Phương trình đường tròn là một phần kiến thức của chương trình hình học lớp 10. Nhìn chung, phần kiến thức này khá đơn giản, dễ hiểu, do vậy, bạn cần để tâm 1 chút là có thể nắm vững. Bài viết này, Boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn phần lý thuyết, các công thức và cách giải các dạng bài tập về phương trình đường tròn một cách đầy đủ, ngắn gọn, chi tiết và dễ hiểu.
Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R là:
(x – a)2 – (y – b)2 = R2
Nếu a2 + b2 – c > 0 thì phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn tâm I(a;b), bán kính:
Nếu a2 + b2 – c = 0 thì chỉ có 1 điểm M(x; y) thoả mãn phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
Nếu a2 + b2 – c < 0 thì không có điểm M(x; y) nào thoả mãn phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho điểm Mo(xo; yo) nằm trên đường tròn (C) tâm I(a; b). Gọi ∆ là tiếp tuyến với (C) tại Mo có phương trình:
Các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1: Nhận dạng một phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn.
Dạng 2: Lập phương trình đường tròn
Cách 1:
- Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C)
- Tìm bán kính R của (C)
- Viết phương trình (C) theo dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1)
Chú ý:
- (C) đi qua A, B ⇔ IA2 = IB2 = R2.
- (C) đi qua A và tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d(I, ∆).
- (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2
⇔ d(I, ∆1) = d(I, ∆2) = R
Cách 2:
- Gọi phương trình đường tròn (C) là x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (2)
- Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ba ẩn số là: a, b, c
- Giải hệ phương trình tìm a, b, c để thay vào (2), ta được phương trình đường tròn (C)
Dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm Mo(xo;yo) thuộc đường tròn (C)
- Tìm tọa độ tâm I(a,b) của đường tròn (C)
- Phương trình tiếp tuyến với (C) tại Mo(xo;yo) có dạng:
Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến của ∆ với (C) khi chưa biết tiếp điểm: dùng điều kiện tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I, bán kính R ⇔ d (I, ∆) = R
Trên đây là những kiến thức cơ bản của phương trình đường tròn. Nếu bạn có thắc mắc gì về các kiến thức này, hãy comment bên dưới bài viết này nhé!
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 10 bài viết Viết phương trình đường tròn, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 10.
Nội dung bài viết Viết phương trình đường tròn: Viết phương trình đường tròn. Phương pháp giải. Cách 1: Tìm toạ độ tâm I(a; b) của đường tròn (C). Tìm bán kính R của đường tròn (C). Viết phương trình của (C) theo dạng. Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C). Từ điều kiện của đề bài thành lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c. Giải hệ để tìm a, b, c từ đó tìm được phương trình đường tròn (C). (C) tiếp xúc với đường thẳng A tại IA = d(I) = R. (C) tiếp xúc với hai đường thẳng A và A. Các ví dụ. Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn trong môi trường hợp sau: a) Có tâm I(1; -5) và đi qua O(0; 0). b) Nhận AB làm đường kính với A(1; 1), B(7; 5). c) Đi qua ba điểm: M(-2, 4), P(6; -2). Lời giải: a) Đường tròn cần tìm có bán kính là OI = 1 + 5 = V26 nên có phương trình là (x – 1) + (y + 5) = 26. b) Gọi I là trung điểm của đoạn AB suy ra (4; 3). Đường tròn cần tìm có đường kính là AB suy ra nó nhận I(4; 3) làm tâm và bán kính R = AI = 13 nên có phương trình là (1 – 4) + (y – 3) = 13. c) Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng do đường tròn đi qua ba điểm M, N, P nên ta có hệ phương trình. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: a + 2 – 43 – 29 – 20 = 0. Nhận xét: Đối với ý c) ta có thể làm theo cách sau: Gọi I (c; g) và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm. Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau: a) (C) có tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng A: 1 – 2 + 7 = 0. b) (C) đi qua A(2; -1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox và Og. c) (C) có tâm nằm trên đường thẳng d: 0 – 6g – 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình d: 32 + 4y + 5 = 0 và d : 40 – 34 – 5 = 0. Lời giải: a) Bán kính đường tròn (C) chính là khoẳng cách từ 1 tới đường thẳng A nên phương trình đường tròn (C). b) Vì điểm A nằm ở góc phần tư thứ tư và đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm của đường tròn có dạng I(R; -3) trong đó R là bán kính đường tròn (C). Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu bài vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K. a) Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d, nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính R suy ra. Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình. Ví dụ 3: Cho hai điểm A(3; 0) và B(0; 6). a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.
