08:56:4124/12/2020 Khi các em học tới phương trình bậc 2 một ẩn, thì việc ghi nhớ cách tính biệt thức delta là điều tất nhiên có vai trò chính để giải được phương trình bậc 2, cách tính biệt thức delta này các em đã ghi nhớ nằm lòng chưa? Bài viết này sẽ trả lời cho các em câu hỏi: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? khi đó delta thỏa điều kiện gì?. I. Phương trình bậc 2 - kiến thức cơ bản cần nhớ • Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a≠0) • Công thức nghiệm tính delta (ký hiệu: Δ) Δ = b2 - 4ac + Nếu Δ > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:  + Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép: + Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm. • Công thức nghiệm thu gọn tính Δ' (chỉ tính Δ' khi hệ số b chẵn). Δ = b'2 - ac với b = 2b'. + Nếu Δ' > 0: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: + Nếu Δ' = 0: Phương trình có nghiệm kép: + Nếu Δ' < 0: Phương trình vô nghiệm. → Vậy nếu hỏi: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? - Trả lời: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi biệt thức delta ≥ 0. (khi đó phương trình có nghiệm kép, hoặc có 2 nghiệm phân biệt). > Lưu ý: Nếu cho phương trình ax2 + bx + c = 0 và hỏi phương trình có nghiệm khi nào? thì câu trả lời đúng phải là: a=0 và b≠0 hoặc a≠0 và Δ≥ 0. • Thực tế đối với bài toán giải phương trình bậc 2 thông thường (không chứa tham số), thì chúng ta chỉ cần tính biệt thức delta là có thể tính toán được nghiệm. Tuy nhiên bài viết này đề sẽ đề cập đến dạng toán hay làm các em bối rối hơn, đó là tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có chứa tham số m có nghiệm. II. Một số bài tập tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm * Phương pháp giải: - Xác định các hệ số a, b, c của phương trình, đặc biệt là hệ số a. Phương trình ax2 + bx + c = 9 là phương trình bậc 2 chỉ khi a≠0. - Tính biệt thức delta: Δ = b2 - 4ac - Xét dấu của biệt thức để kết luận sự tồn tại nghiệm, hoặc áp dụng công thức để viết nghiệm. * Bài tập 1: Chứng minh rằng phương trình: 2x2 - (1 - 2a)x + a - 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của a. * Lời giải: - Xét phương trình: 2x2 - (1 - 2a)x + a - 1 = 0 có: a = 2; b = -(1 - 2a) = 2a - 1; c = a - 1. Δ = (2a - 1)2 - 4.2.(a - 1) = 4a2 - 12a + 9 = (2a - 3)2. - Vì Δ ≥ 0 với mọi a nên phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a. * Bài tập 2: Cho phương trình mx2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 (*). Tìm giá trị của m để phương trình trên có nghiệm. * Lời giải: - Nếu m = 0 thì phương trình đã cho trở thành: 2x - 3 = 0 là phương trình bậc nhất một ẩn, có nghiệm x = 3/2. - Xét m ≠ 0. Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc 2 một ẩn, khi đó, ta có: a = m; b = -2(m - 1); c = m - 3. Và Δ = [-2(m-1)]2 - 4.m.(m-3) = 4(m2 - 2m + 1) - (4m2 - 12m) = 4m2 - 8m + 4 - 4m2 + 12m = 4m + 4 - Như vậy, m = 0 thì pt (*) có nghiệm và với m ≠ 0 để phương trình (*) có nghiệm thì Δ≥0 ⇔ 4m + 4 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1. ⇒ Kết luận: Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ -1. * Bài tập 3: Chứng minh rằng phương trình x2 - 2(m + 4)x + 2m + 6 = 0 luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. * Bài tập 4: Xác định m để các phương trình sau có nghiệm: x2 - mx - 1 = 0. * Bài tập 5: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: 3x2 + (m - 2)x + 1 = 0. * Bài tập 6: Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm: x2 - 2mx - m + 1 = 0. * Bài tập 7: Với giá trị nào của m thì phương trình sau: mx2 - 4(m - 1)x + 4m + 8 = 0 có nghiệm.
Như vậy với bài viết đã giải đáp được thắc mắc: Phương trình bậc 2 có nghiệm khi nào? khi đó delta cần thỏa điều kiện gì? cùng các bài tập về tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm ở trên đã giúp các em dễ hiểu hơn hay chưa? Các em hãy cho góp ý và đánh giá ở dưới bài viết để chúng ta cùng trao đổi thêm nhé, chúc các em học tốt.
