Bài tập ma trận trong bài toán kinh tế

Download Free PDF

Download Free PDF

[BÀI TẬP + ĐÁP ÁN] MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

[BÀI TẬP + ĐÁP ÁN] MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

[BÀI TẬP + ĐÁP ÁN] MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

[BÀI TẬP + ĐÁP ÁN] MÔ HÌNH TOÁN KINH TẾ

Thầy Nguyễn Trung Đông - Trường ĐH Tài chính - Marketing

Nội dung Text: Toán kinh tế - Ma trận - Định thức

1. C1. MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 1 1 Ma trận 2 2 Định thức 3 3 Ma trận nghịc đảo 4 4 Hạng của ma trận 1
2. ξ 1. MA TRẬN 1.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA 1.1.1. Định nghĩa ma trận: Một bảng số chữ nhật có m hàng và n cột gọi là ma trận cấp m x n  a11 a12 a1n  ... a a2n  21 a22 ... A=   ... ... ...  ... a ... amn   m1 am2  • aij là phần tử của ma trận A ở hàng i cột j. • A = [aij]m x n = (aij)m x n 2
3. ξ 1. MA TRẬN 1.1.2. Ma trận vuông: • Ma trận vuông: Khi m = n , gọi là ma trận vuông cấp n a11 a12 ... a1n  a a22 ... a2n   21  A=  ... ... ... ...  a am2 ... ann   n1  • a11,a22,…ann được gọi là các phần tử chéo. • Đường thẳng xuyên qua các phần tử chéo gọi là đường chéo chính. 3
4. ξ 1. MA TRẬN • Ma trận tam giác trên: aij = 0 nếu i > j a11 a12 ... a1n  a11 a12 ... a1n   a22 ... a2n  0 a ... a2n  22  A=   A=  ... ...   ... ... ... ...   ann  0 0 ... ann      • Ma trận tam giác dưới: aij = 0 nếu i < j a11 0 ... 0  a11  a a22 ... 0  a  a22 A =  21  A =  21   ... ... ... ...   ...  ... ... a  a am2 ... ann  am2 ... ann   n1  n1  4
5. ξ 1. MA TRẬN • Ma trận chéo: aij = 0 nếu i ≠ j a11 0 ... 0  a11  0 a ... 0    a22 22 A=  A=   ... ... ... ...    ... 0 0 ... ann   ann      • Ma trận đơn vị: I = [aij]n x n với aii=1; aij = 0, ∀i≠j  1 0 ... 0   0 1 ... 0  I=   ... ... ... ...  0 0 ... 1    5
6. ξ 1. MA TRẬN 1.1.3. Vectơ hàng(cột): Ma trận chỉ có một hàng(cột) 1.1.4. Ma trận không: 0 0 0 ... 0 0 0 ... θ=  ... ... ... ... 0  0 ... 0  1.1.4. Ma trận bằng nhau: A=B 1) A=[aij]m x n; B=[bij]m x n 2) aij = bij với mọi i,j 6
7. ξ 1. MA TRẬN 1.1.5. Ma trận chuyển vị: A=[aij]m x n => AT=[aji]n x m 10 12 15 27 30   9 14 18 16 24  A=  13 15 20 19 28  11 18 17 25 31   7
8. ξ 1. MA TRẬN 1.2. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN: 1.2.1. Phép cộng hai ma trận 1. Định nghĩa: A=[aij]mxn; B=[bij]mxn => A+B =[aij+bij]mxn 2 3 − 1 4   1 − 3 2 − 2 5 1 3 − 2 + − 1 4 1 3     2. Tính chất: •A + B = B + A • (A + B) + C = A + (B + C) •θ+A=A • Nếu gọi -A = [-aij]m x n thì ta có -A + A = θ 8
9. ξ 1. MA TRẬN 1.2.2. Phép nhân một số với ma trận: 1. Định nghĩa: cho A=[aij]m x n, k∈R => kA=[kaij]m x n  1 2 − 3 − 1 A= 2 0 5 3  Tính 2A?   − 2 1 0 − 4   2. Tính chất: cho k, h ∈ R: • k(A + B) = kA + kB • (k + h)A = kA + hA 9
10. ξ 1. MA TRẬN 1.2.3. Phép nhân hai ma trận: 1. Định nghĩa : A=[aik]m x p; B=[bkj]p x n => C=[cij]m x n: p cij = ai1b1j + ai2b2j + ...aipbpj = ∑ aikbkj k =1 Ví dụ: Tính tích 2 ma trận sau:  1 2 3 − 1  2 − 1 1  2 −1 1 0  − 3 2 0     3 0 2 1    10
