So sánh m 1995 3 1 1995 2-1994 năm 2024
- 1. ÔN THI VÀO LỚP 6 MÔN TOÁN CHUYÊN ĐỀ 1:số và chữ số i. kiến thức cần ghi nhớ 1. dùng 10 chữ số để viết số là: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9. 2. có 10 số có 1 chữ số: (từ số 0 đến số 9) có 90 số có 2 chữ số: (từ số 10 đến số 99) có 900 số có 3 chữ số: (từ số 100 đến 999) … 3. số tự nhiên nhỏ nhất là số 0. không có số tự nhiên lớn nhất. 4. hai số tự nhiên liên tiếp hơn (kém) nhau 1 đơn vị. 5. các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 gọi là số chẵn. hai số chẵn liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. 6. các số có chữ số tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9 gọi là số lẻ. hai số lẻ liên tiếp hơn (kém) nhau 2 đơn vị. ii. Bài tập Bài 1: cho 4 chữ số 2, 3, 4, 6. a) có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số trên? đó là những số nào? b) có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau được viết từ 4 chữ số trên? hãy viết tất cả các số đó? Bài giải a) lập bảng sau ta được: hàng trăm hàng chục hàng đơn vị viết được số 2 3 4 234 2 3 6 236 2 4 3 243 2 4 6 246 2 6 3 263 2 6 4 264 nhận xét: mỗi chữ số từ 4 chữ số trên ở vị trí hàng trăm ta lập được 6 số có 3 chữ số khác nhau. vởy có tất cả các số có 3 chữ số khác nhau là: 6 x 4 = 24 (số). b) tương tự phần (a) ta lập được: 4 x 6 = 24 ( số)
- 2. là: 2346; 2364; 2436 ; 2463; 2643; 2634; 3246; 3264; 3426; 3462; 3624; 3642; 4236; 4263; 4326; 4362; 4623; 4632; 6243;6234; 6432; 6423. CHUYÊN ĐỀ 2: Bốn phép tính với số tự nhiên, phân số và số thập phân a. phép cộng 1. kiến thức cần ghi nhớ 1. a + b = b + a 2. (a + b) + c = a + (b + c) 3. 0 + a = a + 0 = a 4. (a - n) + (b + n) = a + b 5. (a - n) + (b - n) = a + b - n x 2 6. (a + n) + (b + n) = (a + b) + n x 2 7. nếu một số hạng được gấp lên n lần, đồng thời các số hạng còn lại được giữ nguyên thì tổng đó được tăng lên một số đúng bằng (n - 1) lần số hạng được gấp lên đó. 8. nếu một số hạng bị giảm đi n lần, đồng thời các số hạng còn lại được giữ nguyên thì tổng đó bị giảm đi một số đúng bằng (1 - n 1 ) số hạng bị giảm đi đó. 9. trong một tổng có số lượng các số hạng lẻ là lẻ thì tổng đó là một số lẻ. 10. trong một tổng có số lượng các số hạng lẻ là chẵn thì tổng đó là một số chẵn. 11. tổng của các số chẵn là một số chẵn. 12. tổng của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ. 13. tổng của hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ. 2. Bài tập Bài 1: tính nhanh: a) 4823 + 1560 + 5177 + 8440 b) 10556 + 8074 + 9444 + 926 + 1000 c) 576 + 789 + 467 + 111 Bài 2: tính nhanh: a) 5 9 7 9 5 6 13 19 13 7 7 5 + + + + + b) 10000 4000 1000 300 100 20 10 1 + + + c, 11 10 11 9 11 8 11 7 11 6 11 5 11 4 11 3 11 2 11 1 + + + + + + + + + d) 21 20 21 19 21 18 21 17 ... 21 5 21 4 21 3 21 2 21 1 + + + + + + + + + Bài 3: tính nhanh: a) 21,251+ 6,058 + 0,749 + 1,042 b)1,53 + 5,309 + 12,47 + 5,691 c) 1,83 + 0,38 + 0,1+ 4,62 + 2,17+ 4,9 d) 2,9 + 1,71 + 0,29 + 2,1 + 1,3 b. phép trừ
- 3. cần ghi nhớ 1. a - (b + c) = (a - c) - b = (a - c) - b 2. nếu số bị trừ và số trừ cùng tăng (hoặc giảm) n đơn vị thì hiệu của chúng không đổi. 3. nếu số bị trừ được gấp lên n lần và giữ nguyên số trừ thì hiệu được tăng thêm một số đúng bằng (n -1) lần số bị trừ. (n > 1). 4. nếu số bị trừ giữ nguyên, số trừ được gấp lên n lần thì hiệu bị giảm đi (n - 1) lần số trừ. (n > 1). 5. nếu số bị trừ được tăng thêm n đơn vị, số trừ giữ nguyên thì hiệu tăng lên n đơn vị. 6. nếu số bị trừ tăng lên n đơn vị, số bị trừ giữ nguyên thì hiệu giảm đi n đơn vị. ii. Bài tập Bài 1: tính nhanh: a) 32 - 13 - 17 b) 45 - 12 - 5 - 23 c) 1732 - 513 - 732 d) 2834 - 150 - 834 Bài 2: tính nhanh: a) 31 3 28 19 31 34 − − b) 13 5 46 55 13 18 − + c) 3 4 5 11 3 7 − + d) − − − 9 5 25 2 9 4 25 27 Bài 3: tính nhanh: a) 21,567 - 9,248 - 7,752 b) 56,04 - 31,85 - 10,15 c) 8,275 - 1,56 - 3,215 d) 18,72 - 9,6 - 3,72 - 0,4 Bài 4: tính nhanh: a) 46,55 + 20,33 + 25,67 b) 20 - 0,5 - 1,5 - 2,5 - 3,5 - 4,5 - 5,5 Bài 5: tìm hai số có hiệu là 23, biết rằng nếu giữ nguyên số trừ và gấp số bị trừ lên 3 lần thì được hiệu là 353. Bài 6: tìm hai số có hiệu là 383, biết rằng nếu giữ nguyên số bị trừ và gấp số trừ lên 4 lần thì được hiệu mới là 158. Bài 7: hiệu của hai số tự nhiên là 4441, nếu viết thêm một chữ số 0 vào bên phải số trừ và giữ nguyên số bị trừ thì được hiệu mới là 3298. Bài 8: hiệu của hai số tự nhiên là 134. viết thêm một chữ số vào bên phải của số bị trừ và giữ nguyên số trừ thì hiệu mới là 2297. tìm chữ số viết thêm và hai số đó. Bài 9: hiệu của hai số là 3,58. nếu gấp số trừ lên 3 lần thì được số mới lớn hơn số bị trừ là 7,2. tìm hai số đó. Bài 10: hiệu của hai số là 1,4. nếu tăng một số lên 5 lần và giữ nguyên số kia thì được hai số có hiệu là 145,4. tìm hai số đó.
