Thời gian chạy trung bình của các vận động viên là: \(\overline x = \frac{1}{{20}}\left( {10,3.3 + 10,5.7 + 10,7.8 + 10,9.2} \right) = 10,59\) (giây)
Phương sai của mẫu số liệu là:
\({s^2} = \frac{1}{{20}}\left( {10,{3^2}.3 + 10,{5^2}.7 + 10,{7^2}.8 + 10,{9^2}.2} \right) - 10,{59^2} = 0,0299\)
Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là: \(\sqrt {0,0299} \approx 0,17\)
Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là các xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc. Do đó, với mẫu số liệu gốc, phương sai xấp xỉ 0,0299 và độ lệch chuẩn xấp xỉ 0,17 giây.
Bài viết Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn chương trình sách mới trình bày đầy đủ công thức, ví dụ minh họa có lời giải chi tiết và các bài tập tự luyện giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm về Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn từ đó học tốt môn Toán.
Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn (hay, chi tiết)
Quảng cáo
1. Công thức
Ta có mẫu số liệu x1, x2, …, xn.
+) Phương sai mẫu, kí hiệu là S2, được tính bởi công thức:
S2=1n[x1−x¯2+x2−x¯2+...xn−x¯2]
trong đó x là số trung bình mẫu.
+) Độ lệch chuẩn, kí hiệu S, là căn bậc hai của phương sai mẫu: S=S2.
Chú ý: Có thể biến đổi công thức tính phương sai ở trên thành:
S2=1nx12+x22+...+xn2−x¯2.
Trong thống kê, người ta cũng quan tâm đến phương sai hiệu chỉnh, kí hiệu là s^2, được tính bởi công thức:
s^2=1n−1[x1−x¯2+x2−x¯2+...+xn−x¯2].
* Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số:
Quảng cáo
Giá trị
x1
x2
…
xk
Tần số
n1
n2
…
nk
Khi đó, công thức tính phương sai trở thành:
S2=1n[n1x1−x¯2+n2x2−x¯2+...+nkxk−x¯2],
trong đó n = n1 + n2 + … + nk.
Có thể biến đổi công thức tính phương sai trên thành
S2=1nn1x12+n2x22+...+nkxk2−x¯.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Điểm Toán của 10 học sinh lớp A như sau:10; 9; 5; 6; 1; 5; 7; 9; 5; 6.
Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
Hướng dẫn giải:
+) Trung bình mẫu: x¯=110(10+9+5+6+1+5+7+9+5+6) = 6,3
Quảng cáo
+) Phương sai mẫu:
S2=110[10−6,32+2.9−6,32+7−6,32+2.6−6,32+3.5−6,32+1−6,32]
Suy ra S2 = 6,21.
+) Độ lệch chuẩn: S = S2=6,21≈2,492.
Ví dụ 2. Điều tra cân nặng (kg) của 10 sinh viên của một lớp học thu được số liệu sau:
59,0; 45,5; 52,7; 47,9; 40,7; 48,3; 52,1; 43,1; 55,2; 45,3.
Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
Hướng dẫn giải:
+) x¯=59,0+45,5+52,7+47,9+40,7+48,3+52,1+43,1+55,2+45,310 \= 48,98.
Quảng cáo
+) Phương sai mẫu:
S2=110[59−48,982+45,5−48,982+52,7−48,982+47,9−48,982
+40,7−48,982+48,3−48,982+52,1−48,982+43,1−48,982
+55,2−48,982+45,3−48,982]
⇒ S2 = 29,3076.
+) Độ lệch chuẩn: S = S2=29,3076≈5,4136.
Ví dụ 3. Cho mẫu số liệu: 2,62; 3,12; 2,75; 3,5; 3,25; 2,86; 3,15; 3,37. Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
Hướng dẫn giải:
+) x¯=2,62+2,75+2,86+3,12+3,15+3,25+3,37+3,58=3,0775.
+) Phương sai mẫu:
S2=18[2,62−3,07752+2,75−3,07752+2,86−3,07752+3,12−3,07752
+3,15−3,07752+3,25−3,07752+3,37−3,07752+3,5−3,07752]
⇒ S2 ≈ 0,0831.
+) Độ lệch chuẩn: S = S2=0,0831≈0,2883.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Điểm giữa kỳ của sinh viên trong một lớp học của một môn học được thống kê dưới bảng sau:
Điểm
0
5,5
6
6,5
7
7,5
8
8,5
9
9,5
10
Số sinh viên
2
1
1
1
2
10
12
13
10
7
18
Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
Bài 2. Khảo sát điểm (trừ môn GDTC và GDQP) năm học 2020 – 2021 của một sinh viên, ta thu được bảng số liệu sau:
Số điểm
(trên thang 4)
2
2,5
3
3,5
4
Số môn
0
1
4
3
6
Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
Bài 3. Số huy chương vàng thể thao quốc tế của Việt Nam trong khu vực Châu Á được thể hiện trong bảng sau dữ liệu sau:
2015
2016
2017
2018
2019
62
130
82
74
120
Hãy tính phương sai của bảng số liệu trên.
Bài 4. Khảo sát nhiệt độ không khí trung bình tại Nam Định ta có được bảng số liệu như sau:
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
Nhiệt độ (oC)
24,60
22,90
24,00
23,80
24,20
25,00
24,60
24,40
24,50
25,27
Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
Bài 5. Một sản phẩm B bán trên Shopee có 90 lượt đánh giá được thể hiện trong bản sau.
Đánh giá
5
4
3
2
1
Số lượt
82
3
0
1
4
Tính phương sai mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên.
Xem thêm các bài viết về công thức Toán hay, chi tiết khác:
- Công thức tính sai số tuyệt đối, sai số tương đối và độ chính xác
- Công thức xác định số quy tròn và số gần đúng với độ chính xác cho trước
- Công thức tính số trung bình và cách xác định mốt
- Công thức tính trung vị và tứ phân vị
- Công thức tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ
- Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 6
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và khóa học dành cho phụ huynh tại //tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Loạt bài 500 Công thức, Định Lí, Định nghĩa Toán, Vật Lí, Hóa học, Sinh học được biên soạn bám sát nội dung chương trình học các cấp.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.