1. Các kiến thức cần nhớ Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn +) Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng $ax + by = c$ Trong đó $a,b,c$ là những số cho trước $a \ne $$0$ hoặc $b \ne 0$ . - Nếu các số thực ${x_0},\,{y_0}$ thỏa mãn $ax + by = c$ thì cặp số $({x_0},\,{y_0})$ được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$. - Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , mỗi nghiệm $({x_0},\,{y_0})$ của phương trình $ax + by = c$ được biểu diễn bới điểm có tọa độ $({x_0},\,{y_0})$.
Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$ luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của phương trình được biểu diễn bởi đường thẳng $d:ax + by = c.$ +) Nếu $a \ne 0$ và $b = 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{c}{a}\\y \in R\end{array} \right.$ và đường thẳng $d$ song song hoặc trùng với trục tung. +) Nếu $a = 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$ và đường thẳng $d$ song song hoặc trùng với trục hoành. +) Nếu $a \ne 0$ và $b \ne 0$ thì phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x \in R\\y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}\end{array} \right.$ và đường thẳng $d$ là đồ thị hàm số $y = - \dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$ 2. Các dạng toán thường gặp Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để một cặp số cho trước là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn. Phương pháp: Nếu cặp số thực $({x_0},\,{y_0})$thỏa mãn $ax + by = c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$. Dạng 2: Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất hai ẩn. Biểu diễn tập nghiệm trên hệ trục tọa độ. Phương pháp: Xét phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$. 1. Để viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình, trước tiên ta biểu diễn $x$ theo $y$ ( hoặc $y$ theo $x$) rồi đưa ra công thức nghiệm tổng quát. 2. Để biểu diễn tập nghiệm của phương trình trên mặt phẳng tọa độ, ta vẽ đường thẳng d có phương trình $ax + by = c$. Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số để đường thẳng $ax + by = c$ thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Ta có thể sử dụng một số lưu ý sau đây khi giải dạng toán này: 1. Nếu \(a \ne 0\) và \(b = 0\) thì phương trình đường thẳng $d: ax + by = c$ có dạng $d:x = \dfrac{c}{a}$. Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Oy$ . 2. Nếu \(a = 0\) và \(b \ne 0\) thì phương trình đường thẳng $d: ax + by = c$ có dạng $d:y = \dfrac{c}{b}$. Khi đó $d$ song song hoặc trùng với $Ox$ . 3. Đường thẳng $d:ax + by = c$ đi qua điểm $M({x_0},\,{y_0})$ khi và chỉ khi $a{x_0} + b{y_0} = c$. Dạng 4: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn Phương pháp: Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by = c$, ta làm như sau: Cách 1: Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩnBước 2: Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn $x$ ) theo ẩn kia.Bước 3: Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của $x$ Bước 4: Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của $x$ bằng một số nguyên \(t\), ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và \(t\) - Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ần đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên. Cách 2: Bước 1. Tìm một nghiệm nguyên $({x_0},\,{y_0})$ của phương trình. Bước 2. Đưa phương trình về dạng $a(x - {x_0}) + b(y - {y_0}) = 0$ từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm nguyên của phương trình đã cho. 
Sách giải toán 9 Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 1 trang 5: a) Kiểm tra xem các cặp số (1; 1) và (0,5; 0) có là nghiệm của phương trình 2x – y = 1 hay không ? b) Tìm thêm một nghiệm khác của phương trình 2x – y = 1. Lời giải a) Cặp số (1; 1) là nghiệm của phương trình 2x – y = 1 vì 2.1 – 1 = 1 Cặp số (0,5; 1) là nghiệm của phương trình 2x – y = 1 vì 2.0,5 – 1 ≠ 1 b) Chọn x = 2 ta có: 2.2 – y = 1 ⇔ y = 3 Vậy cặp số (2; 3) là một nghiệm của phương trình 2x – y = 1 Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 1 trang 5: Nếu nhận xét về số nghiệm của phương trình 2x – y = 1. Lời giải Phương trình 2x – y = 1 có vô số nghiệm Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 1 trang 5: Điền vào bảng sau và viết ra sáu nghiệm của phương trình (2):
Lời giải
