Viết phương trình đường thẳng Delta đi qua điểm M

Viết phương trình đường thẳng (Delta ) biết (Delta ) đi qua điểm (Mleft( {2;, - 5} right)) và có hệ số góc (k = - 2).

A.

B.

C.

D.

Viết phương trình đường thẳng\(\Delta\)đi qua điểm M(2;-1) và tạo với 2 đường thẳng\(\Delta_1:4x+3y-7=0;\Delta_2:3x-4y+1=0\)một tam giác cân

Đã gửi 12-12-2015 - 15:28

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d: x-2y+1=0 và d': x+y-2=0. Viết phương trình đường thẳng delta đi qua giao điểm của hai đt d và d' sao cho khoảng cách từ điểm M(3:2) đến đường thẳng delta là lớn nhất

Giao điểm $N(x;y)$ của $d$ và $d'$ thỏa hệ $\left\{\begin{matrix} x-2y=-1 \\ x+y=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 \\ y=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow N(1;1)$

Gọi phương trình đường thẳng có dạng $\Delta:ax+by+c=0$

Ta có $N(1;1)\in \Delta \Rightarrow a+b+c=0\Rightarrow c=-a-b$

Khi đó, phương trình đường thẳng trở thành $\Delta: ax+by-a-b=0$

Gọi $N'$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $\Delta$, hiển nhiên $d(M;\Delta)=MN'\leq MN$

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow N'\equiv N\Leftrightarrow d(M;\Delta )=MN\Leftrightarrow \frac{|3a+2b-a-b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=\sqrt{5}$

$\Leftrightarrow (2a+b)^{2}=5a^{2}+5b^{2}\Leftrightarrow a^{2}-4ab+4b^{2}=0\Leftrightarrow (a-2b)^2=0\Leftrightarrow a=2b$

$*$ Với $b=0$ thì $a=0$ (loại vì $a^{2}+b^{2}> 0$)

$*$ Với $b\neq 0$, ta thay vào phương trình $\Delta$, ta được $\Delta:2bx+by-3b=0$

Do $b\neq0$ nên ta chia phương trình trên cho $b$.

Vậy, phương trình cần tìm là $\Delta: 2x+y-3=0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vito Khang Scaletta: 12-12-2015 - 23:13

$\sqrt{MF}$

>! Vietnamese Mathematical Forum !<

Đây là một dạng toán thường gặp trong đề thi. Bài viết này giới thiệu đầy đủ cơ sở lý thuyết và bài tập

Cơ sở lý thuyết

Bài toán: Cho 1 điểm M(x0; y0) và 1 đường thẳng Δ có phương trình ax + by + c = 0. Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua M(x0; y0) điểm và vuông góc với đường thẳng Δ.

Phương pháp giải

Giả sử phương trình đường thẳng cần viết là d

• Vì d đi qua M(x0; y0) => M(x0; y0) ∈ d (1)
• Vì d ⊥ Δ nên $d \bot \overrightarrow n \left( { – b;\,a} \right)$

Vậy phương trình đường thẳng d có dạng: – b(x – x0) + a(y – y0) = 0

Bài tập có lời giải

Bài tập 1: Hãy viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M( -5; 1) và vuông góc với đường thẳng cho trước Δ: – 6x + 7y -5 = 0

Hướng dẫn giải

Đây là dạng toán Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng, theo hướng dẫn trên ta có phương trình đường thẳng d có dạng:

– 7[x – (-5)] + (-6)(y – 1) = 0

<=> – 7x – 35 – 6y + 6 = 0

<=> 7x + 6y + 29 = 0

Bài tập 2: Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (2; 5) và vuông góc với đường thẳng cho trước Δ: $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 – 3t\\ y = – 2t \end{array} \right.$

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, đường thằng Δ có vecto chỉ phương:

$\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { – 3, – 2} \right)$

Vì d ⊥ Δ nên (d) nhận vecto chỉ phương $\overrightarrow {{u_\Delta }} $ làm véc tơ chỉ phương: $\overrightarrow {{n_d}} = \left( { – 3, – 2} \right)$

