Hướng dẫn Cách giải bất phương trình bậc 2 chứa tham số hay nhất, chi tiết, bám sát nội dung SGK Toán lớp 10, giúp các em ôn tập tốt hơn.
1. Bất phương trình bậc hai
- Bất phương trình bậc hai ẩnxlà bất phương trình dạng ax2 + bx + c < 0
(hoặc ax2 + bx + c≤ 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c≥ 0), trong đóa,b,clà những số thực đã cho,a≠0.
* Ví dụ:x2– 2 >0; 2x2+3x – 5 <0;
- Giải bất phương trình bậc haiax2 + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợpa<0) hay trái dấu với hệ sốa(trường hợpa>0).
2. Dấu của tam thức bậc hai
Nhận xét:
* Định lý:Chof(x) = ax2+ bx + c,Δ = b2– 4ac.
– NếuΔ<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x∈ R.
– NếuΔ=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x =-b/2a.
–NếuΔ>0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số akhi x <x1hoặc x > x2; trái dấu với hệ số a khi x1< x < x2trong đó x1, x2(với x1 < x2)là hai nghiệm của f(x).
3.Cách xét dấu của tam thức bậc 2
– Tìm nghiệm của tam thức
– Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a
– Dựa vào bảng xét dấu và kết luận
4. Giải bất phương trình bậc 2
– Giải bất phương trình bậc hai ax2+ bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2+ bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a<0) hoặc trái dấu với hệ số a (trường hợp a>0).
Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
5. Một số dạng toán thường gặp
Dạng 1:Giảibấtphương trình bậc hai.
Phương pháp:
- Bước 1:Biến đổi bất phương trình về dạng một vế là tam thức bậc hai, một vế bằng0.
- Bước 2:Xét dấu vế trái của tam thức bậc hai và kết luận nghiệm.
Dạng 2: Giải bất phương trình tích.
Phương pháp:
- Bước 1:Biến đổi bất phương trình về dạng tích các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
- Bước 2:Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.
Dạng 3: Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương pháp:
- Bước 1:Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng tích, thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai.
- Bước 2:Xét dấu các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai ở trên và kết luận nghiệm.
Chú ý:Cần chú ý điều kiện xác định của bất phương trình.
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng
Phương pháp:
Sử dụng một số tính chất:
- NếuΔ<0thì tam thức bậc hai cùng dấu vớiaa.
- Bình phương, căn bậc hai, giá trị tuyệt đối của một biểu thức luôn không âm.
Dạng 5: Giải hệ bất phương trình bậc hai
Phương pháp:
- Bước 1:Giải từng bất phương trình có trong hệ.
- Bước 2:Kết hợp nghiệm và kết luận.
6. Bài tập tham khảo có hướng dẫn
Bài 1:Tìm m để bất phương trìnhx2- 2(m + 1) + m2+ 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x∈ [0; 1]
Hướng dẫn giải:
Đặt x2- 2(m + 1) + m2+ 2m ≤ 0
Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với∀x∈ [0; 1]
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn
Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.
Bài 2:Tìm m để bất phương trình sau(m + 2)x2- 2mx + m2+ 2m ≤ 0 có nghiệm.
Hướng dẫn giải
Xét 3 trường hợp:
- Trường hợp 1: Với m + 2 = 0⇒ m = -2 ta được:
(1)⇔ 4x + 4 <0⇔ x < -1
Bất phương trình vô nghiệm
- Trường hợp 2: Với m < -2
Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm
- Trường hợp 3: m + 2 > 0⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :
m > √2 và -2 < m < -√2
Vậy với |m| <√2thì bất phương trình có nghiệm.
Bài 3:Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m2x + 3 < mx + 4
Hướng dẫn giải:
Bất phương trình tương đương với: m2x - mx < 4⇔ (m2- m)x < 1; m2- m = 0⇔m = {0;1}thì bất phương trình trở thành 0 < 1đúng với mọi x .
Nên bất phương trình có vô số nghiệm.
Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.
