VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Hệ phương trình đẳng cấp, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10. Show
 Nội dung bài viết Hệ phương trình đẳng cấp: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP. Định nghĩa. Biểu thức f(x, y) được gọi là biểu thức đẳng cấp bậc 2 nếu f(mx, my) = m2f(x, y). Định nghĩa. Biểu thức f(x, y) được gọi là biểu thức đẳng cấp bậc 3 nếu f(mx, my) = m3 f(x, y). Định nghĩa. Hệ phương trình đẳng cấp bậc 2 theo x, y có dạng tổng quát. (Mỗi phương trình trong hệ (3.2) là các biểu thức đẳng cấp bậc 2). Phương pháp giải: Xét x = 0. Thay x = 0 vào (3.2) để tìm y. Nếu không tìm được y thì hệ vô nghiệm trong trường hợp này. Xét x khác 0. Nếu d1 = 0 hoặc d2 = 0, chẳng hạn, d1 = 0 thì ta chia cả hai vế phương trình thứ nhất cho x2 ta được phương trình có dạng. Giải phương trình này ta tìm được tỉ số y sau đó thế vào phương trình còn lại để tìm nghiệm x, y. Nếu d1 khác 0 và d2 khác 0 thì ta có thể tạo ra một phương trình đẳng cấp bậc 2 thuần nhất (phương trình có hệ số tự do bằng 0) bằng cách. Sau đó giải giống (i). Định nghĩa. Hệ phương trình đẳng cấp bậc 3 theo x, y có dạng tổng quát: F(x, y) = A, G(x, y) = B. Trong đó, F(x, y), G(x, y) là các biểu thức đẳng cấp bậc 3. Phương pháp giải: Giải tương tự hệ phương trình (3.2). Ví dụ 1. Giải hệ phương trình. Xét x = 0. Thay x = 0 vào hệ đã cho ta được hệ. Xét x khác 0. Chia hai vế (1) cho x ta được phương trình. a) Với x = y, (2) ⇔ −7×2 = 0 (vô nghiệm do x khác 0). b) Với x = 2y, (2) ⇔ 0y ⇒ y ∈ R. Mà x khác 0 ⇒ y khác 0. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (2a, a), a ∈ R. Ví dụ 2. Giải hệ phương trình. Xét x = 0. Thay x = 0 vào hệ đã cho ta được hệ, hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Xét x = 0. Thay x = 0 vào hệ đã cho ta được hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Xét x khác 0. Nhân hai vế (1) cho 5 rồi cộng (2) ta được phương trình. Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm: (1, −2), (−1, 2). PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI VÀ BẬC BA ĐỐI VỚI SIN VÀ COS A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Nhận biết: Phương trình đẳng cấp là phương trình chứa \( \sin \), \( \cos \) thỏa mãn bậc của tất cả các hạng tử đều là số chẵn, hoặc đều là số lẻ. Chẳng hạn: \( \bullet \) \( \sin x\), \( \cos x\) bậc một. \( \bullet \) \({\sin ^2}x,co{s^2}x,\sin x\cos x\) bậc hai. Xem thêm: Định Nghĩa Và Phân Độ Thiếu Máu Mạn Là Gì ? Thiếu Máu Do Bệnh Mạn Tính \( \bullet \) \({\sin ^3}x,co{s^3}x,{\sin ^2}x\cos x,\sin x{\cos ^2}x,\cos 3x,\sin 3x\) đều bậc 3. Cách giải: Ta xét hai trường hợp sau: \( \bullet \) Trường hợp 1: \(\cos x = 0\) \( \bullet \) Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0\). Khi đó ta sẽ chia cả 2 vế cho \({\cos ^m}x\) (ở đó m là bậc của phương trình đẳng cấp), ta được phương trình bậc m với ẩn là \(\tan x\). (Tương tự đối vơi việc chia cho \( sin x\) để đưa về \( \cot x\).) B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay
Gửi phản hồi Hủy Bình luậnchuyên đề được quan tâmbài viết mới nhấtGửi bài tập - Có ngay lời giải! Cập nhật thông tin mới nhất của kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2021
PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI VÀ BẬC BA ĐỐI VỚI SIN VÀ COS A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Nhận biết: Phương trình đẳng cấp là phương trình chứa \( \sin \), \( \cos \) thỏa mãn bậc của tất cả các hạng tử đều là số chẵn, hoặc đều là số lẻ. Chẳng hạn: \( \bullet \) \( \sin x\), \( \cos x\) bậc một. \( \bullet \) \({\sin ^2}x,co{s^2}x,\sin x\cos x\) bậc hai. Xem thêm: Dđoàn Văn Hậu Và Evan Dimas, Đoàn Văn Hậu,Văn Hậu: Tôi Ổn Và Chờ Cơ Hội Ra Sân
Hệ phương trình đẳng cấp là một dạng hệ phương trình thường gặp trong chương trình Toán 9 và Toán 10. Vậy hệ phương trình đẳng cấp là gì? Khái niệm về hệ phương trình đẳng cấp bậc 2? Cách giải hệ phương trình đẳng cấp?…. Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé! Hệ phương trình đẳng cấp là gì?Hệ phương trình đẳng cấp là hệ gồm \( 2 \) phương trình \( 2 \) ẩn mà ở mỗi phương trình thì bậc của mỗi ẩn là bẳng nhau : \(\left\{\begin{matrix} f(x;y)=a_1\\ g(x;y)=a_2 \end{matrix}\right.\) với \( f,g \) là các hàm số có bậc của hai biến \( x;y \) bằng nhau Ví dụ: \(\left\{\begin{matrix} x^2+3xy-2y^2=3\\ x^2-xy+y^2=4 \end{matrix}\right.\) Ở ví dụ trên thì đây là hệ phương trình đẳng cấp bậc \( 2 \) Cách giải hệ phương trình đẳng cấpBài toán: Giải phương trình \(\left\{\begin{matrix} f(x;y)=a_1\\ g(x;y)=a_2 \end{matrix}\right.\) với \( f,g \) là các hàm số có bậc của hai biến \( x;y \) bằng nhau Nhìn chung để giải phương trình đẳng cấp thì chúng ta tiến hành các bước sau đây:
Ví dụ: Giải hệ phương trình : \(\left\{\begin{matrix} x^2-y^2=3\\ x^2-2xy+y^2=1 \end{matrix}\right.\) Cách giải: Phương trình đã cho tương đương với : \(\left\{\begin{matrix} x^2-y^2=3\\ 3x^2-6xy+3y^2=3 \end{matrix}\right.\) Trừ hai vế hai phương trình ta được : \( 2x^2+4y^2-6xy =0 \) Đặt \( x=ky \). Thay vào phương trình trên ta được : \( 2k^2y^2+4y^2-6ky^2=0 \) \(\Leftrightarrow 2y^2(k^2-3k+2)=0 \;\;\;\;\; (1) \) Thay vào hệ ta được: \(\left\{\begin{matrix} x^2=3\\ x^2=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow\) vô lý ( loại )
Từ phương trình \( (1) \Rightarrow k^2+3k-2 =0 \) \(\Leftrightarrow (k-1)(k-2)=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} k=1\\ k=2 \end{array}\right.\) Nếu \( k=1 \) thay vào hệ phương trình ta được : \(\left\{\begin{matrix} 0=3\\0=1 \end{matrix}\right. \Rightarrow\) vô lý ( loại ) Nếu \( k=2 \) thay vào hệ phương trình ta được : \(\left\{\begin{matrix} 3y^2=3\\y^2=1 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow y^2=1 \Leftrightarrow y=\pm 1\) Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm là \( (x;y) =(2;1) ; (-2;-1) \) Giải hệ phương trình đẳng cấp bậc 2Hệ phương trình đẳng cấp bậc \( 2 \) là hệ phương trình có dạng : \(\left\{\begin{matrix} a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=d_1\\ a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2 \end{matrix}\right.\) Đây là dạng toán thường gặp trong phần hệ phương trình đẳng cấp lớp 9 thi tuyển sinh THPT. Để giải dạng bài này thì ngoài cách trên ta có thể sử dụng một cách khác như sau :
Ví dụ: Giải hệ phương trình : \(\left\{\begin{matrix} 2x^2-xy-y^2=8\\ x^2+xy-3y^2=3 \end{matrix}\right.\) Cách giải: Hệ phương trình đã cho tương đương với : \(\left\{\begin{matrix} 2x^2-xy-y^2=8\\ 2x^2+2xy-6y^2=6 \end{matrix}\right.\) Trừ hai vế hai phương trình ta được : \( 5y^2-3xy =2 \)