=> vậy (d) đi qua M (2; 5) có vecto chỉ phương $\overrightarrow {{n_d}} = \left( { – 3, – 2} \right)$ có phương trình tổng quát là

– 3(x – 2) – 2(y – 5) = 0 <=> 3x + 2y – 16 = 0

TẢI ĐỀ THI DỰ ĐOÁN LẦN 10

Mã câu hỏi: 143997

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

CÂU HỎI KHÁC

• Tam giác ABC có \(A\left( { - 1; - 2} \right),B\left( {0;2} \right),C\left( { - 2;1} \right)\).
• Cho A(1; - 2) và \(\Delta :2x + y + 1 = 0\).
• Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x + y - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 3 = 0\) bằng
• Tam giác ABC có \(A\left( {1;3} \right),B\left( { - 1; - 5} \right),C\left( { - 4; - 1} \right)\).
• Hệ số góc k của đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\) là
• Cho 3 điểm \(A\left( {2;2} \right),B\left( { - 3;4} \right),C\left( {0; - 1} \right)\).
• Cho M(2;- 3) và \(\Delta :3x + 4y - m = 0\). Tìm m để \(d\left( {M,\Delta } \right) = 2\).
• Cho tam giác ABC có A(4;- 2). Đường cao \(BH:2x + y - 4 = 0\) và đường cao \(CK:x - y - 3 = 0\).
• Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh \(AB:x + 2y - 2 = 0\), \(BC:5x - 4y - 10 = 0\) và \(AC:3x - y + 1 = 0\).
• Tam giác ABC có \(A\left( {0;1} \right),B\left( {2;0} \right),C\left( { - 2; - 5} \right)\). Tính diện tích S của tam giác ABC.
• Cho A(2;- 5) và \(d:3x - 2y + 1 = 0\). Tìm tọa độ hình chiếu H của A trên d.
• Đường thẳng d đi qua điểm A(- 2;- 3) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( { - 2;1} \right)\) có phương trình là
• Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm M(5;0) và có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 3} \right)
• Định m để \(\Delta  \bot \Delta \), với \(\Delta :2x + y - 4 = 0\) và \(\Delta :y = \left( {m - 1} \right)x + 3\).
• Cho hai đường thẳng song song \(d:x + y + 1 = 0\) và \(d:x + y - 3 = 0\). Khoảng cách giữa d và d bằng
• Tính khoảng cách từ điểm M(1;- 1) đến đường thẳng \(\Delta :4x + y - 10 = 0\).
• Gọi I(a;b) là giao điểm của hai đường thẳng \(d:x - y + 4 = 0\) và \(d:3x + y - 5 = 0\). Tính a + b.
• Cho hai điểm A(2;3) và B(4;- 5). Phương trình đường thẳng AB là
• Cho hai đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0 và \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 4 + 2t\end{array} \right.\).
• Cho \(d:\sqrt 3 x - y = 0\) và $d:mx + y - 1 = 0\). Tìm m để \(\cos \left( {d,d} \right) = \frac{1}{2}\)

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Quảng cáo

Cho đường thẳng ∆ và điểm M(a; b). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và tạo với đường thẳng ∆ một góc α.

+ Cách 1:

    - Gọi n→(A; B) là VTPT của đường thẳng d.

    Tìm VTPT n'→( A’; B’) của đường thẳng ∆.

    - Do góc giữa đường thẳng d và ∆ bằng α nên:

    Cosα =

    Giải phương trình trên ta được A = k.B. Chọn A =.... ⇒ B..

⇒ VTPT của đường thẳng d

⇒ Phương trình đường thẳng d.

+ Cách 2:

    - Đường thẳng ∆ có hệ số góc k1.

    - Giả sử đường thẳng d có hệ số góc k2.

    - Do góc giữa hai đường thẳng d và ∆ là α nên :

    Tanα =

    Phương trình trên là phương trình ẩn k2. Giải hệ phương trình ta được k2

⇒ Phương trình đường thẳng d.