Vậy 6 nghiệm của phương trình là : (-1; -3), (0; 1), (0,5; 0), (1;1), (2; 3), (2,5; 4) Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn a) 5x + 4y = 8? ; b) 3x + 5y = -3? Lời giải a) Tại x = -2 ; y = 1 ta có: 5x + 4y = 5.(-2) + 4.1 = -10 + 4 = -6 ≠ 8 ⇒ cặp số (-2; 1) không là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8. Tại x = 0 ; y = 2 ta có 5x + 4y = 5.0 + 4.2 = 8 ⇒ cặp số (0; 2) là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8. Tại x = -1 ; y = 0 ta có: 5x + 4y = 5.(-1) + 4.2 = -5 ≠ 8 ⇒ cặp số (-1; 0) không là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8. Tại x = 1,5 ; y = 3 ta có 5x + 4y = 5.1,5 + 4.3 = 7,5 + 12 = 19,5 ≠ 8 ⇒ (1,5; 3) không là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8. Tại x = 4 ; y = -3 ta có: 5x + 4y = 5.4 + 4.(-3) = 20 – 12 = 8 ⇒ (4; -3) là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8. Vậy có hai cặp số (0; 2) và (4; -3) là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8. b) Tại x = -2 ; y = 1 ta có 3x + 5y = 3.(-2) + 5.1 = -6 + 5 = -1 ≠ -3 ⇒ (-2; 1) không là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3. Tại x = 0 ; y = 2 ta có 3x + 5y = 3.0 + 5.2 = 10 ≠ -3 ⇒ (0; 2) không là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3. Tại x = -1 ; y = 0 ta có: 3x + 5y = 3.(-1) + 5.0 = -3 ⇒ (-1; 0) là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3. . Tại x = 1,5 ; y = 3 ta có 3x + 5y = 3.1,5 + 5.3 = 4,5 + 15 = 19,5 ≠ -3 ⇒ (1,5; 3) không là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3. Tại x = 4 ; y = -3 ta có 3x + 5y = 3.4 + 5.(-3) = 12 – 15 = -3 ⇒(4; -3) là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3. Vậy có hai cặp số (-1; 0) và (4; -3) là nghiệm của phương trình 3x + 5y = -3. Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn a) 3x – y = 2; b) x + 5y = 3; c) 4x – 3y = -1; d) x + 5y = 0 ; e) 4x + 0y = -2 ; f) 0x + 2y = 5. Lời giải a) 3x – y = 2 (1) ⇔ y = 3x – 2. Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là (x; 3x – 2) (x ∈ R). Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình (1) là đường thẳng y = 3x – 2 (Hình vẽ). + Tại x = 1 thì y = 1 ⇒ đường thẳng y = 3x – 2 đi qua điểm (1; 1). + Tại x = 0 thì y = -2 ⇒ đường thẳng y = 3x – 2 đi qua điểm (0; -2). Vậy đường thẳng y = 3x – 2 là đường thẳng đi qua điểm (1; 1) và (0; -2). b) x + 5y = 3 (2) ⇔ x = 3 – 5y Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là (3 – 5y; y) (y ∈ R). Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của (2) là đường thẳng x + 5y = 3. + Tại y = 0 thì x = 3 ⇒ Đường thẳng đi qua điểm (3; 0). + Tại y = 1 thì x = -2 ⇒ Đường thẳng đi qua điểm (-2; 1). Vậy đường thẳng x + 5y = 3 là đường thẳng đi qua hai điểm (3; 0) và (-2; 1). c) 4x – 3y = -1 ⇔ 3y = 4x + 1 ⇔ Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm phương trình là đường thẳng 4x – 3y = -1. + Tại x = 0 thì y = Đường thẳng đi qua điểm + Tại y = 0 thì x = Đường thẳng đi qua điểm Vậy đường thẳng 4x – 3y = -1 đi qua d) x + 5y = 0 ⇔ x = -5y. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là (-5y; y) (y ∈ R). Đường thẳng biểu diễn nghiệm của phương trình là đường thẳng x + 5y = 0. + Tại x = 0 thì y = 0 ⇒ Đường thẳng đi qua gốc tọa độ. + Tại x = 5 thì y = -1 ⇒ Đường thẳng đi qua điểm (5; -1). Vậy đường thẳng x + 5y = 0 đi qua gốc tọa độ và điểm (5; -1). e) 4x + 0y = -2 Phương trình nghiệm đúng với x = -0,5 và với mọi y nên có nghiệm tổng quát (-0,5; y) (y ∈ R). Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm là đường thẳng x = -0,5 đi qua điểm (-0,5; 0) và song song với trục tung.
f) 0x + 2y = 5 Phương trình nghiệm đúng với y = 2,5 và với mọi x nên có nghiệm tổng quát (x; 2,5) (x ∈ R). Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm là đường thẳng y = 2,5 đi qua điểm (0; 2,5) và song song với trục hoành. Bài 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn Lời giải – Vẽ đường thẳng x + 2y = 4. + Với x = 0 ⇒ y = 2. Đường thẳng đi qua điểm (0; 2). + Với y = 0 ⇒ x = 4. Đường thẳng đi qua điểm (4; 0). Đường x + 2y = 4 là đường thẳng đi qua điểm (0; 2) và (4; 0). – Vẽ đường thẳng x – y = 1 + Với x = 0 ⇒ y = -1. Đường thẳng đi qua điểm (0; -1). + Với y = 0 ⇒ x = 1. Đường thẳng đi qua điểm (1; 0). Đường x – y = 1 là đường thẳng đi qua điểm (0 ; -1) và (1 ; 0). – Giao điểm của hai đường thẳng là điểm A có tọa độ là (2; 1). – Ta có A(2; 1) cùng thuộc hai đường thẳng nên nó là nghiệm của cả hai phương trình đã cho. |