\(\left\{\begin{matrix} 2x^2=8\\x^2=3 \end{matrix}\right. \Rightarrow\) vô lý ( loại )
\(x= \frac{5y^2-2}{3y}\) Thay vào phương trình thứ nhất ta được: \(2.(\frac{5y^2-2}{3y})^2-y.\frac{5y^2-2}{3y}-y^2=8\) \(\Leftrightarrow 2(25y^4-20y^2+4)-3y^2(5y^2-2)-9y^4=72y^2\) \(\Leftrightarrow 26y^4 -106y^2+8=0\) \(\Leftrightarrow 2(y^2-4)(13y^2-1) =0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y^2=4\\y^2=\frac{1}{13} \end{array}\right.\) Thay vào ta được : hệ phương trình đã cho có \( 4 \) cặp nghiệm : \((x;y)= (3;2);(-3;-2); (-\frac{111}{2197};\frac{1}{13});(\frac{111}{2197};-\frac{1}{13})\) Hệ phương trình đẳng cấp lớp 10Trong chương trình toán 10 thì bài toán hệ phương trình sẽ nâng cao hơn, đòi hỏi học sinh cần có thêm một vài kĩ năng biến đổi để xử lý. Dạng bài biến đổi hệ phương trình về dạng hệ phương trình đẳng cấpTrong những bài toán này, hệ phương trình ban đầu bài toán đưa ra sẽ không phải là những phương trình đẳng cấp. Nhưng chúng ta sẽ biến đổi, đặt ẩn phụ để đưa hệ đã cho trở thành hệ phương trình đẳng cấp Ví dụ: Giải hệ phương trình : \(\left\{\begin{matrix} x^2-y^2+2y=9\\ x^2+xy+y^2-x-2y=12 \end{matrix}\right.\) Cách giải: Ta sẽ biến đổi để đưa phương trình trên về dạng phương trình đẳng cấp Phương trình đã cho tương đương với : \(\left\{\begin{matrix} x^2-(y^2-2y+1)=8\\ x^2+x(y-1)+(y^2-2y+1)=13\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-(y-1)^2=8\\ x^2+x(y-1)+(y-1)^2=13 \end{matrix}\right.\) Đặt \( z=y+1 \), phương trình đã cho trở thành : \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2-z^2=8\\ x^2+xz+z^2=13 \end{matrix}\right. \;\;\;\;\; (1) \) Đây là phương trình đẳng cấp bậc \( 2 \) với hai ẩn \( x;z \) Hệ phương trình trên tương đương với : \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 13x^2-13z^2=104\\ 8x^2+8xz+8z^2=104 \end{matrix}\right.\) Trừ hai vế của hai phương trình ta được : \(5x^2-8xz-21z^2=0\) Đặt \( x=tz \). Thay vào ta được : \( z^2(5t^2-8t-21) =0 \) Nếu \( z=0 \) thay vào hệ \( (1) \) ta được : \(\left\{\begin{matrix} x^2=8\\ x^2=13 \end{matrix}\right. \Rightarrow\) vô lý ( loại ) Nếu \( z \neq 0 \) thì ta có : \( 5t^2-8t-21 =0 \) \(\Leftrightarrow (5t+7)(t-3)=0\) \(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t=3\\t=-\frac{5}{7} \end{array}\right.\) Nếu \( t=3 \) , thay vào ta được : \(8z^2=8 \Leftrightarrow z= \pm 1\) \(\left[\begin{array}{l} z=1 \Rightarrow x=3; y=2\\ z=-1 \Rightarrow x=-3; y=0\end{array}\right.\) Nếu \( t=-\frac{5}{7} \) thay vào ta được : \(-\frac{24}{49}z^2=8\Leftrightarrow z^2=-\frac{49}{3}\Rightarrow\) vô lý ( loại ) Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm là \( (x;y) = ( 3;2) ; (-3;0) \) Dạng bài hệ phương trình có một phương trình đẳng cấpĐây là những hệ phương trình mà trong đó có một phươn trình có dạng \( f(x;y) =0 \) với \( f \) là phương trình hai ẩn \( x;y \) có bậc bằng nhau Để giải bài toán này thì từ phương trình đẳng cấp đó, chúng ta đặt \( x=ky \), giải ra \( k \) rồi thay vào phương trình thứ hai, tìm ra \( x;y \) Ví dụ: Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x^2-3xy+2y^2=0\\ \sqrt{5x-y}-x=1 \end{matrix}\right.\) Cách giải: ĐKXĐ: \( y \leq 5x \) Dễ thấy nếu \( y=0 \) thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Vậy \( y \neq 0 \) Đặt \( x=ky \). Thay vào phương trình đầu tiên ta được : \( y^2(k^2-3k+2) =0 \) Do \( y \neq 0 \) nên \(\Rightarrow k^2-3k+2=0\) \(\Leftrightarrow (k-1)(k-2)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} k=1\\k=2 \end{array}\right.