Ví dụ 1 : Cho đường thẳng d : 3x - 4y - 12 = 0. Phương trình các đường thẳng qua
M(2 ; -1) và tạo với d một góc

là

A. 7x - y - 15 = 0 ; x + 7y + 5 = 0    B. 7x + y - 15 = 0 ; x - 7y + 5 = 0

C. 7x - y + 15 = 0 ; x + 7y - 5 = 0    D. 7x + y + 15 = 0 ; x - 7y - 5 = 0

Lời giải

Gọi n→( A , B) và A2 + B2 > 0 là véc tơ pháp tuyến của ∆

Đường thẳng d có VTPT n'→( 3 ; -4)

Ta có:

⇔ 7A2 + 48AB - 7B2 = 0 ⇔

+ Với B = 7A chọn A = 1 ; B = 7 ⇒ (d) : qua M(2 ; -1) và VTPT (1 ; 7)

⇒ Phương trình (d) : 1( x - 2) + 7( y + 1) = 0 hay x + 7y + 5 = 0

+ Với A = - 7B chọn A = 7 ; B = - 1 ⇒ (d) đi qua M( 2 ; -1) và VTPT ( 7 ; -1)

⇒ Phương trình (d) : 7( x - 2) – 1( y + 1) = 0 hay 7x - y - 15 = 0

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + 7y + 5 = 0 và 7x - y - 15 = 0.

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng (d) qua M( -1; 2) và tạo với trục Ox một góc 600.

A. √3x - y + √3 + 2 = 0    B. √3x - y - √3 + 2 = 0

C. √3x - y + 2 = 0    D. √3x + y - √3 + 2 = 0

Lời giải

Do (d) tạo với trục Ox một góc 600 nên có hệ số góc k = tan 600 = √3.

Phương trình d là: y = √3(x + 1) + 2 ⇔ √3x - y + √3 + 2 = 0 .

Chọn A.

Ví dụ 3. Biết rằng có đúng hai giá trị của tham số k để đường thẳng d: y = kx tạo với đường thẳng ∆: y = x một góc 600. Tổng hai giá trị của k bằng:

A. - 8    B. - 4    C. - 1    D. 1

Lời giải

Ta có đường thẳng d : y = kx ⇔ kx - y = 0 nên d nhận VTPT nd→( k; -1)

Đường thẳng ∆ : y = x hay x - y = 0 nên ∆ nhận VTPT n∆→( 1; -1)

Để hai đường thẳng này tạo với nhau góc 600 thì:

( nd→; n∆→) = 600 ⇒ cos(nd→; n∆→)= cos 600

= cos600 = ⇔ k2 + 1 = 2k2 + 4k + 2 ⇔ k2 + 4k + 1 = 0

Phương trình trên có hai nghiệm phân biệt theo hệ thức Vi- et ta có: k1 + k2 = - 4

Chọn B.

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(1;1) và tạo một góc 450 với đường thẳng d: x - y + 90 = 0

A. x - 1 = 0    B. y - 1 = 0    C. x + y - 2 = 0    D. Cả A và B đúng

Lời giải

+ Đường thẳng d có VTPT n→(1; -1) .

+ Gọi VTPT của ∆ là n'→(a; b) .

+ Do góc giữa hai đường thẳng d và ∆ là 450 nên:

cos450 =

⇔

= |a - b| ⇔ a2 + b2 = a2 - 2ab + b2

⇔ - 2ab = 0 ⇔ a = 0 hoặc b = 0

+ Nếu a = 0; chọn b = 1.

Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 0(x - 1) + 1( y - 1) = 0 hay y - 1 = 0

+ Nếu b = 0; chọn a = 1.

Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 1(x - 1) + 0( y - 1) = 0 hay x - 1 = 0

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(5; 1) và tạo thành một góc 450 với đường thẳng d: y = -2x + 4

A. y = 3x - 10    B. y = 3x - 14    C. y =

x +    D. Cả B và C đúng

Lời giải

Hệ số góc của đường thẳng d là k1 = -2.

Gọi hệ số góc của đường thẳng ∆ là k2.

Do góc giữa hai đường thẳng là 450 nên :

Tan450 =

⇔ 1 =

⇔

+ Với k2 = ; đường thẳng ∆ qua M(5; 1) và hệ số góc k2 nên có phương trình :

y= ( x - 5) + 1 hay y = x +

+ Với k2 = 3 đường thẳng ∆ qua M(5; 1) và hệ số góc k2 nên có phương trình :

y = 3( x - 5) + 1 hay y = 3x - 14

chọn D.

