Giải hệ phương trình bằng phép biến đổi sơ cấp

Giải Tích Sơ Cấp Các ví dụ

Những Bài Tập Phổ Biến

Giải Tích Sơ Cấp

Giải Bằng Cách Sử Dụng Các Phép Biến Đổi Dòng với Các Ma Trận 5x+4=-2y , 3x=-y

,

Di chuyển sang vế trái của phương trình vì nó chứa một biến số.

Di chuyển sang vế trái của phương trình vì nó chứa một biến số.

Di chuyển sang vế phải của phương trình vì nó không chứa biến số nào.

Viết hệ phương trình ở dạng ma trận.

Giảm số hàng.

Thực hiện phép biến đổi hàng trên (hàng ) để quy đổi một số thành phần trong hàng thành .

Thay thế (hàng ) bằng phép biến đổi hàng để chuyển đổi một số phần tử trong hàng thành giá trị mong muốn .

Thay thế (hàng ) bằng các giá trị thực tế của các phần tử cho phép biến đổi hàng .

Rút gọn (hàng ).

Thực hiện phép biến đổi hàng trên (hàng ) để quy đổi một số thành phần trong hàng thành .

Thay thế (hàng ) bằng phép biến đổi hàng để chuyển đổi một số phần tử trong hàng thành giá trị mong muốn .

Thay thế (hàng ) bằng các giá trị thực tế của các phần tử cho phép biến đổi hàng .

Rút gọn (hàng ).

Thực hiện phép biến đổi hàng trên (hàng ) để quy đổi một số thành phần trong hàng thành .

Thay thế (hàng ) bằng phép biến đổi hàng để chuyển đổi một số phần tử trong hàng thành giá trị mong muốn .

Thay thế (hàng ) bằng các giá trị thực tế của các phần tử cho phép biến đổi hàng .

Rút gọn (hàng ).

Thực hiện phép biến đổi hàng trên (hàng ) để quy đổi một số thành phần trong hàng thành .

Thay thế (hàng ) bằng phép biến đổi hàng để chuyển đổi một số phần tử trong hàng thành giá trị mong muốn .

Thay thế (hàng ) bằng các giá trị thực tế của các phần tử cho phép biến đổi hàng .

Rút gọn (hàng ).

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận các đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

Đáp án là tập hợp của các cặp có thứ tự mà làm cho hệ phương trình đúng.

