Phương trình có 2 nghiệm trái dấu lớp 10

Mời các em xem lại công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

Các em nhớ nhấn SUBCRIBE (ĐĂNG KÍ) trong youtube để nhận thông báo khi có video bài học mới nhé!

Cho phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với \(a\ne0.\)

Hệ thức Vi-ét:

Nếu phương trình có hai nghiệm \(x_1, x_2\) thì \[\begin{cases}S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} \\ P=x_1.x_2=\dfrac{c}{a}\end{cases}\]

(ta có thể dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để chứng minh hệ thức này)

Điều kiện để có nghiệm dương, âm, trái dấu

• Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu: \[x_1x_2<0\Leftrightarrow ac<0\] (không cần điều kiện \(\Delta >0\), bởi vì khi \(ac<0\) thì \(b^2-4ac>0\)). Chú ý, ta có thể dùng \(P<0 \Leftrightarrow \dfrac{c}{a}<0.\) Nhớ rằng \(\dfrac{c}{a}<0 \Leftrightarrow a.c<0.\)
• Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt: \[0<x_1<x_2\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{cases}\]
• Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt: \[x_1<x_2<0\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta>0\\S<0\\P>0\end{cases}\]
• Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu : \[\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta>0\\P>0\end{cases}\]

Nếu chỉ yêu cầu hai nghiệm mà không cần phân biệt thì ta thay bằng \(\Delta \ge 0\).

Ví dụ 1. Tìm \(m\) để phương trình \(x^2-5mx-3m+2=0\) có hai nghiệm trái dấu.

Giải. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(1.(-3m+2)<0 \Leftrightarrow m>\dfrac{2}{3}.\)

Ví dụ 2. Tìm \(m\) để phương trình \(x^2-x+2(m-1)=0\) có hai nghiệm dương phân biệt.

Giải. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi \(\begin{cases} \Delta > 0 \\ S>0 \\ P>0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}1-8(m-1)>0 \\ 1>0 \\ 2(m-1)>0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}m<\dfrac{9}{8} \\ m>1\end{cases} \Leftrightarrow 1<m<\dfrac{9}{8}.\)

Ví dụ 3. Tìm \(m\) để phương trình \(4x^2+2x+m-1=0\) có hai nghiệm âm phân biệt.
Giải. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi \(\begin{cases} \Delta' > 0 \\ S<0 \\ P>0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}1-4(m-1)>0 \\ -\dfrac{2}{4}<0 \\ \dfrac{m-1}{4}>0\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow \begin{cases}m<\dfrac{5}{4} \\ m>1\end{cases} \Leftrightarrow 1<m<\dfrac{5}{4}.\)

Ví dụ 4. Tìm \(m\) để phương trình \((m^2+1)x-2(m+1)x+2m-1=0\) có hai nghiệm trái dấu.
Giải. Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(a.c<0\) \((m^2+1)(2m-1)<0 \Leftrightarrow 2m-1<0\) (vì \(m^2+1>0 \; \forall m\)).

\(\Leftrightarrow m<\dfrac{1}{2}\)

Các khác: Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi \(P<0 \Leftrightarrow \dfrac{2m-1}{m^2+1}<0 \Leftrightarrow 2m-1<0\) (vì \(m^2+1>0 \; \forall m\)).

\(\Leftrightarrow m<\dfrac{1}{2}.\)

• 
  Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

- Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Khi đó

+ Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu: a.c < 0

+ Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu:

( nếu là 2 nghiệm phân biệt cùng dấu ta thay ∆ ≥ 0 bởi ∆ > 0)

+ Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương:

( nếu là 2 nghiệm phân biệt cùng dấu ta thay ∆ ≥ 0 bởi ∆ > 0)

+ Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu âm:

( nếu là 2 nghiệm phân biệt cùng dấu ta thay ∆ ≥ 0 bởi ∆ > 0)

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình  x2 – (m2 + 1)x + m2 – 7m + 12 = 0 có hai nghiệm trái dấu

Giải

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0

Vậy với 3 < m < 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình  3x2 – 4mx + m < 2 – 2m - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Giải

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu khi

Vậy với m > 3 hoặc m < -1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình  x2 – (2m + 3)x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu âm < /p>

Giải

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu âm khi

Không có giá trị nào của m thỏa mãn (1), (2) và (3)

Vậy không tồn tại m thỏa mãn đề bài

Câu 1: Cho phương trình x2 - 2x - 1 = 0 (m là tham số). Tìm khẳng định đúng

A. Phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

B. Phương trình vô nghiệm < /p>

C. Phương trình có hai nghiệm cùng dấu

D. Phương trình có nghiệm kép

Giải

Vì ac = 1.(-1) = -1 < 0 nên phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Đáp án đúng là A

Câu 2: Cho phương trình x2 - (2m + 1)x + m2 + m - 6 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm.