Ví dụ 6: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M(2; 1) và tạo thành một góc 450 với đường thẳng d: 2x + 3y + 4 = 0

A. y = -5x - 10    B. y = -5x + 11    C. y =

x +    D. Cả B và C đúng

Lời giải

Hệ số góc của đường thẳng d là k1= -

Gọi hệ số góc của đường thẳng ∆ là k2.

Do góc giữa hai đường thẳng là 450 nên :

Tan450 =

⇔ 1 =

⇔

+ Với k2 = ; đường thẳng ∆ qua M(2; 1) và hệ số góc k2 nên có phương trình :

y = ( x - 2) + 1 hay y = x +

+ Với k2 = -5 đường thẳng ∆ qua M(2; 1) và hệ số góc k2 nên có phương trình :

y = - 5( x - 2) + 1 hay y = -5x + 11

Chọn D.

Câu 1: Cho đường thẳng d có phương trình: x - 2y + 5 = 0. Có mấy phương trình đường thẳng qua M(2; 1) và tạo với (d) một góc 450.

A. 1    B. 2    C. 3    D. Không có.

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Đường thẳng d có VTPT nd→( 1; -2)

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm; n→( A; B) là VTPT của ∆ (A2 + B2 ≠ 0)

Để ∆ lập với d một góc 450 thì:

Cos450 =

⇔ 2( A - 2B)2 = 5( A2 + B2)

⇔3A2 + 8AB - 3B2 = 0

Giả sử B ≠ 0 ⇒ 3.

+ 8.

- 3 = 0 ⇔

+ Với A = -3B, chọn B = -1 thì A = 3 ta được phương trình ∆ qua M(2; 1) và VTPT
( 3; -1)

⇒ phương trình ∆: 3( x - 2) – 1(y - 1) = 0 hay 3x - y - 5 = 0.

+ Với B = 3A, chọn A = 1 thì B = 3 ta được phương trình ∆ qua M( 2; 1) và VTPT ( 1; 3)

⇒ Phương trình ∆: 1( x - 2) + 3( y - 1) = 0 hay x + 3y - 5 = 0

Câu 2: Cho đường thẳng (d) có phương trình: x + 3y - 3 = 0 . Viết phương trình đường thẳng qua A( -2; 0) và tạo với (d) một góc 450.

A. 2x + y + 4 = 0 hoặc x + 2y + 2 = 0    B. 2x + y + 4 = 0 hoặc x + 2y + 2 = 0

C. 2x + y + 4 = 0 hoặc x - 2y + 2 = 0    D. 2x - y + 4 = 0 hoặc x - 2y + 2 = 0.

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Đường thẳng d có VTPT nd→( 1; 3) .

Gọi là đường thẳng cần tìm; n→(A; B) là VTPT của ∆ (A2 + B2 ≠ 0)

Để ∆ lập với ( d) một góc 450 thì:

cos450 =

⇔ 2(A + 3B)2 = 10(A2 + B2) ⇔

+ Với A = 2B, chọn B = 1 thì A = 2 ta được phương trình ∆:

⇒(∆) : 2( x + 2) + 1( y - 0) = 0 hay 2x + y + 4 = 0.

+ Với B = -2A, chọn A = 1;B = - 2 ta được phương trình ∆:

⇒(∆): 1( x + 2) – 2( y - 0) = 0 hay x - 2y + 2 = 0 .

Câu 3: Cho hai đường thẳng d1: 3x + 4y + 12 = 0 và d2:

. Tìm các giá trị của tham số a để d1 và d2 hợp với nhau một góc bằng 450.

A. a =

hoặc a = -14    B. a = hoặc a = 3

C. a = 5 hoặc a = -14    D. a = hoặc a = 5

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

Ta có

Đường thẳng d1 có VTPT n→( 3; 4) và đường thẳng d2 có VTCP ( a; -2) nên có VTPT n'→( 2; a) .