- 4. giáo bảo an lấy một số tự nhiên trừ đi một số thập phân có một chữ số ở phần thập phân. an đã biến phép trừ đó thành phép trừ hai số tự nhiên nên được hiệu là 433. biết hiệu đúng là 671,5. hãy tìm số bị trừ và số trừ ban đầu. Bài 12: hiệu hai số là 3,8. nếu gấp số trừ lên hai lần thì được số mới hơn số bị trừ là 4,9. tìm hai số đã cho. Bài 13: trong một phép trừ, nếu giảm số bị trừ 14 đơn vị và giữ nguyên số trừ thì được hiệu là 127, còn nếu giữ nguyên số bị trừ và gấp số trừ lên 3 lần thì được hiệu bằng 51. tìm số bị trừ và số trừ. Bài 14: hiệu của 2 số là 45,16. nếu dịch chuyển dấu phảy của số bị trừ sang bên trái một hàng rồi lấy số đó trừ đi số trừ ta được 1,591. tìm 2 số ban đầu. Bài 15: hai số thập phân có hiệu bằng 9,12. nếu rời dấu phảy của số bé sang phải một hàng rồi cộng với số lớn ta được 61,04. tìm 2 số đó. Bài 16: hai số có hiệu là 5,37. nếu rời dấu phẩy của số lớn sang trái một hàng rồi cộng với số bé ta được 11,955. tìm 2 số đó. Bài 17: khi thực hiện một phép trừ một số có 3 chữ số với một số có 1 chữ số, một bạn đã đặt số trừ dưới cột hàng trăm của số bị trừ nên tìm ra hiệu là 486. tìm hai số đó, biết hiệu đúng là 783. Bài 18: một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6,8m. nếu ta bớt mỗi chiều đi 0,2m thì chu vi mới gấp 6 lần chiều rộng mới. tính diện tích mảnh vườn ban đầu. bai 19: cho một số tự nhiên và một số thập phân có tổng là 265,3. khi lấy hiệu 2 số đó, một bạn lại quên mất chữ số 0 tận cùng của số tự nhiên nên hiệu tìm được là 9,7. tìm 2 số đã cho. Bài 20: thay các chữ a, b, c bằng các chữ số thích hợp trong mỗi phép tính sau: (mỗi chữ khác nhau được thay bởi mỗi chữ số khác nhau) biết a + b = 11. Uooir3.c.phép nhân i. kiến thức cần nhớ 1. a x b = b x a 2. a x (b x c) = (a x b) x c 3. a x 0 = 0 x a = 0 4. a x 1 = 1 x a = a
- 5. (b + c) = a x b + a x c 6. a x (b - c) = a x b - a x c 7. trong một tích nếu một thừa số được gấp lên n lần đồng thời có một thừa số khác bị giảm đi n lần thì tích không thay đổi. 8. trong một tích có một thừa số được gấp lên n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được gấp lên n lần và ngược lại nếu trong một tích có một thừa số bị giảm đi n lần, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích cũng bị giảm đi n lần. (n > 0) 9. trong một tích, nếu một thừa số được gấp lên n lần, đồng thời một thừa số được gấp lên m lần thì tích được gấp lên (m x n) lần. ngược lại nếu trong một tích một thừa số bị giảm đi m lần, một thừa số bị giảm đi n lần thì tích bị giảm đi (m x n) lần. (m và n khác 0) 10. trong một tích, nếu một thừa số được tăng thêm a đơn vị, các thừa số còn lại giữ nguyên thì tích được tăng thêm a lần tích các thừa số còn lại. 11. trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số chẵn thì tích đó chẵn. 12. trong một tích, nếu có ít nhất một thừa số tròn chục hoặc ít nhất một thừa số có tận cùng là 5 và có ít nhất một thừa số chẵn thì tích có tận cùng là 0. 13. trong một tích các thừa số đều lẻ và có ít nhất một thừa số có tận cùng là 5 thì tích có tận cùng là 5. ii. Bài tập Bài 1: tính nhanh: a. 8 x 4 x 125 x 25 d. 500 x 3,26 x 0,02 b. 2 x 178 x 5 e. 0,5 x 0,25 x 0,2 x 4 c. 2,5 x 16,27 x 4 g. 2,7 x 2,5 x 400 Bài 2: tính nhanh: a) 6 5 7 3 6 5 7 4 x x + c) 5 3 9 7 5 8 9 7 x x − b) 12 3 9 4 4 1 9 5 x x + d) 2005 1 4 3 4 3 2005 2006 x x − Bài 3: tính bằng cách thuận tiện nhất: a) 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 x x x x b) 2 9 3 8 4 7 5 6 6 5 7 4 8 3 9 2 10 1 x x x x x x x x Bài 4: tính nhanh: a) 32,4 x 6,34 + 3,66 x 32,4 c) 17,2 x 8,55 + 0,45 x 17,2 + 17,2 c) 0,6 x 7 + 1,2 x 45 + 1,8 d) 2,17 x 3,8 - 3,8 x 1,17 Bài 5: tính nhanh: a) (81,6 x 27,3 - 17,3 x 81,6) x (32 x 11 - 3200 x 0,1 - 32)
- 6. 0.48 x 5) x (42,75 : 3 + 2,9) x (1,8 x 5 - 0,9 x 10) c) (792,81 x 0,25 + 792,81 x 0,75) x (11,9 - 900 x 0,1 - 9) Bài 6: tìm tích của 2 số, biết rằng nếu giữ nguyên thừa số thứ nhất và tăng thừa số thứ 2 lên 4 lần thì được tích mới là 8400. Bài 7: tìm 2 số có tích bằng 5292, biết rằng nếu giữ nguyên thừa số thứ nhất và tăng thừa số thứ hai thêm 6 đơn vị thì được tích mới bằng 6048. Bài 8: tìm 2 số có tích bằng 1932, biết rằng nếu giữ nguyên một thừa số và tăng một thừa số thêm 8 đơn vị thì được tích mới bằng 2604. Bài 9: trong một phép nhân có thừa số thứ hai là 64, khi thực hiện phép nhân một người đã viết các tích riêng thẳng cột với nhau nên kết quả tìm được là 870. tìm tích đúng của phép nhân? Bài 10: khi nhân 254 với số có 2 chữ số giống nhau, bạn bình đã đặt các tích riêng thẳng cột như trong phép cộng nên tìm ra kết quả so với tích đúng giảm đi 16002 đơn vị. hãy tìm số có 2 chữ số đó. Bài 11: toàn thực hiện một phép nhân có thừa số thứ 2 là một số có 1 chữ số nhưng toàn đã viết lộn ngược thừa số thứ 2 này. vì thế tích tăng lên 432 đơn vị. tìm phép tính toàn phải thực hiện. Bài 12: khi nhân một số với 4,05 một học sinh thực hiện phép nhân này do sơ xuất đã đặt các tích riêng thẳng cột với nhau nên tích tìm được là 45,36. hãy tìm phép nhân đó. Bài 13: khi thực hiện phép nhân 983 với một số có 3 chữ số, bạn bình đã đặt tích riêng thứ hai thẳng cột với tích riêng thứ ba nên được kết quả là 70776. em hãy tìm thừa số có ba chữ số chưa biết trong phép nhân trên, biết chữ số hàng trăm hơn chữ số hàng chục là 1 đơn vị. Bài 14: khi nhân 32,4 với một số có hai chữ số, bạn minh đã sơ ý đặt tích riêng thứ hai thẳng cột với tích riêng thứ nhất nên tích tìm được là 324. hãy tìm tích đúng của phép nhân đó, biết thừa số chưa biết có chữ số hàng đơn vị bằng 2 3 chữ số hàng chục. Bài 15: khi nhân một số có ba chữ số với số có hai chữ số, một bạn đã đặt tích riêng thẳng cột nên kết qủa so với tích đúng bị giảm đi 3429 đơn vị. hãy tìm tích đúng, biết tích đúng là một số lẻ vừa chia hết cho 5, vừa chia hết cho 9. Bài 16: một học sinh khi nhân một số với 1007 đã quên viết hai chữ số 0 của số 1007 nên kết quả tìm được so với tích đúng bị giảm đi 3153150 đơn vị. tìm số đó. Bài 17: khi nhân một số có ba chữ số với 207 một học sinh đã đặt tính như sau:
- 7. quả là 3861. tìm tích đúng của phép nhân đó. Bài 18: tìm hai số có tích bằng 30618. biết rằng thừa số thứ nhất là 23. nếu giảm thừ số thứ nhất 2 đơn vị và tăng thừa số thứ hai lên 2 đơn vị thì tích sẽ tăng lên 20 đơn vị. hãy tìm tích của hai số đó. Bài 19: một hình chữ nhật nếu giảm chiều dài đi 25% chiều dài thì chiều rộng phải thay đổi như thế nào để diện tích của hình không thay đổi? Bài 20: một học sinh khi nhân 784 với một số có ba chữ số thì được tích là 25280. a) làm thế nào để biết kết quả trên là sai? b) phép tính trên sai vì học sinh đó đã viết tích riêng thứ ba thẳngcột với tích riêng thứ hai. hỏi số nhân sẽ là bao nhiêu? biết chữ số hàng trăm của số nhân lớn hơn chữ số hàng chục của nó là 2 đơn vị. Bài 21: tìm 2 số, biết tổng gấp 5 lần hiệu và bằng 6 1 tích của chúng. Bài 22: tìm 2 số, biết tổng gấp 3 lần hiệu và bằng nửa tích của chúng. Bài 23: tìm hai số đó biết tích của hai số đó gấp 4,2 lần tổng của hai số và tổng lại gấp 5 lần hiệu của hia số. Bài 24: không tính tổng, hãy biến đổi tổng sau thành tích có 2 thừa số. a) 462 + 273 + 315 + 630 b) 209 + 187 + 726 + 1078 c) 5555 + 6767 + 7878 d) 1997,1997 + 1998,1998 + 1999,1999 Bài 25: so sánh a và b biết: a. a = 73 x 73 b = 72 x 74 b. a = 1991 x 1999 b = 1995 x 1995 c. a = 198719871987 x 1988198819881988 b = 198819881988 x 1987198719871987 d. a = 19,91 x 19,99 b = 19,95 x 19,95 d. phép chia i. kiến thức cần ghi nhớ
- 8. (b x c) = a : b : c = a : c : b (b, c > 0) 2. 0 : a = 0 (a > 0) 3. a : c - b : c = ( a - b) : c (c > 0) 4. a : c + b : c = (a + b) : c (c > 0) 5. trong phép chia, nếu số bị chia tăng lên (giảm đi) n lần (n > 0) đồng thời số chia giữ nguyên thì thương cũng tăng lên (giảm đi) n lần. 6. trong một phép chia, nếu tăng số chia lên n lần (n > 0) đồng thời số bị chia giữ nguyên thì thương giảm đi n lần và ngược lại. 7. trong một phép chia, nếu cả số bị chia và số chia đều cùng gấp (giảm) n lần (n > 0) thì thương không thay đổi. 8. trong một phép chia có dư, nếu số bị chia và số chia cùng được gấp (giảm) n lần (n > 0) thì số dư cũng được gấp (giảm ) n lần. ii. Bài tập Bài 1: tính nhanh: a) 1875 : 2 + 125 : 2 b) 20,48 : 3,2 + 11,52 : 3,2 c) 62,73 : 8,4 + 21,27 : 8,4 d) 43,3 : 2,6 - 19,3 : 2,6 Bài 2: tính nhanh: a) (82 - 41 x 2) : 36 x (32 + 17 + 99 - 81 + 1) b) (m : 1 - m x 1) : (m x 2005 + m + 1) c) (30 : 7,5 + 0,5 x 3 - 1,5) x (4,5 - 9 : 2) d) (4,5 x 16 - 1,7) : (4,5 x 15 + 2,8) Bài 3: nam làm một phép chia có dư là số dư lớn nhất có thể có. sau đó nam gấp cả số bị chia và số chia lên 3 lần. ở phép chia mới này, số thương là 12 và số dư là 24. tìm phép chia nam thực hiện ban đầu? Bài 4: số a chia cho 12 dư 8. nếu giữ nguyên số chia thì số a phải thay đổi như thế nào để thương tăng thêm 2 đơn vị và phép chia không có dư? Bài 5: một số chia cho 18 dư 8. để phép chia không còn dư và thương giảm đi 2 lần thì phải thay đổi số bị chia như thế nào? Bài 6: nếu chia số bị chia cho 2 lần số chia thì ta được 6. nếu ta chia số bị chia cho 3 lần số thương thì cũng được 6. tìm số bị chia và số chia trong phép chia đầu tiên. Bài 7: nếu chia số bị chia cho 2 lần số chia thì ta được 0,6. nếu ta chia số bị chia cho 3 lần số thương thì cũng được 0,6. tìm số bị chia và số chia trong phép chia đầu tiên? Bài 8: một phép chia có thương là 6, số dư là 3. tổng số bị chia, số chia và số dư bằng 195. tìm số bị chia và số chia?
