Câu hỏi: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho 15 và mỗi chữ số đều không vượt quá 5.
A. 38
B. 48
C. 44
D. 24
Lời giải
Phương pháp giải:
- Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là $\overline{abcd}\left( a;b;c;d\in \left\{ 0;1;2;3;4;5 \right\},a\ne b\ne c\ne d \right)$.
- Vì $\overline{abcd}\vdots 15$ nên $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\overline{abcd}\vdots 5\Rightarrow d\in \left\{ 0;5 \right\} \\
\overline{abcd}\vdots 3 \\
\end{array} \right.$.
- Ứng với mõi trường hợp của d, tìm các cặp số $a,b,c$ tương ứng.
Giải chi tiết:
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là $\overline{abcd}\left( a;b;c;d\in \left\{ 0;1;2;3;4;5 \right\},a\ne b\ne c\ne d \right)$.
Vì $\overline{abcd}\vdots 15$ nên $\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\overline{abcd}\vdots 5\Rightarrow d\in \left\{ 0;5 \right\} \\
\overline{abcd}\vdots 3 \\
\end{array} \right.$.
+ TH1: $d=0$, số cần tìm có dạng $\overline{abc0}$ $\Rightarrow a+b+c\vdots 3$.
Các bộ ba chữ số chia hết cho 3 là $\left\{ 1;2;3 \right\};\left\{ 1;3;5 \right\};\left\{ 2;3;4 \right\};\left\{ 3;4;5 \right\}$.
⇒ có $4.3!=24$ cách chọn $a,b,c$.
⇒ Có 24 số thỏa mãn.
TH2: $d=5$, số cần tìm có dạng $\overline{abc5}$ $\Rightarrow a+b+c+5\vdots 3$ $\Rightarrow a+b+c$ chia 3 dư 1.
Các bộ ba chữ số chia 3 dư 1 là $\left\{ 0;1;3 \right\};\left\{ 1;2;4 \right\};\left\{ 0;3;4 \right\}$.
⇒ có $2.2.2!+3!=14$ cách chọn $a,b,c$.
⇒ Có 14 số thỏa mãn.
Vậy có tất cả $14+14=38$ số thỏa mãn.
Đáp án A.
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a;b;c;d \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\},\,\,a \ne b \ne c \ne d} \right)\).
Vì \(\overline {abcd} \,\, \vdots \,\,15\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\overline {abcd} \,\, \vdots \,\,5 \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}\\\overline {abcd} \,\, \vdots \,\,3\end{array} \right.\).
+ TH1: \(d = 0\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \) \( \Rightarrow a + b + c\,\, \vdots \,\,3\).
Các bộ ba chữ số chia hết cho 3 là \(\left\{ {1;2;3} \right\};\,\,\left\{ {1;3;5} \right\};\,\,\left\{ {2;3;4} \right\};\,\,\left\{ {3;4;5} \right\}\).
\( \Rightarrow \) có \(4.3! = 24\) cách chọn \(a,\,\,b,\,\,c\).
\( \Rightarrow \) Có 24 số thỏa mãn.
TH2: \(d = 5\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc5} \) \( \Rightarrow a + b + c + 5\,\, \vdots \,\,3\) \( \Rightarrow a + b + c\) chia 3 dư 1.
Các bộ ba chữ số chia 3 dư 1 là \(\left\{ {0;1;3} \right\};\,\,\left\{ {1;2;4} \right\};\,\,\left\{ {0;3;4} \right\}\).
Phương pháp giải:
- Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.
- Xét các trường hợp sau:
TH1: \(d = 0\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \).
+ \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left( {\bmod 1} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {1;4;7} \right\}\).
+ \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left( {\bmod 2} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\).
+ Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
TH2: \(d = 5\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc5} \).
+ Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.
+ Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 3.
+ Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.
Lời giải chi tiết:
Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0} \right)\).
Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.
\( \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}\).
TH1: \(d = 0\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \).
Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \(a + b + c\,\, \vdots \,\,3\).
Ta có các nhóm: \(\left\{ \begin{array}{l}\left\{ {0;9} \right\}\,\, \equiv \,\,3\left( {\bmod 0} \right)\\\left\{ {1;4;7} \right\} \equiv 3\,\,\left( {\bmod 1} \right)\\\left\{ {2;8} \right\} \equiv 3\,\,\left( {\bmod 2} \right)\end{array} \right.\)
Chọn C
Gọi số cần tìm là N = abcd¯ . Do N chia hết cho 15 nên N phải chia hết cho 3 và 5, vì vậy d có 1 cách chọn là bằng 5 và a + b + c + d chia hết cho 3.
Do vai trò các chữ số a, b, c như nhau, mỗi số a và b có 9 cách chọn nên ta xét các trường hợp:
TH1: a + b + d chia hết cho 3, khi đó c ⋮ 3 => c ∈{3;6;9}, suy ra có 3 cách chọn c.
TH2: a + b + d chia 3 dư 1, khi đó c chia 3 dư 2 => c∈{2;5;8}, suy ra có 3 cách chọn c.
TH3: a + b + d chia 3 dư 2, khi đó c chia 3 dư 1 => c ∈ {1;4;7} suy ra có 3 cách chọn.
Vậy trong mọi trường hợp đều có 3 cách chọn c nên có tất cả: 9.9.3.1 = 243 số thỏa mãn.