Để góc giữa hai đường thẳng là 450 thì:

|cos⁡( n→; n'→ ) | = cos450 ⇔

⇔

⇔ √2|6 + 4a| = 5.

⇔ 2( 36 + 48a + 16a2) = 25(4 + a2)

⇔ 72 + 96a + 32a2 = 100 + 25a2

⇔ 7a2 + 96a - 28 = 0 ⇔

Câu 4: Viết phương trình đường thẳng d qua N( 3; -2) và tạo với trục Ox một góc 450.

A. x - y - 1 = 0    B. x + y - 1 = 0    C. x - y - 5 = 0    D. Tất cả sai

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Do (d) tạo với trục Ox một góc 450 nên có hệ số góc của đường thẳng (d) là

k = tan 450 = 1

Phương trình d là: y = 1( x - 3) – 2 hay x - y - 5 = 0

Câu 5: Đường thẳng ∆ đi qua giao điểm của hai đường thẳng (a) : 2x + y - 3 = 0 và
(b): x - 2y + 1 = 0 đồng thời tạo với đường thẳng (c): y - 1 = 0 một góc 450 có phương trình:

A. 2x + y = 0 hoặc x - y - 1 = 0 .    B. x + 2y = 0 hoặc x - 4y = 0.

C. x - y = 0 hoặc x + y - 2 = 0 .    D. 2x + 1 = 0 hoặc x - 3y = 0.

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

+ Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng (a) và ( b) thì tọa độ điểm A là nghiệm hệ :

⇒ A( 1; 1)

+Ta có đường thẳng ( c) có VTPT n1→( 0;1). Gọi VTPT của đường thẳng ∆ là n2→( x; y)

Do góc giữa đường thẳng ∆ và đường thẳng (c) bằng 450 nên :

|cos⁡( n1→; n2→ ) | = cos⁡450

⇔

⇔ x2 + y2 = 2y2 ⇔ x2 = y2

⇔

+ Nếu x = y thì chọn x = y = 1.

Đường thẳng ∆:

nên phương trình ∆: 1( x - 1) + 1( y - 1) = 0

Hay x + y - 2 = 0.

+ Nếu x = -y. Chọn x = 1 thì y = -1

⇒ Đường thẳng ∆:

nên phương trình ∆: 1( x - 1) - 1( y - 1) = 0

Hay x - y = 0.

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + y - 2 = 0 hoặc x - y = 0

Câu 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm
A( 2; 0) và tạo với trục hoành một góc 450.

A. Có duy nhất.    B. 2    C. Vô số.    D. Không tồn tại.

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Cho đường thẳng d và một điểm A. Khi đó.

(i) Có duy nhất một đường thẳng đi qua A song song hoặc trùng hoặc vuông góc với d.

(ii) Có đúng hai đường thẳng đi qua A và tạo với d một góc α mà 00 < α < 900.

⇒ Có hai đường thẳng qua điểm A( 2; 0) và tạo với trục hoành một góc 450.

Câu 7: Đường thẳng ∆ tạo với đường thẳng d : x + 2y - 6 = 0 một góc 450. Tìm hệ số góc k của đường thẳng ∆.

A. k =

hoặc k = -3    B. k = hoặc k = 3

C. k = - hoặc k = -3    D. k = - hoặc k = 3

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Đường thẳng d: x + 2y - 6 = 0 có VTPT nd→( 1; 2) .

+ Gọi đường thẳng ∆ có VTPT n∆→( a; b) ( với a2 + b2 > 0)

⇒ Phương trình đường thẳng ∆: ax + by + c = 0

+Nếu a= 0 thì đường thẳng ∆: y + c’ = 0 nhưng khi đó góc giữa d và ∆ là:

cosφ =

⇒ φ ≠ 450.

⇒ a = 0 không thỏa mãn

+ Với a ≠ 0 thì đường thẳng ∆: y = -

x -

nên hệ số góc k∆ =

Để hai đường thẳng d và ∆ tạo với nhau góc 450 thì :

= cos450 =

⇔ 5(a2 + b2) = 2a2 + 8ab + 8b2

⇔ 3a2 - 8ab - 3b2 = 0 ⇔

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp