8.3 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG VÀ KHOẢNG TIN CẬY CHO CÁC THAM SỐ 8.3.1 Khái niệm về ước lượng khoảng. Cần nhớ rằng mẫu là một phần của dân số thường được chọn bởi phương pháp chọn mẫu ngẫu nhiên và như vậy nó là một tập hợp các biến ngẫu nhiên với cùng một hàm mật độ xác suất f (x; θ). Sau khi lấy mẫu xong, ta nhận được trong đó là dữ liệu mẫu. Bài toán ước lượng khoảng có thể được phát biểu như sau: Với mẫu và giá trị xác suất , tìm một cặp thống kê θi ( X1, X2, …, Xn ) ;i\=1,2 ;θ1≤θ2 sao cho xác suất của θ trên khoảng ngẫu nhiên là , nghĩa là P ( θ1 ( X1, X2, …, Xn ) ≤ θ ≤θ2 ( X1, X2, …, Xn ) ) \=1−α . Biến ngẫu nhiên được gọi là giới hạn tin cậy dưới và được gọi là giới hạn tin cậy trên. Số (1 − α) được gọi là hệ số tin cậy hoặc mức tin cậy. Khoảng tin cậy cho một mẫu Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình đã biết phương sai của phân phối chuẩn, đã biết phương sai, hoặc của phân phối với cỡ mẫu lớn, đã biết phương sai. Tìm khoảng tin cậy (1 − α) cho trung bình µ của một phân phối chuẩn với phương sai đã biết hoặc: Tìm khoảng tin cậy (1 - α) cho giá trị trung bình µ của một dân số có phương sai đã biết trong đó cỡ mẫu n lớn. - Tính giá trị trung bình của mẫu
. - Xác định giá trị tới hạn
sao cho Φ , trong đó Φ là hàm phân phối chuẩn tắc. Nghĩa là, được xác định để: - Tính hằng số
; - Khoảng tin cậy (1 - α) đối với µ được cho bởi
Tóm lại cần xem cách tìm trong phần a) bảng 8.1. 1 - 1. LƯỢNG – KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ Bài 1. Quan sát trọng lượng X (kg) của thanh niên của một địa phương, người ta chọn ngẫu nhiên 80 thanh niên và thu được bảng số liệu sau: Trọng lượng 42,5 – 47,5 47,5 – 52,5 52,5 – 57,5 57,5 – 62,5 62,5 – 67,5 Số người 8 14 28 18 12 a. Tìm khoảng ước cho trọng lượng trung bình với độ tin cậy 95%. b. Ước lượng trọng lượng tối đa của một thanh niên thuộc nhóm đó với mức ý nghĩa 5% c. Những thanh niên có trọng lượng từ 55 kg trở lên gọi là nhóm có sức khỏe loại A, hãy tìm khoảng ước lượng đối xứng cho tỷ lệ thanh niên có sức khỏe loại A với độ tin cậy 98%. Bài 2. Theo dõi 1000 bệnh nhân ung thư phổi thấy có 823 bệnh nhân chết trong vòng 10 năm. a. Tìm khoảng ước lượng đối xứng với độ tin cậy 95% cho tỷ lệ bệnh nhân chết vì ung thư phổi. b. Nếu muốn độ chính xác bé hơn 0.03 thì phải theo dõi tối thiểu bao nhiêu bệnh nhân trong 10 năm? Bài 3. Người ta điều tra 144 sinh viên ở 1 trường đại học về chi phí cho giáo trình năm thứ nhất thì thấy trung bình là 190 nghìn đồng, độ lệch chuẩn là 30 nghìn đồng (chi phí cho giáo trình giả sử là 1 biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn). 1. Tính ước lượng chi phí trung bình cho giáo trình năm thứ nhất với độ tin cậy 95%. 