\) Nếu \( k=1 \) thay vào phương trình dưới ta được : \(2y-y=1\Leftrightarrow y=1\) và \( x=1 \) Nếu \( k=2 \) thay vào phương trình dưới ta được : \(3y-2y=1\Leftrightarrow y=1\) và \( x=2 \) Vậy phương trình đã cho có hai cặp nghiệm \( (x;y) = (1;1) ; (2;1) \) Dạng bài hệ phương trình có tích hai vế đẳng cấpĐây là những hệ phương trình có dạng: \(\left\{\begin{matrix} f_1(x;y)=f_2(x;y)\\g_1(x;y)=g_2(x;y) \end{matrix}\right.\) với \( f_1;f_2;g_1;g_2 \) là các hàm số đẳng cấp thỏa mãn: Bậc của \( f_1.g_1 \) bằng bậc của \( f_2.g_2 \) Để giải hệ phương trình này , ta nhân từng vế của hệ để được một phương trình đẳng cấp: \( f_1(x;y).g_1(x;y) =f_2(x;y).g_2(x;y) \) Đến đây ta đặt \( x=ky \), thay vào giải ra \( k \). Sau đó thay \( k \) vào hệ phương trình ban đầu giải ra \( x;y \) Ví dụ: Giải hệ phương trình : \(\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=3\\ x^3+2y^3-2x-y=0 \end{matrix}\right.\) Cách giải: Hệ phương trình đã cho tương đương với : \(\left\{\begin{matrix} x^2+xy+y^2=3\\ x^3+2y^3=2x+y \end{matrix}\right.\) Nhân chéo hai vế của hệ phương trình ta được : \( (2x+y)(x^2+xy+y^2) = 3(x^3+2y^3) \) \(\Leftrightarrow x^3-3x^2y-3xy^2+5y^3=0\) Dễ thấy nếu \( y=0 \) thì hệ đã cho vô nghiệm. Vậy nên \( y \neq 0 \) Đặt \( x=ky \) . Thay vào phương trình trên ta được : \( y^3(k^3-3k^2-3k+5)=0 \) Do \( y\neq 0 \) nên \( k^3-3k^2-3k+5=0 \) \(\Leftrightarrow (k-1)(k^2-2k-5)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}k=1 \\ k=1-\sqrt{6}\\ k=1+\sqrt{6}\end{array}\right.\)
\(3y^2=3 \Leftrightarrow y^2=1 \Rightarrow x=y=1\) hoặc \( x=y=-1 \)
\(y^2\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=3 \Leftrightarrow y^2=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\) Vậy ta có hai cặp nghiệm : \((x;y)= (\frac{1-\sqrt{6}}{\sqrt{3-\sqrt{6}}};\frac{1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}});(\frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}};\frac{-1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}})\)
\(y^2\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=3 \Leftrightarrow y^2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) Vậy ta có hai cặp nghiệm: \((x;y)= (\frac{1+\sqrt{6}}{\sqrt{3+\sqrt{6}}};\frac{1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}});(-\frac{1+\sqrt{6}}{\sqrt{3-\sqrt{6}}};-\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt{6}}})\) Vậy phương trình đã cho có 6 cặp nghiệm thỏa mãn: \( (x;y)=(1;1);(-1;-1); (\frac{1-\sqrt{6}}{\sqrt{3-\sqrt{6}}};\frac{1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}});(\frac{\sqrt{6}-1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}};\frac{-1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}});(\frac{1+\sqrt{6}}{\sqrt{3+\sqrt{6}}};\frac{1}{\sqrt{3-\sqrt{6}}});(-\frac{1+\sqrt{6}}{\sqrt{3-\sqrt{6}}};-\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt{6}}}) \) Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải hệ phương trình đẳng cấp. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chủ đề hệ phương trình đẳng cấp. Chúc bạn luôn học tốt!. Xem thêm: Tu khoa lien quan:
Please follow and like us:
|