Sách Giải Sách Bài Tập Toán 9 Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai giúp bạn giải các bài tập trong sách bài tập toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: a. 2x2 – 5x + 1 = 0 b. 4x2 + 4x + 1 = 0 c. 5x2 – x + 2 = 0 d. -3x2 + 2x + 8 = 0 Lời giải: a. Phương trình 2x2 – 5x + 1 = 0 có a = 2, b = -5, c = 1 Ta có: Δ = b2 – 4ac = (-5)2 – 4.2.1 = 25 – 8 = 17 > 0 √Δ = √17 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt : b. Phương trình 4x2 + 4x + 1 = 0 có a = 4, b = 4, c = 1 Ta có: Δ = b2 – 4ac = 42 – 4.4.1 = 16 – 16 = 0 Phương trình có nghiệm kép : c. Phương trình 5x2 – x + 2 = 0 có a = 5, b = -1, c = 1 Ta có: Δ = b2 – 4ac = (-1)2 – 4.5.2 = 1 – 40 = -39 < 0 Vậy phương trình vô nghiệm. d. Phương trình -3x2 + 2x + 8 = 0 có a = -3, b = 2, c = 8 Ta có: Δ = b2 – 4ac = 22 – 4.(-3).8 = 4 + 96 = 100 > 0 √Δ = √100 = 10 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
Lời giải: a. Phương trình 2x2 – 2√2 x + 1 = 0 có a = 2, b = -2√2 , c = 1 Ta có: Δ = b2 – 4ac = (-2√2 )2 – 4.2.1 = 8 – 8 = 0 Phương trình có nghiệm kép : b. Phương trình 2x2 – (1 – 2√2 )x – 2 = 0 có a = 2, b = -(1 – 2√2 ), c = -2 Ta có: Δ = b2 – 4ac = [-(1 – 2√2 )]2 – 4.2.(-2 ) = 1 – 4√2 + 8 + 8√2 = 1 + 4√2 + 8 = 1 + 2.2√2 + (2√2 )2 = (1 + 2√2 )2 > 0 Δ = (1 + 2√2 )2 = 1 + 2√2 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt : d. Phương trình 3x2 + 7,9x + 3,36 = 0 có a = 3, b = 7,9, c = 3,36 Ta có: Δ = b2 – 4ac = 7,92 – 4.3.3,36 = 62,41 – 40,32 = 22,09 > 0 √Δ = √22,09 = 4,7 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt : Cho phương trình 2x2 + x – 3 = 0. a. Vẽ các đồ thị của hai hàm số y = 2x2, y = -x + 3 trong cùng một mặt phẳng tọa độ. b. Tìm hoành độ của mỗi giao điểm của hai đồ thị. Hãy giải thích vì sao các hoành độ này đều là nghiệm của phương trình đã cho. c. Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu b. Lời giải: a. *Vẽ đồ thị hàm số y = 2x2
*Vẽ đồ thị hàm số y = -x + 3 Cho x = 0 thì y = 3 ⇒ (0; 3) Cho y = 0 thì x = 3 ⇒ (3; 0) b. Ta có: I(-1,5; 4,5), J(1; 2) *x = -1,5 là nghiệm của phương trình 2x2 + x – 3 = 0 vì: 2(-1,5)2 + (-1,5) – 3 = 4,5 – 4,5 = 0 *x = 1 là nghiệm của phương trình 2x2 + x – 3 = 0 vì: 2.12 + 1 – 3 = 3 – 3 = 0 c. Ta có: ∆ = b2 – 4ac = 12 – 4.2.(-3) = 1 + 24 = 25 > 0 √∆ = √25 = 5 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :
a. Vẽ các đồ thị của hai hàm sô b. Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu a. Lời giải: a. *Vẽ đồ thị hàm số
*Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 1 Cho x = 0 thì y = -1 ⇒ (0; -1) Cho y = 0 thì x = 1/2 ⇒ (1/2 ; 0) a. mx2– 2(m – 1)x + 2 = 0 b. 3x2 + (m + 1)x + 4 = 0 Lời giải: a. Phương trình mx2 – 2(m – 1)x + 2 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi m ≠ 0 và Δ = 0 Ta có: Δ = [-2(m – 1)]2 – 4.m.2 = 4(m2 – 2m + 1) – 8m = 4(m2 – 4m + 1) Δ = 0 ⇔ 4(m2 – 4m + 1) = 0 ⇔ m2 – 4m + 1 = 0 Giải phương trình m2 – 4m + 1. Ta có: Δm = (-4)2 – 4.1.1 = 16 – 4 = 12 > 0 Vậy với m = 2 + √3 hoặc m = 2 – √3 thì phương trình đã cho có nghiệm kép. b. Phương trình 3x2 + (m + 1)x + 4 = 0 có nghiệm kép khi và chỉ khi Δ = 0 Ta có : Δ = (m + 1)2 – 4.3.4 = m2 + 2m + 1 – 48 = m2 + 2m – 47 Δ = 0 ⇔ m2 + 2m – 47 = 0 Giải phương trình m2 + 2m – 47. Ta có: Δm = 22 – 4.1.(-47) = 4 + 188 = 192 > 0 Vậy với m = 4√3 – 1 hoặc m = -1 – 4√3 thì phương trình đã cho có nghiệm kép. a. mx2 – (2m – 1)x + m + 2 = 0 b. 2x2 – (4m + 3)x + 2m2 – 1 = 0 Lời giải: a. mx2 – (2m – 1)x + m + 2 = 0 (1) *Nếu m = 0, ta có (1) ⇔ -x + 2 = 0 ⇔ x = 2 *Nếu m ≠ 0 thì (1) có nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥ 0 Ta có : Δ = (2m – 1)2 – 4m(m + 2) = 4m2 – 4m + 1 – 4m2 – 8m = -12m + 1 Δ ≥ 0 ⇔ -12m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≤ 1/12 Vậy khi m ≤ 1/12 thì phương trình đã cho có nghiệm. Giải phương trình (1) theo m : b. 2x2 – (4m + 3)x + 2m2 – 1 = 0 (2) Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi Δ ≥ 0 Ta có: Δ = [-(4m + 3)]2 – 4.2(2m2 – 1) = 16m2 + 24m + 9 – 16m2 + 8 = 24m + 17 Δ ≥ 0 ⇔ 24m + 17 ≥ 0 ⇔ m ≥ -17/24 Vậy khi m ≥ -17/24 thì phương trình đã cho có nghiệm. Giải phương trình (2) theo m: Áp dụng: Không tính Δ, hãy giải thích vì sao mỗi phương trình sau có nghiệm: a. 3x2– x – 8 = 0 b. 2004x2 + 2x – 1185√5 = 0 c. 3√2 x2 + (√3 – √2 )x + √2 – √3 = 0 d. 2010x2 + 5x – m2 = 0 Lời giải: Khi a và c trái dấu thì ac < 0, suy ra –ac > 0, suy ra -4ac > 0 Ta có: Δ = b2 – 4ac, trong đó b2 > 0 Nếu -4ac > 0 thì Δ luôn lớn hơn 0. Khi Δ > 0 nghĩa là phương trình có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng : a. Phương trình 3x2 – x – 8 = 0 có: a = 3, c = -8 nên ac < 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt. b. Phương trình 2004x2 + 2x – 1185√5 = 0 có: a = 2004, c = -1185√5 nên ac < 0 Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt. c. Phương trình 3√2 x2 + (√3 – √2 )x + √2 – √3 = 0 có: a = 3√2 , c = √2 – √3 nên ac < 0 (vì √2 < √3 ) Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt. d. 2010x2 + 5x – m2 = 0 (1) *Với m = 0 thì (1) ⇔ 2010x2 + 5x = 0: phương trình có 2 nghiệm. *Với m ≠ 0 ta có: m2 > 0, suy ra: -m2 < 0 Vì a = 2010 > 0, c = -m2 < 0 nên ac > 0 Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt. a)4x2 – 9 = 0 b)5x2 + 20 = 0 c)2x2 – 2 + √3 = 0 d)3x2 – 12 + √145 = 0 Lời giải: b) 5x2 + 20 = 0 ⇔ 5x2 = – 20 Vế trái 5x2 ≥ 0; vế phải -20 < 0 Không có giá trị nào của x để 5x2 = – 20 Phương trình vô nghiệm. Δ = 02 – 4.5.20 = – 400 < 0. Phương trình vô nghiệm. a) 5x2 – 3x = 0 b) 3√5 x2 + 6x = 0 c) 2x2 + 7x = 0 d) 2x2 – √2 x = 0 Lời giải: Lời giải: Lời giải: |