2. Độ tin cậy vẫn là 95%, nếu muốn độ chính xác của ước lượng điểm cho chi phí trung bình là 3000 đồng thì phải điều tra bao nhiêu sinh viên. Bài 4. Gạo được đóng gói bằng máy tự động có trọng lượng đóng bao theo quy định 15kg. Lấy ngẫu nhiên 27 bao ra kiểm tra trọng lượng trung bình của chúng ta được bảng số liệu sau: Trọng lượng 14,6-14,8 14,8-15,0 15,0-15,2 15,2-15,4 15,4-15,6 Số bao 4 7 8 6 2 Giả thiết trọng lượng của các bao gạo tuân theo luật phân phối chuẩn. Với mức ý nghĩa 0,05 có cần phải dừng máy để điều chỉnh hay không? Bài 5. Người ta đã thực hiện một cải tiến kỹ thuật trong bộ chế hoà khí của xe ôtô với hy vọng sẽ tiết kiệmđược xăng hơn. Dùng thử 12 lần thu được kết quả sau về số km chạy được cho 1 lít xăng. 20.6 20.6 20.5 21.0 21.1 21.2 20.8 20.7 20.6 20.9 20.3 20.2 Nếu trước khi cải tiến một lít xăng trung bình chạy được 20.2 km thì có thể kết luận rằng cải tiến trên đã mang lại hiệu quả đáng kể hay không với mức ý nghĩa 5%. Giả thiết số km chạy được cho 1 lít xăng tuân theo luật phân phối chuẩn. Bài 6. Chọn ngẫu nhiên 80 bóng đèn của nhà máy A thấy tuổi thọ trung bình là 1258 giờ, độ lệch chuẩn là 94 giờ. Chọn ngẫu nhiên 60 bóng đèn của nhà máy B thấy tuổi thọ trung bình là 1 029 giờ, với độ lệch chuẩn 98 giờ. Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm định giả thiết có phải thực sự tuổi thọ của 2 loại bóng đèn khác nhau hay không? Bài 7. Quan sát 6 lọ chất hoá học do hai cân khác nhau cân. Biết cân nặng của lọ hoá chất tuân theo luật phân phối chuẩn, ta có Cân I 0,5 1 2.5 3 4 5 Cân II 1 1.5 2 2 2.5 3 Kiểm định giả thiết hai cân có cân khác nhau hay không với mức ý nghĩa 5%. Giả sử phương sai cân nặng các lọ hoá chất do hai cân là như nhau.
- 2. ĐỊNH SỰ BẰNG NHAU, KHÁC NHAU CỦA HAI GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Giả sử ta xét cùng một lúc hai tổng thể. Ở tổng thể thức nhất dấu hiệu nghiên cứ xem như biến ngẫu nhiên X1 có kì vọng 1 phương sai 2 1 , ở tổng thể thứ hai dấu hiệu nghiên cứ xem như biến ngẫu nhiên X2 có kì vọng 2 phương sai 2 2 . Ta cần kiểm định giả thiết H: 1 2 với đối thiết 1 2:H với mức ý nghĩa . Xảy ra các trường hợp sau: Trường hợp 1. 2 2 1 2, đã biết và X1, X2 có phân phối chuẩn (hoặc nếu không có giả thiết chuẩn thì n1, n2 lớn hơn 30) + Từ hai tổng thể trên rút ra hai mẫu cỡ n1, n2 + Chọn tiêu chuẩn kiểm định là thống kê: 1 2 2 2 1 2 1 2 X X T n n + Nếu H đúng thì T có phân phối chuẩn tắc. + Miền bác bỏ 2 2 W , ,u u + Tính 1 2,x x từ đó tìm giá trị quan sát được của T (thống kê thực nghiệm) và kết luận Trường hợp 2. 2 2 1 2 chưa biết và X1, X2 có phân phối chuẩn. + Từ hai tổng thể trên rút ra hai mẫu cỡ n1, n2 + Chọn tiêu chuẩn kiểm định là thống kê: 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( 1) ( 1) 1 1 2 X X T n S n S n n n n + Nếu H đúng thì T có Student với n1 + n2 – 2 bậc tự do. + Miền bác bỏ 2 2 W , ,t t + Tính 1 2 1 2, , ,x x s s từ đó tìm giá trị quan sát được của T (thống kê thực nghiệm) và kết luận. (Chú ý: Xem thêm trong Giáo trình Xác suất thống kê – Đào Hữu Hồ - Trang 168)
|