A. m > 2               

B. m < -4             

C. m > 6               

D. m < -3

Giải

Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu âm khi

Δ = (2m + 1)2 - 4(m2 + m - 6) = 4m2 + 4m + 1 - 4m2 - 4m + 24 = 25 > 0 với mọi giá trị của m(1)

Suy ra m < -3 đồng thời thỏa mãn (1), (2) và (3)

Vậy m < -3 thỏa mãn đề bài.

Đáp án đúng là D

Câu 3: Cho phương trình: x2 - 2mx + 2m - 4 = 0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m nhỏ hơn 2020 để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.

A. 2016

B. 2017                  

C. 2018

D. 2019

Giải

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu dương khi

Với Δ' > 0 ⇔ m2 - (2m - 4) > 0 ⇔ (m2 - 2m + 1) + 3 > 0 ⇔ (m - 1)2 + 3 > 0 ∀ m(1)

Với P > 0 ⇔ 2m - 4 > 0 ⇔ m > 2(2)

Với S > 0 ⇔ 2m > 0 ⇔ m > 0(3)

Từ (1), (2), (3) ta có các giá trị m cần tìm là m > 2

Suy ra số các giá trị nguyên của m thỏa mãn: 2 < m < 2020 có 2017 số

Đáp án đúng là B

Câu 4: Cho phương trình: x2 - 2mx - 6m - 9 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thỏa mãn x12+x22=13

Giải

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi:

Theo Vi-et ta có:

Đáp án đúng là D

Câu 5: Cho phương trình: x2 - 8x + m + 5 = 0. Gọi S là tập hợp chứa tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu. Tính tổng tất cả các phần tử của S

A. 30               

B. 56             

C. 18            

D. 29

Giải

Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu khi

Với Δ' ≥ 0 ⇔ 16 - m - 5 ≥ 0 ⇔ 11-m ≥ 0 ⇔ m ≤ 11 (1)

Với P > 0 ⇔ m + 5 > 0 ⇔ m > -5(2)

Từ (1), (2) ta có các giá trị m cần tìm là -5 < m ≤ 11

Suy ra S = {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}

Vậy tổng tất cả các phần tử của S là 56

Đáp án đúng là B

Câu 6: Cho phương trình: 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm.

A. m > 3               

B. m < -1             

C. m > 1               

D. m < -3

Giải

Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu âm khi

Từ (1), (2), (3) ta có các giá trị của m cần tìm là: m > 1

Đáp án đúng là C

Câu 7: Cho phương trình mx2 + 2(m - 2)x + m - 3 = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

A. m > 0          

B. 1 < m < -1

C. 0 <m < 3          

D. m < 3

Giải

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì m ≠ 0 và a.c < 0

Suy ra các giá trị m cần tìm là 0 < m < 3

Đáp án đúng là C

Câu 8: Tìm m để phương trình  mx2 – (5m – 2)x + 6m – 5 = 0 có hai nghiệm đối nhau.

Giải

Xét phương trình: mx2 - (5m - 2)x + 6m - 5 = 0

Để để phương trình có hai nghiệm đối nhau thì:

Vậy

Đáp án đúng là B

Câu 9: Tìm  giá trị m để phương trình 2x2 + mx + m - 3 = 0 có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.

A. 0 < m < 3

B. -1 < m < 3             

C. m < 2    

D. m > -3

Giải

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì: a.c < 0 ⇔ 2.(m-3) < 0 ⇔ m < 3  (1)

Giả sử phương trình có hai nghiệm trái dấu: x1 < 0 < x2

Với m < 3 , áp dụng hệ thức Vi- ét ta có:

Vì nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương nên:

|x1| > |x2| trong đó x1 < 0; x2 > 0 nên

Từ (1) và (2) suy ra 0 < m < 3

Vậy 0 < m < 3 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương.

Đáp án đúng là A

Câu 10: Tìm  giá trị m để phương trình  x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.

A. m = 1             

B. m = 4

C. m = 2

D. m = -3

Giải

Xét phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 có: a = 1, b = -2(m – 1), c = m – 3

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối

Vậy với m = 1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.

Đáp án đúng là A

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• 
  Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

chuong-4-ham-so-y-ax2-phuong-trinh-bac-hai-mot-an.jsp