0 với a = -2 và b = 1, nên đây là phương trình bậc nhất.
d) 3y = 0
Phương trình này có ẩn là y bậc nhất và có dạng ay + b = 0 với a = 3 và b = 0, nên đây là phương trình bậc nhất.
e) 0x − 3 = 0
Phương trình trên có dạng ax + b = 0 nhưng a = 0 nên đây không phải phương trình bậc nhất.
Dạng 2: Giải phương trình bậc nhất, phương trình đưa được về dạng ax + b = 0
Phương pháp giải:
Ta áp dụng các quy tắc chuyển vế và nhân (chia) cả hai vế với một số để đưa phương trình về dạng phương trình bậc nhất ax + b = 0 hoặc ax = – b để giải.
Bài 2: (B8/10/SGK Toán 8 tập 2)
Giải các phương trình bậc nhất sau:
a) 4x − 20 = 0
⇔ 4x = 20
⇔ x = 20/4 = 5.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 5.
b) 2x + x + 12 = 0
⇔ (2x + x) + 12 = 0 <<< Ta CỘNG tất cả các đơn thức có chứa x
⇔ 3x + 12 = 0
⇔ 3x = – 12
⇔ x = -12/3 = – 4
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = – 4.
c) x − 5 = 3 − x
⇔ x + x = 3 + 5 <<< Chuyển vế đổi dấu, đưa hết các đơn thức chứa x sang trái và số sang vế phải
⇔ 2x = 8 <<< Đưa về phương trình bậc nhất dạng ax = -b
⇔ x = 8/2 = 4
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4.
d) 7 − 3x = 9 − x
⇔ − 3x + x = 9 − 7 <<< Chuyển vế đổi dấu, đưa hết các đơn thức chứa x sang trái và số sang vế phải
⇔ − 2x = 2
⇔ x = 2/(-2) = – 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = -1.
Bài 3: Giải các phương trình bậc nhất sau:
a) (3x + 5) − (x − 5) − 8 = 0
⇔ 3x + 5 − x + 5 − 8 = 0 <<< Phá ngoặc đằng trước có dấu trừ phải đối dấu
⇔ 3x − x + 2 = 0 ⇔ 2x + 2 = 0 <<< Đưa về phương trình bậc nhất dạng ax + b = 0
⇔ 2x = – 2
⇔ x = – 1.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = -1.
b) (3 − 5x) + (6x − 10) − 9 = 0
⇔ 3 − 5x + 6x − 10 − 9 = 0
⇔ x − 16 = 0
⇔ x = 16.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 16.
Bài 4. Giải các phương trình sau:
⇔ 2x − 3(2x + 1) = x − 6x <<< Ta quy đồng mẫu số cả hai vế (MSC = 6)
⇔ 2x − 6x − 3 = x − 6x
⇔ – 4x − 3 = – 5x
⇔ – 4x + 5x = 3 <<< Chuyển vế đổi dấu
⇔ x = 3
Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho.
⇔ 4(2 + x) − 10x = 5(1 − 2x) + 5 <<< Quy đồng mẫu số cả 2 vế
⇔ 8 + 4x − 10x = 5 − 10x + 5
⇔ 4x − 10x + 10x = 10 − 8 <<< Chuyển vế đổi dấu
⇔ 4x = 2
⇔ x = 2/4 = 1/2.
Vậy x = 1/2 là nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 5. Giải các phương trình sau:
a) 3 − 4x(25 − 2x) = 8x² + x − 300
Lúc đầu ta nhìn phương trình có vẻ như có ẩn x mũ 2. Ta nhân phá ngoặc để thực hiện rút gọn đa thức.
Ta có phương trình đã cho tương đương với
3 − 100x + 8x² = 8x² + x − 300
⇔ − 100x + 8x² − 8x² − x = − 300 − 3
⇔ − 101x = − 303
⇔ x = 3
Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình đã cho.
Ta thực hiện quy đồng mẫu số cả hai vế với mẫu số chung là 20.
Phương trình đã cho tương đương với
8(1 − 3x) − 2(2 + 3x) = 20.7 − 15(2x + 1)
⇔ 8 − 24x − 4 − 6x = 140 − 30x − 15
⇔ − 24x − 6x + 30x = 140 − 15 + 4 − 8
⇔ 0x = 121
Phương trình này vô nghiệm.
Dạng 3. Giải và biện luận phương trình bậc nhất
Phương pháp giải:
Nếu trong phương trình bậc nhất có chứa chữ (gọi là tham số), thì ta phải chia các trường hợp giá trị tham số làm cho hệ số của ẩn khác 0 hoặc bằng 0 rồi mới giải tiếp.
Bài 6. Giải phương trình ax + 1 = x − 1 với a là tham số.
Giải:
Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:
ax − x = − 1 − 1
⇔ (a − 1)x = − 2
- Nếu a = 1 thì a − 1 = 0 thì phương trình trở thành
0x = − 2, phương trình vô nghiệm.
- Nếu a ≠ 1 thì a − 1 ≠ 0 thì phương trình có nghiệm
x = −2/(a − 1)
Bài 7. Giải phương trình a(ax + 1) = x(a + 2) + 2, với a là tham số.
Giải:
Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:
a²x + a = ax + 2x + 2
⇔ a²x − ax − 2x = 2 − a
⇔ (a² − a − 2)x = 2 − a
⇔ (a + 1)(a − 2)x = 2 − a.
- Nếu a = -1 thì phương trình có dạng 0x = 3, phương trình vô nghiệm.
-
Nếu a = 2 thì phương trình có dạng 0x = 0, phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị x.
-
Nếu a ≠ -1 và a ≠ 2 thì phương trình có nghiệm là
x = – 1/(a+1)
Bài 8. Tìm giá trị của m để phương trình
5(m + 3x)(x + 1) − 4(1 + 2x) = 80 có nghiệm x = 2.
Giải:
Phương trình có nghiệm x = 2 tức là giá trị x = 2 thỏa mãn phương trình nên thay giá trị x = 2 vào phương trình, ta có:
5(m + 3 . 2 )(2 + 1) − 4(1 + 2 . 2) = 80
⇔ 15(m + 6) − 20 = 80
⇔ 15m = 10
Lúc này ta coi m là ẩn và giải phương trình bậc nhất thu được nghiệm m = 10/15 = 2/3.
Vậy với m = 2/3 thì phương trình nhận x = 2 là nghiệm.
Xem thêm: Các bài viết Toán 8
Tham khảo các kiến thức Toán 8 tại đây
Ths. Toán học
Nguyễn Thùy Dung