Lời giải: a) Ta có tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền AB suy ra bán kính R = IA = (8 – 4) + (0 – 3) = 5. Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là 25. b) Ta có OA = 8; OB = 6; AB mặt khác vì cùng bằng diện tích tam giác ABC dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của đường tròn có tọa độ là (2; 2). Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là 4. Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: V30 + y = 0, và d. Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc d với d’ tại A, cắt d tại hai điểm B, C sao cho tam giác ABC vuông tại B. d. Viết phương trình của (C), biết tam giác ABC có diện tích bằng và điểm A có hoành độ dương.
Trong chương trình học cấp bậc phổ thông lớp 10 thì đường tròn là kiến thức khá quan trọng, đặc biệt rất nhiều em gặp khó khăn khi giải phương trình đường tròn. Do đó, Góc hạnh phúc sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về lý thuyết, công thức phương trình đường tròn và đưa ra một số bài tập có lời giải chi tiết để các em hiểu rõ hơn, và có thể giải quyết mọi bài toán khác nhau.
>>Xem thêm
Khái niệm đường tròn
Đường tròn hay được gọi là vòng tròn là tập hợp những điểm cùng nằm trên một mặt phẳng, và cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó. Trong đó điểm cho trước chính là tâm đường tròn, còn khoảng cho trước chính là bán kính đường tròn
Công thức phương trình đường tròn
Công thức phương trình đường tròn tổng quát
Cho đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R
Công thức phương trình đường tròn là bình phương bán kính bằng tổng bình phương của hiệu (x – a) và (y – b)
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
Trong đó tâm I toàn độ a và b và bán kính R là:
Phương trình đường tròn có thể viết dưới dạng là:
x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
Trong đó: c = a2 + b2 – R2
Hoặc phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a2 + b2 – c > 0
=> Khi đó phương trình đường tròn trên có tâm I(a; b), và bán kính
Công thức phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho một đường tròn có điểm I0 (x0; y0) cùng nằm trên đường tròn tâm O (a; b)
Gọi ∆ là tiếp tuyến với đường tròn tại I0
Từ đó ta có I0 thuộc ∆ và vecto OI0 = (x0 – a; y0 – b) là vecto pháp tuyến của ∆
=> Công thức phương trình tiếp tuyến đường tròn là:
(x0 – a) (x – x0) + (y0 – b) (y – y0) = 0
Bài tập có lời giải về phương trình đường tròn
Bài tập 1: Cho đường cong (Cm): x2 + y2 – 4mx – 8(m – 4)y + 18 – m = 0. Hãy tìm điều kiện của m để (Cm) là phương trình đường tròn
Lời giải
Để (Cm) là phương trình đường tròn ta có: m2 + [4(m – 4)]2 – ( 18 – m) > 0
<=> m2 + 16m2 – 256m + 256 – 18 + m > 0
<=> 17m2 – 255m + 238 > 0
<=> m2 – 15m + 14 > 0
<=> m < 1 ᴗ m > 2
Bài tập 2: Cho (Cα) là x2 + y2 – 2xcosα – 2ysinα + cos2α = 0 (với α ≠ kᴨ). Chứng minh rằng (Cα) là đường tròn
Lời giải
Để (Cα) là đường tròn ta có: cos2α + sin2α – cos2α > 0
VT = cos2α + sin2α – cos2α
= 1 – cos2α
= 2sin2α > 0 (với α ≠ kᴨ)
Chú ý: nếu α = kᴨ thì đường tròn là 1 điểm
Bài tập 3: lập phương trình đường tròn (C) biết tâm O(2; 4) và đi qua điểm I(0; 0)
Lời giải
Ta có R = IO , mà vecto IO = √22 + √42 = √20
=> Đường tròn © có tâm O(2; 4) và bán kính R = √20 có phương trình đường tròn là: (x – 2)2 + (y – 4)2 = 20
Như vậy, trên đây là toàn bộ kiến thức về phương trình đường tròn. Hy vọng sau khi đọc bài viết này các em sẽ nắm vững lý thuyết, công thức phương trình đường tròn và có thể giải mọi bài toán nâng cao.