ĐỒ ÁN KỸ THUẬT LẬP TRÌNH= [A|b]=Phương pháp khử Gauss: ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp về, đó là: Đổi chỗ 2 hàng (đổi vị trí 2 phương trình cho nhau). Nhân, chia các phần tử của một hàng với số thực k ≠ 0 (nhân, chia 2 vế củaphương trình với số thực k ≠ 0 ). Cộng bội k hàng này vào hàng khác ( công bội k phương trình này vàophương trình khác ) để biến đổi ma trận mở rộngtrong ma trậnsao cho ma trận A cóvề dạng của ma trận tam giác trên. Sau đó viết lại hệ phương trình đã cho ứng với ma trận mở rộng sau khi đãbiến đổi, rồi giải hệ phương trình bằng cách giải ngược từ dưới lên.2 x1 + x2 − x3 = 3 x1 − x2 + 2 x3 = 23 x − 2 x + x = −123 1Ví dụ:Giải:Quá trình thuậnBước 1: - Giả sử a11 ≠ 0, chia dòng 1 cho a11. (a11 là phần tử trụ). Hệ đã chotương đương với: 1 a21a 31 ... an1(1a12)a22a32...an 2(1a13)a23a33...an 3...............a1(1)   x1   b1(1) n   a2 n   x2   b2 a3n . x3  =  b3    ...   ...   ...    ann   xn   bn 113 x1 + 2 x2 − 2 x3 = 2 x1 − x2 + 2 x3 = 23 x − 2 x + x = −123 116 ĐỒ ÁN KỸ THUẬT LẬP TRÌNHVớia1(1j) = a1 j / a11 ,b1(1) = b1 / a11Khử x1 trong phương trình thứ i=2,3,4,…, n bằng cách:Thay dòng i bởi dòng i – dòng 1 * ai1 . Nghĩa là:a(1)ij = aij - a(1)1j *ai1 với j=1,nvà: b(1)i=bi - b(1)1*ai1Hệ đã cho tương đương với:100 ...0(1a12)(1a22)(1a32)...(an12)(1a13) ... a1(1)   x1   b1(1) n   ( (1)(1)a23 ... a2 n   x2   b21) (1(a33) ... a31) . x3  =  b3(1) n   ... ... ...   ...   ...   ( ((1  an13) ... ann)   xn   bn1) 113 x1 + 2 x2 − 2 x3 = 2351 − x2 + x3 =2227511 − 2 x2 + 2 x3 = − 2Bước 2: Giả sử a(1)22≠0, chia dòng 2 cho a(1)22. Hệ đã cho tương đượng với:(1 1 a12)0 1 0 a (1)32 ... ...(1) 0 an 2(1a13)(2a23 )(1a33)...(an13)...............a1(1)   x1   b1(1) n   ( (a22 )   x2   b2 2 ) n(a31) . x3  =  b3(1) n  ...   ...   ...   ( (1  ann)   xn   bn1) (((1a22j) = a21j) / a22) ,113x1 + x2 − x3 =22251x2 − x3 = −337511− x2 + x3 = −222(((1b2 2 ) = b21) / a22) , ( j = 1,2,..., n)17 ĐỒ ÁN KỸ THUẬT LẬP TRÌNHVớiKhử x2 ở phương trình thứ i=3,4,5,…,n bằng cách:Dòng i = dòng i – dòng 2 * ai2(1)Nghĩa là:a(2)ij = a(1)ij-a(2)2j *ai2 , với j=1,2,…,nvà:b(2)i=b(1)i - b(2)2*ai2Hệ đã cho tương đương với:(1 1 a12)0 10 0 ... ...0 0(1a13)(2a23 )(2a33 )...(an2 )3... a1(1)   x1   b1(1) n    (2) (2)... a2 n   x2   b2 (... a32 ) . x3  =  b3( 2 ) n  ... ...   ...   ...   ( (2  ... ann)   xn   bn2 ) 113x1 + x2 − x3 =22251x2 − x3 = −331020- x3 = −33Tiếp tục thực hiện như trên cho đến khi đưa được ma trận hệ số về ma trận tamgiác trên. Hệ đã cho tương đương với:(1 1 a12)0 10 0 ... ...0 0(1a13)(2a23)1...0Quá trình nghịch:... a1(1)   x1   b1(1) n   ( (... a22 )   x2   b22 ) n(... a33) . x3  =  b3(3) n ... ...   ...   ...    ( ... 1   xn   bnn ) 113x1 + x2 − x3 =22251x2 − x3 = −33x3 = 2113x1 + x2 − x3 =22251x2 − x3 = −33x3 = 218 ĐỒ ÁN KỸ THUẬT LẬP TRÌNHTừ phương trình thứ 3, ta có: x3 = 2Từ phương trình thứ 2, ta có: x2 =-1/3+5/3x3 = 3Từ phương trình thứ 1, ta có: x1 =3/2-1/2x2+1/2x3 = 1Vậy nghiệm của hệ là: x1 = 1; x2 = 3; x3 = 2CHƯƠNG 2 : THUẬT TOÁN-GIẢI THUẬT2.1 ĐỊNH THỨC MA TRẬN2.1.1 THUẬT TOÁNCó rất nhiều phương pháp khác nhau để tính định thức trong ma trận nhưgauss,cramer,choleski,…trong đó phương pháp giải đưa ma trận về dạng ma trận tamgiác trên được xem là phương pháp giải chính xác và khối lượng các phép tính ít nhất. Biến đổi ma trận A về ma trận tam giác trên có dạng:A (n )(n)(n)(n)1 a 12 a 13 ... a 1n (n)(n) 0 1 a 23 ... a 2n =.... 0 ....................1 Gọi a(k)kk là phần tử trụ được chọn trong bước thứ k. Ta có:n(kdet( A) = (−1) .∏ akk )pk =119 ĐỒ ÁN KỸ THUẬT LẬP TRÌNHTrong đó: p là số lần hoán vị các dòng để tìm phần tử trụ2.1.2 GIẢI THUẬTdetA = 1;Cho k=1,2,3,…, n. Với mỗi dòng k Chọn t sao cho . Nếu atk=0 thì det(A)=0; dừng thuật toán. Nếu atk ≠ 0 thì làm các việc sau đây: Nếu t≠k thì đổi chỗ dòng k với dòng t và detA = detA*(-1) ; Chọn trụ là akk. Chia dòng k cho akk. Khử aik ở các dòng i (i=k+1, k+2,…) bằng cách: Tính: hệ số = aik. Dòng i = dòng i – dòng k * hệ số. Giá trị định thức det(A)=det(A)*akk.20