11. ξ 1. MA TRẬN 2. Một số tính chất: • (A.B).C = A.(B.C) • A(B+C) = AB + AC • (B+C)A = BA + CA • k(BC) = (kB)C = B(kC) • Phép nhân nói chung không có tính giao hoán • A=[aij]n x n => I.A = A.I = A 11
12. ξ 1. MA TRẬN 1.3. VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm lượng hàng bán trong hai tháng. Tháng 1 A B C D Tháng 2 A B C D CH1 10 2 40 15 CH1 12 4 20 10 CH2 4 1 35 20 CH2 10 3 15 15 12
13. ξ 1. MA TRẬN Ví dụ 2: Hãy tính nhu cầu vật tư cho từng phân xưởng theo kế hoạch sản xuất cho bởi 2 bảng số liệu sau: Sản Vật liệu Phân Sản phẩm phẩm VL1 VL2 VL3 VL4 VL5 xưởng A B C A 1 2 0 2 0 PX1 10 0 5 B 0 1 1 2 0 PX2 084 C 0 0 2 1 3 PX3 0 2 10 13
14. ξ 2. ĐỊNH THỨC 2.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA: • A là ma trận vuông cấp 1: A= [a11] thì det(A) = |A| = a11 • A là ma trận vuông cấp 2: a11 a12  A= a21 a22    thì det(A) = a11a22 – a12a21 14
15. ξ 2. ĐỊNH THỨC • A là ma trận vuông cấp n: a11 a12 ... a1n  a a22 ... a2n  A =  21   ... ... ... ...  a am2 ... ann   n1  • Aij là ma trận con cấp n-1 nhận được từ A bằng cách xoá hàng i cột j. • Cij = (-1)i+jdet(Aij) là phần bù đại số của aij 15
16. ξ 2. ĐỊNH THỨC • Định thức cấp n của A là: det(A) = a11C11 + a12C12 + …+ a1nC1n n n 1+ j det( A ) = ∑ a1jC1j = ∑ ( −1) a1j det( A1j ) j=1 j=1 Ví dụ: Sử dụng định nghĩa hãy tính định thức: 1 23 A = −4 5 6 7 −8 9 16
17. ξ 2. ĐỊNH THỨC 2.2. TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC: • Tính chất 1: T   A =A Hệ quả: Một tính chất đã đúng khi phát biểu về hàng của một định thức thì nó vẫn còn đúng khi trong phát biểu ta thay hàng bằng cột. • Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một định thức ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu. 17
18. ξ 2. ĐỊNH THỨC • Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì bằng không. • Tính chất 4: Một định thức có một hàng (hay một cột) toàn là số không thì bằng không. • Tính chất 5: Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số k thì được một định thức mới bằng định thức cũ nhân với k. Hệ quả: Khi các phần tử của một hàng (hay một cột) có một thừa số chung, ta có thể đưa thừa số chung đó ra ngoài định thức. 18
19. ξ 2. ĐỊNH THỨC • Tính chất 6: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ thì bằng không. • Tính chất 7: Dòng thứ i nào đó có aij = a’ij + a”ij thì det(A) = det(A’) + det(A”) a11 a12 a1n  ... a11 a12 a1n  ... a a2n  a a2n  21 a22 ... 21 a22 ...      ... ... ...  "  ... ... ...  ... ... , A = " A = , , ain  ai1 a,i2 ai1 ai"2 " ... ain ...      ... ...   ... ...  ... ... ... ... a ann   an1 an2 ann  ...  n1 an2 ...    19
20. ξ 2. ĐỊNH THỨC • Tính chất 8: Nếu định thức có một hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác thì định thức ấy bằng không. • Tính chất 9: Khi ta công bội k của một hàng vào một hàng khác thì được một định thức mới bằng định thức cũ 213 det( A ) = 4 5 7 615 20