Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng
Giả sử phương trình đường thẳng có dạng tổng quát là Δ: Ax + By + C = 0 và điểm N( x0; y0). Khi đó khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng Δ là:
Cho điểm M( xM; yN) và điểm N( xN; yN) . Khoảng cách hai điểm này là:
Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường
2. Công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz
Giả sử đường thẳng Δ có phương trình dạng Ax + By + Cz + d = 0 và điểm N( xN; yN; zN). Hãy xác định khoảng cách từ N tới Δ?
Phương pháp
Ví dụ 1:
Lời giải
+ Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:
⇒ Phương trình ( d) : 4( x - 1) – 3( y - 2) = 0 hay 4x - 3y + 2 = 0
+ Khoảng cách từ điểm M đến d là:
Ví dụ 2: Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng d1 : 4x - 3y + 5 = 0 và d2: 3x + 4y – 5 = 0, đỉnh A( 2; 1). Tính diện tích của hình chữ nhật.
Lời giải
+ Nhận xét : điểm A không thuộc hai đường thẳng trên.
⇒ Độ dài hai cạnh kề của hình chữ nhật bằng khoảng cách từ A(2; 1) đến hai đường thẳng trên, do đó diện tích hình chữ nhật bằng
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -4); B(1; 5) và C(3;1) . Tính diện tích tam giác ABC.
Lời giải
Ví dụ 4.
Hãy tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
Lời giải
Ví dụ 5. Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (a): x - 3y + 4 = 0 và
(b): 2x + 3y - 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0.
Lời giải
Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng ( a) và ( b) tọa độ điểm A là nghiệm hệ phương trình :
Tham khảo các bài học khác
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.
Nội dung bài viết Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian: KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG. PHƯƠNG PHÁP Bài toán: Tìm khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước. Cách 1: Bước 1. Trong mặt phẳng (M, d) hạ MH l d.. Bước 2. Tính toán tìm độ dài MH. Chú ý: Nếu tồn tại đường thẳng a qua A và song song với d. Nếu MA // d ta có thể thay vì tìm d(M, d) ta sẽ tìm d(A, d) với d( A, d) dễ tính toán hơn. Cách 2: Bước 1. Dựng (tìm) mặt phẳng (d) qua M và vuông góc với đường thẳng d. Bước 2. Tìm giao điểm H. Lúc này H chính là hình chiếu của M trên đường thẳng d.. Bước 3. Tính toán tìm độ dài MH. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA . Bài toán 1: Cho hình chóp ABCD có AC (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh bằng a. Biết AC = a2 và M là trung điểm của BD. a) Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng: b) Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM bằng: Lời giải: Vì ABCD đều cạnh a có đường trung tuyến nên CM 1 BD. Bài toán 2: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC là tam giác đều tâm O, cạnh a, hình chiếu của C trên mp(ABC) trùng với tâm của đáy. Cạnh bên CC’ hợp với mp(ABC) góc 60°. Gọi I là trung điểm của AB. Tính các khoảng cách: a) Từ điểm 0 đến đường thẳng CC. b) Khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng IC. c) Khoảng cách từ điểm 0 đến đường thẳng AB. a) Tính d(0, CC) Ta có: là hình chiếu của CC’ lên (ABC).
Bài toán 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách từ D đến đường thẳng SB bằng: Lời giải: Chọn A. Gọi H là giao điểm của AC và BD. ABCD là hình thoi. Do đó AC I BD đồng thời H là trung điểm của AC và BD. Suy ra ABCD là hình vuông (tứ giác đều) (4) Từ (3) và (4) ta được S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. Bài toán 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA I(ABCD) và SA = 2a. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó khoảng cách từ điểm 0 đến đường thẳng SC bằng.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong không gian, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong không gian: Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. Phương pháp. Cách xác định: Việc dựng hình chiếu của một điểm trên đường thẳng trong không gian, ta có thể làm theo 2 cách sau: Dựng mặt phẳng đi qua điểm và đường thẳng đã cho. Rồi trên mặt phẳng đó qua điểm đã cho dựng đoạn vuông góc từ điểm tới đường thẳng. Dựng một mặt phẳng đi qua điểm đã cho và vuông góc với đường thẳng, lúc đó giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng vừa dựng chính là hình chiếu của điểm trên đường. Tính toán: Sau khi đã xác định được khoảng cách cần tính, ta dùng các hệ thức lượng trong tam giác, đa giác, đường tròn để tính toán. Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D có AB = a, AD = b, AA’ = c. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BD bằng AB AD’ nên tam giác ABD vuông tại A. Trong tam giác ABD kẻ đường cao AH thì AH = d(A,BD’). Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều tâm O, cạnh a, hình chiếu của C trên (ABC) trùng với tâm của đáy. Cạnh bên CC’ hợp với (ABC) góc 60°. Gọi I là trung điểm của AB. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng. Câu 2.2. Khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng IC bằng. Tính d(C,IC’) tại K ta được: d(CIC) = CK. Câu 2.3. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng A’B’ bằng. Gọi J là trung điểm của A’B’ = ‘JIA’B’ (định lí 3 đường vuông góc).
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE bằng A. Vì SA (ABCD), trong mặt phẳng (ABCD) nếu dựng AH (định lí 3 đường vuông góc). Tức là khoảng s cách từ điểm S đến đường thẳng BE bằng đoạn SH. Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA vuông góc (ABCD), SA = a. Gọi I là trung điểm của SC và M là trung điểm của AB. Khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM bằng, nên nếu dựng OK tức là: d(I,CM) = IK. Ví dụ 5: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, gọi O là tâm của đáy và SO trung điểm của BC và K là hình chiếu của O lên SI. Khoảng cách từ 0 đến SA bằng.