Bài 4:Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m2+ 1)x2+ (2m - 1)x - 5 < 0
Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1)
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m∈ (-1;√6- 1)
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Hệ bất phương trình bậc hai, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Hệ bất phương trình bậc hai: Hệ bất phương trình bậc hai. Phương pháp 2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng 3. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Tập nghiệm S của hệ bất phương trình: Tập nghiệm của x – 4x + 30 là S =(1; 3). Vậy tập nghiệm của hệ là. Câu 2: Tìm x thỏa mãn hệ bất phương trình -2x – 29. Tập nghiệm của x – 2x – 3 > 0 là s = (-1; -1) U (3; x). Tập nghiệm của x – 11 + 28 là s. Vậy tập nghiệm của hệ là S = S. Câu 3: x2 – 4x + 3 > 0. Tập nghiệm S của hệ bất phương trình tập nghiệm của x – 4x + 320 là S = (-3; 1) U (3; x). Tập nghiệm của x vậy tập nghiệm của hệ là S = 0. Câu 4: Tập nghiệm S của hệ bất phương trình là: Tập nghiệm của x2 – 3x + 2 <0 là S = (1; 2). Vậy tập nghiệm của hệ là s. Câu 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn. Tập nghiệm của của hệ là S = S. Do đó các giá trị nguyên của x thuộc tập s là {-4; 1}. Câu 7: Hệ bất phương trình có nghiệm là: Tập nghiệm của x – 9 0. Câu 9: Hệ bất phương trình nào sau đây vô nghiệm? Đáp án A. Tập nghiệm của x − 2x – 3 > 0 là S =(-2; -1)U(3; x). Tập nghiệm của –2x + x – 1 < 0 là R. Vậy tập nghiệm của hệ là s. Tập nghiệm của x – 2x – 3 0. Vậy tập nghiệm của hệ là S. Vậy tập nghiệm của hệ là S = S.
Câu 10: Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình 2×2 – x – 10 < 0 là tập nghiệm của x. Suy ra nghiệm nguyên là (-1; 2}. Câu 11: Hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi để hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi S. Câu 12: Hệ bất phương trình có nghiệm khi bất phương trình (1). Suy ra s = (-1; 1]. Bất phương trình (2). Suy ra S = m. Để hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m < 1 có nghiệm khi và chỉ khi. Câu 13: Hệ bất phương trình có hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi.
Trong chương trình toán phổ thông việc giải bài toán tìm m để bất phương trình, phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước là tương đối khó khăn đối với nhiều học sinh. Vì vậy chuyên đề này sẽ hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán "tìm m để bất phương trình vô nghiệm"
Xét bất phương trình
+ Nếu
+ Nếu
+ Nếu
+ Nếu và
Từ những nhận xét trên ta có phương pháp tìm m để bất phương trình vô nghiệm như sau :
* Phương pháp :
+ Nếu
+ Nếu thì :
- Bất phương trình vô nghiệm khi
- Bất phương trình vô nghiệm khi
- Bất phương trình vô nghiệm khi
- Bất phương trình vô nghiệm khi
* Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1 . Tìm
Lời giải :
Ta có
Ví dụ 2 . Tìm để bất phương trình
Lời giải :
Ta có :
Bất phương trình vô nghiệm khi
2. Tìm m để bất phương trình dạng bậc hai vô nghiệm.
Xét bất phương trình
Khi đó bất phương trình vô nghiệm khi
Mặt khác theo định lý về dấu của tam thức bậc hai thì
Từ đây ta có thể rút ra phương pháp để bất phương trình bậc hai vô nghiệm như sau :
Phương pháp :
- vô nghiệm khi
- vô nghiệm khi
- vô nghiệm khi
- vô nghiệm khi
* Ví dụ minh họa :
Ví dụ 1. Tìm để bất phương trình
Lời giải :
Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi
Ví dụ 2. Tìm để bất phương trình
Lời giải :
Vì hệ số của
+ Trường hợp 1:
+ Trường hợp 2 :
{{ title }}