- 9. 2 số, lấy số lớn chia cho số nhỏ được thương là 7 và số dư lớn nhất có thể có được là 48. tìm 2 số đó. Bài 10: tìm thương của phép chia, biết nó bằng 6 1 số bị chia và gấp 3 lần số chia. Bài 11: tìm thương của 2 số biết rằng số lớn gấp 5 lần thương và thương bằng 3 lần số nhỏ. Bài 12: hiệu 2 số là 33. lấy số lớn chia cho số nhỏ được thương là 3 và số dư là 3. tìm 2 số đó. e. tính giá trị của biểu thức i. kiến thức cần ghi nhớ 1. biểu thức không có dấu ngoặc đơn chỉ có phép cộng và phép trừ (hoặc chỉ có phép nhân và phép chia) thì ta thực hiện các phép tính theo thứ tự từ trái sang phải. ví dụ: 542 + 123 - 79 482 x 2 : 4 = 665 - 79 = 964 : 4 = 586 = 241 2. biểu thức không có dấu ngoặc đơn, có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia thì ta thực hiện các phép tính nhân, chia trước rồi thực hiện các phép tính cộng trừ sau. ví dụ: 27 : 3 - 4 x 2 = 9 - 8 = 1 3. biểu thức có dấu ngoặc đơn thì ta thực hiện các phép tính trong ngoặc đơn trước, các phép tính ngoài dấu ngoặc đơn sau ví dụ: 25 x (63 : 3 + 24 x 5) = 25 x (21 + 120) =25 x 141 =3525 ii. Bài tập Bài 1: tính: a. 70 - 49 : 7 + 3 x 6 b. 4375 x 15 + 489 x 72 c. (25915 + 3550 : 25) : 71 d. 14 x 10 x 32 : (300 + 20) Bài 2: tính: a) (85,05 : 27 + 850,5) x 43 - 150,97 b) 0,51 : 0,17 + 0,57 : 1,9 + 4,8 : 0,16 + 0,72 : 0,9 Bài 3: viết dãy số có kết quả bằng 100: a) với 5 chữ số 1. b) với 5 chữ số 5.
- 10. dãy tính: 128 : 8 x 16 x 4 + 52 : 4. hãy thêm dấu ngoặc đơn vào dãy tính đó sao cho: a) kết quả là nhỏ nhất có thể? b) kết quả là lớn nhất có thể ? Bài 5: hãy điền thêm dấu ngoặc đơn vào biểu thức sau: a = 100 - 4 x 20 - 15 + 25 : 5 a) sao cho a đạt giá trị lớn nhất và giá trị lớn nhất là bao nhiêu? b) sao cho a đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất đó là bao nhiêu? Bài 6: tìm giá trị số tự nhiên của a để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất , giá trị nhỏ nhất đó là bao nhiêu? a = (a - 30) x (a - 29) x …x (a - 1) Bài 7: tìm giá trị của số tự nhiên a để biểu thức sau có giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhất đó là bao nhiêu? a = 2006 + 720 : (a - 6) Bài 8: tính giá trị của biểu thức m x 2 + n x 2 + p x 2, biết: a) m = 2006, n = 2007, p = 2008 b) m + n + p = 2009 Bài 9: tính giá trị của biểu thức m, với a = 119 và b = 0, biết: m = b: (119 x a + 2005) + (119 : a - b x 2005) Bài 10: tính giá trị biểu thức: a) ( ) . 5 , 12 25 , 0 98 , 12 25 9 2 11 4 23 : 7 , 8 7 10 17 + + − − + b) 17 2 2 9 7 3 2 5 2 5 24 2 1 c) 2 17 2 1 24 1 5 5 2 3 9 7 x 2 d) 3 x 14 11 : 14 3 3 1 7 1 − + . e) 7 3 : 5 4 10 7 1 10 1 1 5 1 2 5 3 1 − + + Bài 11: tính giá trị của biểu thức: a) 11 2 5 11 10 5 1 4 7 6 6 1 1 5 3 : 6 + − b) − − + − − + + + 6 1 4 1 : 5 1 4 1 3 1 2 1 15 1 10 1 6 1 : 15 1 10 1 6 1 c) − − + − − + + + 6 1 4 1 : 5 1 4 1 3 1 2 1 15 1 10 1 6 1 : 15 1 10 1 6 1 d) 5 2 3 1 5 49 17 20 7 4 1 15 3 + + +
- 11. + + + + 24 8 4 9 6 1 : % 75 % 65 , 0 % 35 4 1 Bài 12: tính: a) 2 1 1 1 1 1 1 + + − b) 1 2 1 1 1 1 1 + + + c) 3 1 2 1 1 + + d) 4 1 1 1 1 2 + + + e) 3 2 2 1 1 1 + + + Bài 13: thực hiện các phép tính sau: 2 1 7 : 528 2 1 70 10 1 2 1 4 18 7 2 : 180 7 2 1 2 5 2 1 84 13 ) − + − a 4 1 11 : 9 50 1 100 19 8 100 81 11 9 8 20 13 16 10 9 18 4 1 1 100 29 100 9 1 ) + + − − b Bài 14: tìm y: y + − − + 4 3 2 1 1 2 : 5 1 1 5 4 2 7 4 1 1 5 2 2 4 1 : 4 3 3 = 64
- 12. số tự nhiên n sao cho: 126 25 : 21 100 11 54 27 121 n Bài 16: tìm x là số tự nhiên biết: a) 204 60 17 = x b) 11 7 33 6 = + x c) 3 2 43 12 = − + x x d) 7 3 5 x e) 2 11 1 x g) 52 46 16 26 15 = + x
- 13. Dãy số i. kiến thức cần ghi nhớ 1. đối với số tự nhiên liên tiếp : a) dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu là số chẵn kết thúc là số lẻ hoặc bắt đầu là số lẻ và kết thúc bằng số chẵn thì số lượng số chẵn bằng số lượng số lẻ. b) dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số chẵn và kết thúc bằng số chẵn thì số lượng số chẵn nhiều hơn số lượng số lẻ là 1. c) dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu bằng số lẻ và kết thúc bằng số lẻ thì số lượng số lẻ nhiều hơn số lượng số chẵn là 1. 2. một số quy luật của dãy số thường gặp: a) mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng hoặc trừ một số tự nhiên d. b) mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân hoặc chia một số tự nhiên q (q > 1). c) mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng hai số hạng đứng liền trước nó. d) mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng các số hạng đứng liền trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy. e) mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy. f) mỗi số hạng bằng số thứ tự của nó nhân với số thứ tự của số hạng đứng liền sau nó......... 3. dãy số cách đều: a) tính số lượng số hạng của dãy số cách đều: số số hạng = (số hạng cuối - số hạng đầu) : d + 1 (d là khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp) ví dụ: tính số lượng số hạng của dãy số sau: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …, 94, 97, 100. ta thấy: 4 - 1 = 3 7 - 4 = 3 10 - 7 = 3 ... 97 - 94 = 3 100 - 97 = 3 vậy dãy số đã cho là dãy số cách đều, có khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp là 3 đơn vị. nên số lượng số hạng của dãy số đã cho là: (100 - 1) : 3 + 1 = 34 (số hạng) b) tính tổng của dãy số cách đều:
- 14. tổng của dãy số 1, 4, 7, 10, 13, …, 94, 97, 100 là: 2 34 ) 100 1 ( x + = 1717 ii. Bài tập Bài 1: viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: a) 1, 3, 4, 7, 11, 18, … d) 1, 4, 7, 10, 13, 16, … b) 0, 3, 7, 12, … e) 0, 2, 4, 6, 12, 22, … c) 1, 2, 6, 24, …. g) 1, 1, 3, 5, 17, … Bài 2: viết tiếp 2 số hạng vào dãy số sau: a) 10, 13, 18, 26, … k) 1, 3, 3, 9, 27, … b) 0, 1, 2, 4, 7, 12, … l) 1, 2, 3, 6, 12, 24,… c) 0, 1, 4, 9, 18, … m) 1, 4, 9, 16, 25, 36, … d) 5, 6, 8, 10, … o) 2, 12, 30, 56, 90, … e) 1, 6, 54, 648, … p) 1, 3, 9, 27, … g) 1, 5, 14, 33, 72, … q) 2, 6, 12, 20, 30, … h) 2, 20, 56, 110, 182,…. t) 6, 24, 60, 120, 210,.. Bài 3: tìm số hạng đầu tiên của dãy sau. biết mỗi dãy có 10 số hạng: a) ..., 17, 19, 21, ... b) ..., 64, 81, 100, .... Bài 4: tìm 2 số hạng đầu của các dãy số, trong mỗi dãy đó có 15.: a) ..., 39, 42, 45, .... b) ..., 4, 2, 0. c) ..., 23, 25, 27, 29, ... Bài 5: cho dãy số : 1, 4, 7, 10, ..., 31, 34, ... a) tìm số hạng thứ 100 trong dãy. b) số 2002 có thuộc dãy này không? Bài 6: cho dãy số : 3, 18, 48, 93, 153, ... a) tìm số hạng thứ 100 của dãy. b) số 11703 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy? Bài 7: cho dãy số : 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ... ; 108,9 ; 110,0 . a) dãy số này có bao nhiêu số hạng? b) số hạng thứ 50 của dãy là số nào? Bài 8: hãy cho biết : a) các số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100, … hay không? b) số 1996 thuộc dãy 2, 5, 8, 11,… hay không? c) số nào trong các số 666, 1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24, … ? hãy giải thích tại sao?
- 15. dãy số 1, 7, 13, 19, 25, … hãy cho biết các số: 351, 400, 570, 686, 1975 có thuộc dãy số đã cho hay không? Bài 10: cho dãy số tự nhiên liên tiếp 1, 2, 3, 4, ..., 1999. hỏi dãy số đó có bao số hạng? Bài 11: cho dãy số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8, 10, ..., 2468. hỏi dãy có: a) bao nhiêu số hạng? b) bao nhiêu chữ số? Bài 12: cho dãy số 1, 5, 9, 13, ..., 2005. hỏi: a) dãy số có bao nhiêu số hạng? b) dãy số có bao nhiêu chữ số? Bài 13: hãy tính tổng của các dãy số sau: a) 4, 9, 14, 19, 24, …, 999. b) 1, 5, 9, 13, 17, …biết dãy số có 80 số hạng. c) ..., 17, 27, 44, 71, 115. biết dãy số có 8 số hạng. Bài 14: tính nhanh: a) tính tổng các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 1995. b) tính tổng của 100 số tự nhiên đầu tiên. Bài 15: tính nhanh: a) 1,27 + 2,77 + 4,27 + 5,77 + 7,27 + … + 13,27 + 14,77 b) 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + … + 0,9 + 0,10 + 0,11 + 0,12 + … + 0,19. c) 10,11 + 11,12 + 12,13 + 13,14 + …+ 97,98 + 98,99 + 99,100 . Bài 16: để đánh số trang sách của một cuốn sách dày 220 trang, người ta phải dùng bao nhiêu lượt chữ số? Bài 17: trong một kỳ thi có 327 thí sinh dự thi. hỏi người ta phải dùng bao nhiêu lượt chữ số để đánh số báo danh cho các thí sinh dự thi? bai 18: để đánh số thứ tự các trang sách của sách giáo khoa toán 4, người ta phải dùng 216 lượt các chữ số. hỏi cuốn sách đó dày bao nhiêu trang? Bài 19: trong một kỳ thi học sinh giỏi lớp 5, để đánh số báo danh cho các thí sinh dự thi người ta phải dùng 516 lượt chữ số. hỏi kỳ thi đó có bao nhiêu thí sinh tham dự? Bài 20: cho dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1983 được viết theo thứ tự liền nhau như sau: 12345678910111213…19821983. hãy tính tổng của tất cả các chữ số vừa viết. Bài 21: cho dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 1995. hỏi trong dãy số đó có: a) bao nhiêu chữ số 1? b) bao nhiêu chữ số 5? Bài 22: khi viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 500. hỏi phải sử dụng bao nhiêu chữ số 5? Bài 23: cho dãy số: a) 1, 2, 3, 4, 5, …, x. tìm x biết dãy có 1989 chữ số. b) 1, 2, 3, 4, 5, ... , x. tìm x để số chữ số của dãy gấp 2 lần số số hạng.
- 16. 3, 4, 5, ... , x. tìm x để số chữ số của dãy gấp 3 lần số số hạng. Bài 24: cho dãy số 10, 11, 12, 13, …, x. tìm x để tổng của dãy số trên bằng 5106. Bài 25: cho dãy số: 0, 2, 4, 6, 8, ...., x. tìm x để số chữ số của dãy số gấp 2 lần số số hạng. Bài 26: cho dãy số: 0, 1, 2, 3, 4, …, x. tìm x để số chữ số của dãy gấp 3 lần số số hạng. Bài 27: tính: a) 1- 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - 8 + 9. b) 1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11 + … + 91 - 93 + 95 - 97 + 99. c) 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + …+ 98 - 99 - 100 + 101 Bài 28: tính giá trị biểu thức sau bằng cách hợp lí: b = 1,3 - 3,2 + 5,1-7 + 8,9 - 10,8 + …+ 35,5 - 37,4 + 39,3 - 41,2 + 43,1
- 17. Dấu hiệu chia hết i. kiến thức cần ghi nhớ 1. những số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2. 2. những số có tân cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5. 3. các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3. 4. các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9. 5. các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4 thì chia hết cho 4. 6. các số có hai chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 25 thì chia hết cho 25. 7. các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 8 thì chia hết cho 8. 8. các số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 125 thì chia hết cho 125. 9. a chia hết cho m, b cũng chia hết cho m (m > 0) thì tổng a + b và hiệu a- b (a > b) cũng chia hết cho m. 10. cho một tổng có một số hạng chia cho m dư r (m > 0), các số hạng còn lại chia hết cho m thì tổng chia cho m cũng dư r. 11. a chia cho m dư r, b chia cho m dư r thì (a - b) chia hết cho m ( m > 0). 12. trong một tích có một thừa số chia hết cho m thì tích đó chia hết cho m (m >0). 13. nếu a chia hết cho m đồng thời a cũng chia hết cho n (m, n > 0). đồng thời m và n chỉ cùng chia hết cho 1 thì a chia hết cho tích m x n. ví dụ: 18 chia hết cho 2 và 18 chia hết cho 9 (2 và 9 chỉ cùng chia hết cho 1) nên 18 chia hết cho tích 2 x 9. 14. nếu a chia cho m dư m - 1 (m > 1) thì a + 1 chia hết cho m. 15. nếu a chia cho m dư 1 thì a - 1 chia hết cho m (m > 1). ii. Bài tập Bài 1: từ 3 chữ số 0, 1, 2. hãy viết tất cả các số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 2. Bài 2: viết tất cả các số chia hết cho 5 có 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số 0, 1, 2 , 5. Bài 3: em hãy viết vào dấu * ở số 86* một chữ số để được số có 3 chữ số và là số: a) chia hết cho 2 b) chia hết cho 3 c) chia hết cho 5 d) chia hết cho 9 e) chia hết cho cả 2 và 5 g) chia hết cho cả 3 và 9 Bài 4: hãy tìm các chữ số x, y sao cho y x8 17 chia hết cho 5 và 9. Bài 5: tìm x, y để y x765 chia hết cho 3 và 5. Bài 6: tìm x và y để số xy 1996 chia hết cho 2, 5 và 9. Bài 7: tìm a và b để b a3 56 chia hết cho 36.
- 18. tất cả các chữ số a và b để phân số 45 83 1 b a là số tự nhiên. Bài 9: tìm x để 5 2 37 x + chia hết cho 3. Bài 10: tìm a và b để số b a391 chia hết cho 9 và chia cho 5 dư 1. Bài 11: tìm tất cả các số có 3 chữ số khác nhau abc, biết: 3 2 7 = b ac . Bài 12: cho số y x1 5 . hãy tìm x và y để được số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 2, 3 và chia cho 5 dư 4. Bài 13: cho y x A 036 = . tìm x và y để a chia cho 2, 5 và 9 đều dư 1. Bài 14: tìm một số có 4 chữ số chia hết cho 2, 3 và 5, biết rằng khi đổi vị trí các chữ số hàng đơn vị với hàng trăm hoặc hàng chục với hàng nghìn thì số đó không đổi. Bài 15: tìm tất cả các số có 3 chữ số, biết rằng: mỗi số đó chia hết cho 5 và khi chia mỗi số đó cho 9 ta được thương là số có 3 chữ số và không có dư. Bài 16: hãy viết thêm 2 chữ số vào bên phải số 283 để được một số mới chia hết cho 2, 3 và 5. Bài 17: tìm số có 4 chữ số chia hết cho 5, biết rằng khi đọc ngược hay đọc xuôi số đó đều không thay đổi giá trị. Bài 18: tìm số có 3 chữ số, biết rằng số đó chia cho 5 dư 3, chia cho 2 dư 1, chia cho 3 thì vừa hết và chữ số hàng trăm của nó là 8. Bài 19: tìm một số lớn hơn 80, nhỏ hơn 100, biết rằng lấy số đó cộng với 8 rồi chia cho 3 thì dư 2. nếu lấy số đó cộng với 17 rồi chia cho 5 thì cũng dư 2. Bài 20: tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3, 4, 5 đều dư 1 và chia cho 7 thì không dư. Bài 21: hãy viết thêm 2 chữ số vào bên phải và một chữ số vào bên trái số 45 để được số lớn nhất có 5 chữ số thoả mãn tính chất chia số đó cho 4 dư 3, chia cho 5 dư 4, chia cho 9 dư 8. Bài 22: tìm tất cả các số có hai chữ số khi chia cho 2 dư 1, chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 4. Bài 23: tìm một số có 5 chữ số chia hết cho 25, biết rằng khi đọc các chữ số của số đó theo thứ tự ngược lại hoặc khi đổi chữ số hàng đơn vị với chữ số hàng trăm thì số đó không thay đổi. Bài 24: tìm số abc(với c khác 0), biết số abc chia hết cho 45 và 396 = − cba abc . Bài 25: cho a là số tự nhiên có 3 chữ số. viết các chữ số của a theo thứ tự ngược lại ta được số tự nhiên b. hỏi hiệu của 2 số đó có chia hết cho 3 hay không? vì sao? Bài 26: tìm một số tự nhiên nhỏ nhất khác 1, sao cho khi chia số đó cho 2, 3, 4, 5 và 7 đều dư 1. Bài 27: tìm các chữ số a, b, c sao cho 9 8 7 c b a chia hết cho 1001.
- 19. a chia cho 4 dư 3, chia cho 9 dư 8. hỏi a chia cho 36 dư bao nhiêu? Bài 29: một số chia cho 11 dư 5, chia cho 12 dư 6. hỏi số đó chia cho 132 thì dư bao nhiêu? Bài 30: số chia cho 6 dư 5, chia cho 5 dư 4 . hỏi số a chia cho 30 thì dư bao nhiêu? Bài 31: hãy chứng tỏ hiệu giữa số có dạng 1 1ab và số được viết bởi các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chia hết cho 90. Bài 32: với các chữ số a, b, c và a > b. hãy chứng tỏ rằng baba abab− chia hết cho 9 và 101. Bài 33: biết số a được viết bởi 54 chữ số 9. hãy tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà cộng số này với a ta được số chia hết cho 45. Bài 34: tìm số có 4 chữ số, biết rằng nếu đem số đó chia cho 131 thì dư 18, chia cho 132 thì dư 3. Bài 35: cho m chia cho 5 dư 2, n chia cho 5 dư 3 và p = 2003 x m + 2004 x n. tính xem p chia cho 5 dư mấy? Bài 36: chia a cho 45 dư 17. chia a cho 15 thì thương thay đổi như thế nào? Bài 37: cho 3 tờ giấy. xé mỗi tờ giấy thành 4 mảnh. lấy một số mảnh và xé mỗi mảnh thành 4 mảnh nhỏ sau đó lại lấy một số mảnh nhỏ, xé mỗi mảnh thành 4 mảnh nhỏ … khi ngừng xé, theo quy luật trên người ta đếm được 1999 mảnh lớn nhỏ cả thảy. hỏi người ấy đếm đúng hay sai? vì sao? Bài 38: hai bạn minh và nhung đi mua 9 gói bánh và 6 gói kẹo. nhung đưa cho cô bán hàng hai tờ giấy bạc loại 50000 đồng và cô trả lại 36000 đồng. minh nói ngay: “cô tính sai rồi!”. bạn hãy cho biết minh nói đúng hay sai? giải thích tại sao? (biết rằng giá tiền mỗi gói bánh và mỗi gói kẹo là một số nguyên đồng). Bài 39: cho một tam giác abc. nối điểm chính giữa các cạch của tam giác với nhau và cứ tiếp tục như vậy (như hình vẽ). sau một số lần vẽ, bạn minh đếm được 2003 tam giác, bạn thông đếm được 2004 tam giác. theo em bạn nào đếm đúng, bạn nào đếm sai? Bài 40: một cửa hàng rau quả có 5 rổ đựng cam và chanh (mỗi rổ chỉ đựng một loại quả). số quả trong mỗi rổ lần lượt là: 104, 115, 132, 136 và 148 quả. sau khi bán được một rổ cam, người bán hàng thấy rằng: số chanh còn lại gấp 4 lần số cam. hỏi cửa hàng đó có bao nhiêu quả mỗi loại? Bài 41: có 30 que, độ dài mỗi que theo thứ tự là: 1cm, 2cm, 3cm, …, 30cm. độ dài mỗi que không thay đổi, hỏi có thể xếp các que đó để: a) được một hình vuông không? b) được một hình chữ nhật không? Bài 42: an có 6 hộp ngòi bút: hộp đựng 15 ngòi, hộp đựng 16 ngòi, hộp đựng 18 ngòi, hộp đựng 19 ngòi, hộp đựng 20 ngòi, hộp đựng 31 ngòi. an đã cho hoà một số hộp, cho bình một số …
- 20. an đã cho hết 5 hộp. tính ra số ngòi bút mà an đã cho bình bằng 2 1 số bút mà an cho hoà. a) hỏi an còn lại hộp ngòi bút nào? b) bình được an cho những hộp ngòi bút nào? Bài 43: một cửa hàng có 6 hòm xà phòng gồm: hòm 18kg, hòm 19kg, hòm 21kg, hòm 22kg, hòm 23kg và hòm 34kg bán trong một ngày hết 5 hòm. biết rằng khối lượng xà phòng bán buổi sáng gấp đôi buổi chiều. hỏi cửa hàng còn lại hòm xà phòng nào? Bài 44: một cửa hàng bán vải có 7 tấm vải gồm 2 loại: vải hoa, vải xanh. số vải trong mỗi tấm lần lượt là: 24m, 26m, 37m, 41m, 54m, 55m và 58m. sau khi bán hết 6 tấm vải chỉ còn 1 tâm vải xanh. người bán hàng thấy rằng trong số vải đã bán vải xanh gấp 3 lần vải hoa. hỏi cửa hàng đó có bao nhiêu mét vải? Bài 45: hãy tìm số a, biết rằng ta thêm vào số a là 12 đơn vị rồi đem tổng tìm được chia cho 5 thì dư 2, nếu thêm vào số a là 19 đơn vị rồi đem tổng chia cho 6 thì dư 1, chia cho 7 dư 5 và số a lớn hơn 200 và nhỏ hơn 300. Bài 46: chứng tỏ rằng không thể thay mỗi chữ cái trong phép tính sau bằng chữ số thích hợp để được một phép tính đúng: Bài 47: một người viết liên tiếp nhóm chữ toquocvietnam thành dãy toquocvietnam toquocvietnam … a) chữ cái thứ 1996 trong dãy là chữ gì? b) người ta đếm được trong dãy đó có 50 chữ t thì dãy đó có bao nhiêu chữ o? bao nhiêu chữ i? c) bạn an đếm được trong dãy có 2007 chữ o. hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai? vì sao? d) người ta tô màu vào các chữ cái trong dãy trên theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím, vàng, …hỏi chữ cái thứ 2007 được tô màu gì? Bài 48: một người viết liên tiếp nhóm chữ chamhocchamlam thành dãy chamhocchamlam chamhocchamlam … a) chữ cái thứ 1000 trong dãy là chữ gì? hochochoc + taptaptap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 hochochoc - taptaptap 1 2 3 4 5 6 7 1
- 21. đếm được trong dãy đó có 1200 chữ h thì dãy đó có bao nhiêu chữ a? c) bạn bình đếm được trong dãy có 2008 chữ c. hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai? vì sao ? Bài 49: vĩnh nói vói phúc “ mình nghĩ ra 2 số tự nhiên liên tiếp, trong đó có một số chia hết cho 9. tổng 2 số đó là một số có đặc điểm như sau: - có 3 chữ số. - chia hết cho 5. - tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là một số chia hết cho 9. - tổng chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục là một số chia hết cho 4.” phúc nói thầm với vĩnh hai số mà vĩnh đã nghĩ và vĩnh công nhận là đúng. bạn có tìm được như phúc không? Bài 50: một bác nông dân có tổng số gà và vịt không quá 80 con. biết số gà gấp 5 lần số vịt. nếu bác nông dân mua thêm 3 con vịt thì số gà sẽ gấp 4 lần số vịt. hỏi bác nông dân có bao nhiêu con gà và vịt? Bài 51: trên bàn cô giáo có 5 chồng sách, mỗi chồng một loại sách tiếng việt hoặc toán. số quyển sách của mỗi chồng lần lượt là 17 quyển, 11 quyển, 12 quyển, 26 quyển và 14 quyển. sau khi cô giáo lấy đi một chồng để phát cho các em học sinh thì số sách trong 4 chồng còn lại có số sách toán gấp 3 lần sách tiếng việt. hỏi trong các chồng còn lại có bao nhiêu sách mỗi loại? Bài 52: số nào phù hợp với các điều kiện sau: - không phải là số lẻ. - nhỏ hơn 90. - chia cho 3 dư 1. - có hai chữ số giống nhau. Bài 53: tìm số thoả mãn điều kiện sau: - số có 4 chữ số. - là số nhỏ nhất. - cùng chia hết cho 2 và 5. - tổng các chữ số bằng 18. Bài 54: cho các số tự nhiên từ 1 đến 100. hỏi có bao nhiêu số: a) chia hết cho 2? b) không chia hết cho 2? Bài 55: cho các số tự nhiên từ 1 đến 100. hỏi có bao nhiêu số: a) chia hết cho 5? b) không chia hết cho 5? Bài 56: cho các số tự nhiên từ 1 đến 100. hỏi có bao nhiêu số: a) chia hết cho 3? b) không chia hết cho 3? Bài 57: cho các số tự nhiên từ 1 đến 100. hỏi có bao nhiêu số: a) chia hết cho 9? b) không chia hết cho 9?
- 22. Các Bài toán dùng chữ thay số i. kiến thức cần nhớ 1. sử dụng cấu tạo thập phân của số 1.1. phân tích làm rõ chữ số ab = a x 10 + b abc = a x 100 + b x 10 + c ví dụ: cho số có 2 chữ số, nếu lấy tổng các chữ số cộng với tích các chữ số của số đã cho thì bằng chính số đó. tìm chữ số hàng đơn vị của số đã cho. Bài giải bước 1 (tóm tắt Bài toán) gọi số có 2 chữ số phải tìm là ab (a > 0, a, b < 10) theo Bài ra ta có ab = a + b + a x b bước 2: phân tích số, làm xuất hiện những thành phần giống nhau ở bên trái và bên phải dấu bằng, rồi đơn giản những thành phần giống nhau đó để có biểu thức đơn giản nhất. a x 10 + b = a + b + a x b a x 10 = a + a x b (cùng bớt b) a x 10 = a x (1 + b) (một số nhân với một tổng) 10 = 1 + b (cùng chia cho a) bước 3: tìm giá trị : b = 10 - 1 b = 9 bước 4 : (thử lại, kết luận, đáp số) vậy chữ số hàng đơn vị của số đó là: 9. đáp số: 9 1.2. phân tích làm rõ số ab = 0 a + b abc = 00 a + 0 b + c abcd = 00 a + 00 b + 0 c + d = 00 ab + cd ... ví dụ : tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm số 21 vào bên trái số đó thì ta được một số lớn gấp 31 lần số cần tìm.
- 23. gọi số phải tìm là ab (a > 0, a, b < 0) khi viết thêm số 21 vào bên trái số ab ta được số mới là ab 21 . theo Bài ra ta có: ab 21 = 31 x ab bước 2: 2100 + ab = 31 x ab (phân tích số ab 21 = 2100 + ab ) 2100 + ab= (30 + 1) x ab 2100 + ab = 30 x ab + ab (một số nhân một tổng) 2100 = ab x 30 (cùng bớt ab ) bước 3: ab = 2100 : 30 ab = 70. bước 4: thử lại 2170 : 70 = 31 (đúng) vậy số phải tìm là: 70 đáp số: 70. 2. sử dụng tính chất chẵn lẻ và chữ số tận cùng của số tự nhiên 2.1. kiến thức cần ghi nhớ - số có tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 là số chẵn. - số có tận cùng là: 1, 3, 5, 7, 9 là các số lẻ. - tổng (hiệu) của 2 số chẵn là một số chẵn. - tổng (hiệu ) của 2 số lẻ là một số chẵn. - tổng (hiệu) của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ. - tổng của hai số tự nhiên liên tiếp là một số lẻ. - tích có ít nhất một thừa số chẵn là một số chẵn. - tích của a x a không thể có tận cùng là 2, 3, 7 hoặc 8. 2.2.ví dụ: tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 6 lần chữ số hàng đơn vị của nó. Bài giải cách 1: bước 1: gọi số phải tìm là ab (0 < a < 10, b < 10). theo đề Bài ta có: ab = 6 x b bước 2: sử dụng tính chất chẵn lẻ hoặc chữ số tận cùng. vì 6 x b là một số chẵn nên ab là một số chẵn.
- 24. nên b = 2, 4, 6 hoặc 8. bước 3: tìm giá trị bằng phương pháp thử chọn nếu b = 2 thì ab = 6 x 2 = 12. (chọn) nếu b = 4 thì ab= 6 x 4 = 24. (chọn) nếu b = 6 thì ab= 6 x 6 = 36. (chọn) nếu b = 8 thì ab= 6 x 8 = 48. (chọn) bước 4: vậy ta được 4 số thoả mãn đề Bài là: 12, 24, 36, 48. đáp số: 12, 24, 36, 48. cách 2: bước 1: gọi số phải tìm là ab (0 < a < 10, b < 10) theo đề Bài ta có: ab = 6 x b bước 2: xét chữ số tận cùng vì 6 x b có tận cùng là b nên b chỉ có thể là: 2, 4, 6 hoặc 8. bước 3: tìm giá trị bằng phương pháp thử chọn nếu b = 2 thì ab = 6 x 2 = 12 (chọn) nếu b = 4 thì ab= 6 x 4 = 24 (chọn) nếu b = 6 thì ab= 6 x 6 = 36 (chọn) nếu b = 8 thì ab= 6 x 8 = 48 (chọn) bước 4: vậy ta được 4 số thoả mãn đề Bài là: 12, 24, 36, 48. đáp số: 12, 24, 36, 48. 3. sử dụng kỹ thuật tính khi thực hiện phép tính 3.1. một số kiến thức cần ghi nhớ trong phép cộng, nếu cộng hai chữ số trong cùng một hàng thì có nhớ nhiều nhất là 1, nếu cộng 3 chữ số trong cùng một hàng thì có nhớ nhiều nhất là 2, … 3.2. ví dụ ví dụ 1: tìm abc = ab + bc + ca Bài giải abc = ab + bc + ca abc = (ab +ca ) + bc (tính chất kết hợp và giao hoán của phép cộng) abc - bc = ab +ca (tìm một số hạng của tổng) 00 a = aa + ca ta đặt tính như sau: aa + cb
- 25. đặt tính ta thấy phép cộng có nhớ sang hàng trăm. mà đây là phép cộng hai số hạng nên hàng trăm của tổng chỉ có thể bằng 1. vậy a = 1. với a = 1 thì ta có: 100 = 11 + cb cb = 100 - 11 cb = 89 vậy c = 8 ; b = 9. ta có số abc= 198. thử lại: 19 + 98 + 81 = 198 (đúng) vậy abc= 198. đáp số: 198. ví dụ 2: tìm số có 4 chữ số, biết rằng nếu xoá đi chữ số ở hàng đơn vị và hàng chục thì số đó sẽ giảm đi 1188 đơn vị. Bài giải bước 1: (tóm tắt) gọi số phải tìm là abcd (a > 0; a, b, c, d < 10) khi xoá đi cd ta được số mới là ab theo đề Bài ra ta có: abcd = 1188 + ab bước 2 : (sử dụng kĩ thuật tính) ta đặt tính như sau: trong phép cộng, khi cộng 2 chữ số trong cùng một hàng thì có nhớ nhiều nhất là 1 nên abchỉ có thể là 11 hoặc 12. - nếu ab = 11 thì abcd = 1188 + 11 = 1199. - nếu ab = 12 thì abcd = 1188 + 12 = 1200. bước 3: (kết luận và đáp số) vậy ta tìm được 2 số thoả mãn đề Bài là: 1199 và 1200. đáp số: 1199 và 1200. 4. xác định giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của một số hoặc một biểu thức: 1188 + ab abcd
- 26. kiến thức càn ghi nhớ - một số có 2; 3; 4; … chữ số thì tổng các chữ số có giá trị nhỏ nhất là 1 và giá trị lớn nhất lần lượt là: 9 x 2 = 18; 9 x 3 = 27; 9 x 4 = 36; … - trong tổng (a + b) nếu thêm vào a bao nhiêu đơn vị và bớt đi ở b bấy nhiêu đơn vị (hoặc ngược lại) thì tổng vẫn không thay đổi. do đó nếu (a + b) không đổi mà khi a đạt giá trị lớn nhất có thể thì b sẽ đạt giá trị nhỏ nhất có thể và ngược lại. giá trị lớn nhất của a và b phải luôn nhỏ hơn hoặc bằng tổng (a + b). - trong một phép chia có dư thì số chia luôn lớn hơn số dư. 4.2. ví dụ: tìm số có 2 chữ số, biết rằng nếu số đó chia cho chữ số hàng đơn vị của nó thì được thương là 6 và dư 5. Bài giải bước 1: (tóm tắt) gọi số phải tìm là ab (0 < a < 10, b < 10) theo đề Bài ra ta có: ab: b = 6 (dư 5) hay ab = b x 6 + 5. bước 2: (xác định giá trị lớn nhất nhỏ nhất). số chia luôn lớn hơn số dư nên b > 5 vậy 5 < b < 10. nếu b đạt giá trị lớn nhất là 6 thì ab đạt giá trị nhỏ nhất là 6 x 6 + 5 = 41. suy ra a nhỏ hơn hoặc bằng 5. vậy a = 4 hoặc 5. +) nếu a = 4 thì b 4 = b x 6 + 5. +) nếu a = 5 thì b 5 = b x 6 + 5. bước 3: kết hợp cấu tạo thập phân của số +) xét b 4 = b x 6 + 5 40 + b = b x 6 + 5 35 + 5 + b = b x 5 + b + 5 35 = b x 5 b = 35 : 5 = 7. ta được số: 47. +) xét b 5 = b x 6 + 5 50 + b = b x 6 + 5 45 + 5 + b = b x 5 + b + 5 45 = b x 5 b = 45 : 5 = 9 ta được số: 59.
- 27. lại, kết luận, đáp số) thử lại: 7 x 6 + 5 = 47 (chọn) 9 x 6 + 5 = 59 (chọn) vậy ta tìm được 2 số thoả mãn yêu cầu của đề Bài là: 47 và 59 đáp số: 47 và 59 5. tìm số khi biết mối quan hệ giữa các chữ số: ví dụ: tìm số có 3 chữ số, biét chữ số hàng trăm gấp đôi chữ số hàng chục, chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị. Bài giải gọi số phải tìm là abc(0 < a < 10; b, c < 10). vì a = 2 x b và b = 3 x c nên a = 2 x 3 x c = 6 x c, mà 0 < a < 10 nên 0 < 6 x c < 10. suy ra 0 < c < 2. vậy c = 1. nếu c = 1 thì b = 1 x 3 = 3 a = 3 x 2 = 6 vậy số phải tìm là: 631. đáp số: 631 6. phối hợp nhiều cách giải: ví dụ: tìm số có 3 chữ số, biết rằng nếu số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì bằng 555. Bài giải gọi số phải tìm là abc (a > 0; a, b, c < 10). theo đầu Bài ta có: abc+ a + b + c = 555. nhìn vào biểu thức trên, ta thấy đây là phép cộng không có nhớ sang hàng trăm. vậy a = 5. khi đó ta có: bc 5 + 5 + b + c = 555 500 + bc + 5 + b + c = 555 505 + bb + c + c = 555 bb + c x 2 = 555 - 505 bb + c x 2 = 50 nếu c đạt giá trị lớn nhất là 9 thì bb đạt giá trị nhỏ nhất là : 50 - 9 x 2 = 32, do đó b > 2. vì bb + c x 2 = 50 nên bb < 50 nên b < 5. vì 2 < b < 5 nên b = 3 hoặc 4
- 28. 2 và 50 đều là số chẵn nên b phải là số chẵn. do đó b = 4. khi đó ta có: 44 + c x 2 = 50 c x 2 = 50 - 44 c x 2 = 6 c = 6 : 2 = 3 vậy abc= 543 thử lại 543 + 5 + 4 + 3 = 555 (đúng) vậy số phải tìm là: 543. đáp số: 543. ii. Bài tập Bài 1: tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 4 vào bên trái số đó, ta được một số gấp 9 lần số phải tìm. Bài 2: tìm một số có 2 chữ số, khi viết thêm chữ số 9 vào bên trái số đó ta được một số gấp 13 lần số phải tìm. Bài 3: tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được một số hơn số phải tìm 1112 đơn vị. Bài 4: tìm một số có 2 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được một số hơn số phải tìm 230 đơn vị. Bài 5: cho một số có 2 chữ số. nếu viết thêm chữ số 1 vào đằng trước và đằng sau số đó thì số đó tăng lên 21 lần. tìm số đã cho. Bài 6: tìm số có 4 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó ta được số lớn gấp 5 lần số nhận được khi ta viết thêm chữ số 1 vào bên trái số đó. Bài 7: cho số có 3 chữ số, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên phải số đó, viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó ta đều được số có 4 chữ số mà số này gấp 3 lần số kia. Bài 8: cho một số có 3 chữ số, nếu xoá đi chữ số hàng trăm thì số đó giảm đi 3 lần. tìm số đó. Bài 9: tìm một số có 4 chữ số, nếu xoá đi chữ số hàng nghìn thì số đó giảm đi 9 lần. Bài 10: tìm một số có 3 chữ số, nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục ta được một số lớn gấp 7 lần số đó. Bài 11: tìm một số có 3 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa chữ số hàng trăm và chữ số hàng chục thì ta được một số lớn gấp 6 lần số cần tìm. Bài 12: cho một số có 2 chữ số, nếu xen giữa 2 chữ số của số đó ta viết thêm chính số đó thì ta được một số có 4 chữ số gấp 99 lần số đã cho. hãy tìm số đó.
- 29. một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 xen giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị của số đó ta được số gấp 10 lần số cần tìm, nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số vừa nhận được thì số đó lại tăng lên 3 lần. Bài 14: tìm một số có 4 chữ số, biết rằng nếu xoá đi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó sẽ giảm đi 1188 đơn vị. Bài 15: tìm một số có 4 chữ số, biết rằng nếu xoá đi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì số đó sẽ giảm đi 4455 đơn vị. Bài 16: có 2 miếng bìa, mỗi miếng bìa viết một số có 2 chữ số, hiệu 2 số viết trên 2 miếng bìa là 25, ghép 2 miếng bìa lại ta được một số có 4 chữ số. tổng các số có 4 chữ số ghép được chia cho 101 ta được thương là71. tìm số viết trên mỗi miếng bìa. Bài 17: cho 2 số có 2 chữ số có tổng của 2 số đó bằng 35. ta đem số lớn ghép vào bên trái số nhỏ, rồi đem số lớn ghép vào bên phải số nhỏ thì được 2 số có 4 chữ số. hiệu 2 số có 4 chữ số đó là 1485. tìm 2 số đã cho. Bài 18: cho số có 4 chữ số, có chữ số hàng đơn vị là 8. nếu chuyển chữ số hàng đơn vị lên đầu thì sẽ được số mới lớn hơn số đã cho 4059 đơn vị. tìm số đã cho. Bài 19: tìm số có 6 chữ số, biết chữ số tận cùng là 4, nếu chuyển vị trí chữ số này từ cuối lên đầu nhưng không thay đổi thứ tự các chữ số còn lại thì ta được một số lớn gấp 4 lần số đã cho. Bài 20: tìm một số có 6 chữ số, biết rằng nếu chuyển vị trí từ hàng cao nhất xuống hàng thấp nhất nhưng không thay đổi thứ tự các chữ số còn lại thì ta được một số lớn gấp 3 lần số đã cho. Bài 21: cho số có 3 chữ số. nếu chuyển vị trí chữ số hàng trăm thành chữ số hàng đơn vị , không thay đổi vị trí các chữ số còn lại thì được một số mới bằng 4 3 số đã cho. tìm số đó. Bài 22: tìm số có 2 chữ số. nếu đổi vị trí các chữ số của số ấy ta được một số mới, số mới này đem chia cho số đã cho thì được thương là 3 và số dư là 13. Bài 23: tìm số có 4 chữ số. nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì vẫn được số đó. tổng các chữ số của số đó bằng 24. số gồm 2 chữ số bên trái lớn hơn số gồm 2 chữ số bên phải là 36. Bài 24: năm sinh của hai ông vũ hữu và lương thế vinh là một số có 4 chữ số, tổng các chữ số bằng 10. nếu viết năm sinh theo thứ tự ngược lại thì năm sinh không đổi. em hãy tìm năm sinh của hai ông. Bài 25: thế kỷ 20 dân tộc ta có 2 sự kiện lịch sử trọng đại. hai năm sảy ra sự kiện lịch sử trọng đại đó có các chữ số của năm này giống các chữ số của năm kia, chỉ khác nhau ở vị trí các chữ số ở hàng chục và hàng đơn vị. biết rằng tổng các chữ số ở 1 năm bằng 19 và
- 30. số hàng chục lên 3 đơn vị thì chữ số hàng chục gấp đôi các chữ số ở hàng đơn vị. em hãy tính xem hai năm đó là hai năm nào? Bài 26: tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tổng các chữ số của nó. Bài 27: tìm một số có 3 chữ số, biết rằng số đó gấp 11 lần tổng các chữ số của nó. Bài 28: tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 21 lần hiệu của chữ số hàng chục và hàng đơn vị. Bài 29: tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 21 lần tích các chữ số của nó. Bài 30: tìm một số có 2 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó. Bài 31: cho số có 2 chữ số, nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 5 và dư 12. tìm số đó. Bài 32: cho số có 2 chữ số, nếu lấy số đó chia cho hiệu các chữ số của nó thì được thương là 28 dư 1. tìm số đó. Bài 33: cho số có 2 chữ số, nếu lấy số đó chia cho hiệu của các chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì được thương là 26 dư 1. tìm số đó. Bài 34: cho số có 2 chữ số mà chữ số hàng chục chia hết cho chữ số hàng đơn vị. tìm số đã cho, biết rằng khi chia số đó cho thương của chữ số hang chục và hàng đơn vị thì được thương là 20 và dư 2. Bài 35: cho số có 2 chữ số, nếu lấy số đó chia cho tích các chữ số của nó thì được thương là 5 dư 2 và chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị. tìm số đó. Bài 36: tìm số có 4 chữ số, biết rằng số đó cộng với số có 2 chữ số tạo bởi chữ số hàng nghìn và hàng trăm và số có 2 chữ số tạo bởi chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó được tổng là 7968. Bài 37: tìm 2 số, biết rằng số lớn gấp 4 lần số nhỏ và nếu bớt 2 đơn vị ở số lớn và thêm 2 đơn vị vào số nhỏ thì được 2 số tròn chục. bai 38: cho một số có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị, nếu đổi vị trí các chữ số cho nhau thì số đó giảm đi 54 đơn vị. tìm số đó. Bài 39: cho một số có 2 chữ số, trong đó chữ số hàng chục bằng 3 1 chữ số hàng đơn vị. nếu đổi vị trí các chữ số cho nhau thì số đó tăng thêm 36 đơn vị. hãy tìm số đó. Bài 40: cho một số có 4 chữ số, chữ số hàng trăm gấp 2 lần chữ số hàng nghìn, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng nghìn nhưng nhỏ hơn chữ số hàng trăm. chữ số hàng đơn vị bằng tổng 3 chữ số trên. tìm số đó. Bài 41: tìm một số có 4 chữ số, biết rằng tích 2 chữ số ngoài cùng bằng 40, tích 2 chữ số ở
- 31. và chữ số hàng nghìn lớn hơn chữ số hàng chục bao nhiêu thì chữ số hàng đơn vị cũng hơn chữ số hàng trăm bấy nhiêu. Bài 42: tìm một số chẵn có 4 chữ số, biết số tạo nên bởi chữ số hàng trăm và hàng chục gấp 4 lần chữ số hàng đơn vị và gấp 3 lần chữ số hàng nghìn. Bài 43: tìm abcbiết: abcd - bcd x 2 = ac tìm abcbiết: a + ab + abc = bcb tìm abcd biết: dcba+ dcb + dc+ d = 4321 tìm abcd biết: abcd - abc- ab - a = 2086 Bài 44: tìm abcd biết: (ab x c + d) x d = 1977. Bài 45: cho một số có 5 chữ số mà tổng các chữ số ấy bằng 5. chữ số hàng vạn bằng số chữ số 0 có mặt trong số ấy. chữ số hàng nghìn bằng số chữ số 1, chữ số hàng trăm bằng số chữ số 2, chữ số hàng chục bằng số chữ số 3, chữ số hàng đơn vị bằng số chữ số 4 có mặt trong số ấy. tìm số đã cho.
- 32. Phân số - tỉ số phần trăm i. tính cơ bản của phân số 1. khi ta cùng nhân hoặc cùng chia cả tử và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên lớn hơn 1, ta đươc một phân số mới bằng phân số ban đầu. 2. vận dụng tính chất cơ bản của phân số: 2.1. rút gọn phân số b a = d c m b m a = : : (m > 1; a và b phải cùng chia hết cho m). d c được gọi là phân số tối giản khi c và d chỉ cùng chia hết cho 1 (hay c và d không cùng chia hết cho một số tự nhiên nào khác 1) - khi rút gọn phân số cần rút gọn đến phân số tối giản. ví dụ: rút gọn phân số 72 54 . cách làm: 4 3 18 : 72 18 : 54 72 54 = = . - rút gọn 1 phân số có thể được một phân số hay một số tự nhiên: ví dụ: rút gọn phân số 12 72 cách làm: 6 1 6 12 : 12 12 : 72 12 72 = = = . - đối với phân số lớn hơn 1 có thể viết dưới dạng hỗn số ví dụ: 4 3 2 14 41 = . 2.2. quy đồng mẫu số - quy đồng tử số: * quy đồng mẫu số 2 phân số: b a và b c (b, d 0 ) ta có: bxd axd b a = dxb cxb d c = ví dụ: quy đồng mẫu số 2 phân số 7 2 và 8 3 . ta có: 56 21 7 8 7 3 8 3 ; 56 16 8 7 8 2 7 2 = = = = x x x x trường hợp mẫu số lớn hơn chia hết cho mẫu số bé hơn thì mẫu số chung chính là mẫu số lớn hơn.
- 33. đồng mẫu số 2 phân số 3 1 và 6 5 cách làm: vì 6 : 3 = 2 nên 6 2 2 3 2 1 3 1 = = x x . chú ý: trước khi quy đồng mẫu số cần rút gọn các phân số thành phân số tối giản (nếu có thể) * quy đồng tử số 2 phân số: b a và d c (a, b, c, d 0 ) ta có: . ; b x d b x c d c c x b c x a b a = = ví dụ: quy đồng tử số 2 phân số 3 2 và 7 5 . = 3 2 15 10 5 3 5 2 = x x 14 10 2 7 2 5 7 5 = = x x . ii. bốn phép tính với phân số 1. phép cộng phân số 1.1. cách cộng * hai phân số cùng mẫu: ) 0 ( + = + b b c a b c b a * hai phân số khác mẫu số: - quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đưa về trường hợp cộng 2 phân số có cùng mẫu số. * cộng một số tự nhiên với một phân số. - viết số tự nhiên thành phân số có mẫu số bằng mẫu số của phân số đã cho. - cộng hai tử số và giữ nguyên mẫu số. ví dụ: 2 + 4 11 4 3 4 8 4 3 = + = 1.2. tính chất cơ bản của phép cộng - tính chất giao hoán: b a d c d c b a + = + . - tính chất kết hợp: + + = + + n m d c b a n m d c b a - tổng của một phân số và số 0:
- 34. trừ phân số 2.1. cách trừ * hai phân số cùng mẫu: b c a b c b a − = + * hai phân số khác mẫu số: - quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đưa về trường hợp trừ 2 phân số cùng mẫu số b) quy tắc cơ bản: - một tổng 2 phân số trừ đi một phân số: − + = − + n m d c b a n m d c b a (với n m d c ) = − + n m b a d c (với n m b a ) - một phân số trừ đi một tổng 2 phân số: n m d c b a n m d c b a − − = + − = d c n m b a − − - một phân số trừ đi số 0: b a b a = − 0 3. phép nhân phân số 3.1. cách nhân: bxd axc d c x b a = 3.2. tính chất cơ bạn của phép nhân: - tính chất giao hoán: b a x d c d c x b a = - tính chất kết hợp: n m d c b a = n m d c b a - một tổng 2 phân số nhân với một phân số: n m d c n m b a n m d c b a + = +
- 35. 2 phân số nhân với một phân số: n m d c n m b a n m d c b a − = − - một phân số nhân với số 0: 0 0 0 = = b a x x b a 3.3. chú ý: - thực hiện phép trừ 2 phân số: 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 x = = − = − do đó: 2 1 1 2 1 1 1 x = − 3 2 1 6 1 6 2 6 3 3 1 2 1 x = = − = − do đó: 3 2 1 3 1 2 1 x = − 4 3 1 12 1 12 3 12 4 4 1 3 1 x = = − = − do đó: 4 3 1 4 1 3 1 x = − ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 1 + = + − + + = + − n n n n n n n n n n do đó: ) 1 ( 1 1 1 1 + = + − n n n n - muốn tìm giá trị phân số của một số ta lấy phân số nhân với số đó. ví dụ: tìm 2 1 của 6 ta lấy: 3 6 2 1 = tìm 2 1 của 3 1 ta lấy: 6 1 3 1 2 1 = 4. phép chia phân số 4.1. cách làm: bxc axd d c b a = : 4.2. quy tắc cơ bản: - tích của 2 phân số chia cho một phân số. = n m d c x b a n m d c x b a : : - một phân số chia cho một tích 2 phân số: . : : : n m d c b a n m x d c b a = - tổng 2 phân số chia cho một phân số: n m b a n m b a n m d c b a : : : + = + - hiệu 2 phân số chia cho một phân số: n m d c n m b a n m d c b a : : : − = −
- 36. chia cho một phân số: . 0 : 0 = b a - muốn tìm 1 số khi biết giá trị 1 phân số của nó ta lấy giá trị đó chia cho phân số tương ứng. ví dụ: tìm số học sinh lớp 5a biết 5 2 số học sinh của lớp 5a là 10 em. Bài giải số học sinh của lớp 5a là: 10 : 25 5 2 = (em) * khi biết phân số b a của x bằng d c của y (a, b, c, d ) 0 - muốn tìm tỉ số giữa x và y ta lấy b a d c : - muốn tìm tỉ số giữa y và x ta lấy d c b a : ví dụ: biết 5 2 số nam bằng 4 3 số nữ. tìm tỉ số giữa nam và nữ. Bài giải tỉ số giữa nam và nữ là : 5 2 : 4 3 = 8 15 . iii. tỉ số phần trăm - tỉ số % giữa a và b bằng 80% được hiểu: b được chia thành 100 phần bằng nhau thì a là 80 phần như thế. - cách tìm tỉ số % giữa a và b * cách 1: tìm thương của hai số rồi nhân thương vừa tìm được với 100, viết thêm kí hiệu phần trăm vào bên phải tích vừa tìm được. ví dụ: tìm tỉ số phần trăm của 2 và 4. tỉ số phần trăm của 2 và 4 là: 2 : 4 = 0,5 = 50% * cách 2: a : b x 100%. ví dụ: tìm tỉ số % giữa 2 và 4; giữa 4 và 2. - tỉ số % giữa 2 và 4 là:
- 37. x 100% = 50% - tỉ số % giữa 4 và 2 là: 4 : 2 x 100% = 200% Bài tập Bài 1: viết tất cả các phân số bằng phân số 100 75 mà mẫu số là số tròn chục và có 2 chữ số. Bài 2: viết tất cả các phân số bằng phân số 39 21 mà mẫu số có 2 chữ số và chia hết cho 2 và 3. Bài 3: viết mỗi phân số sau thành tổng 3 phân số có tử số là 1 nhưng có mẫu số khác nhau: 2005 407 ; 8 7 Bài 4: viết mỗi phân số sau thành tổng 2 phân số tối giản có mẫu số khác nhau. a) 12 7 b) 27 13 Bài 5: hãy viết mỗi phân số sau thành tổng các phân số có tử số bằng 1 và mẫu số khác nhau. . 27 25 ; 16 15 ; 12 31 Bài 6: hãy viết tất cả các phân số có tổng của tử số và mẫu số bằng 10. Bài 7: tìm: a) 2 1 của 6m b) 7 1 của 21kg c) 10 1 của 5 1 d) 9 8 của 4 3 Bài 8: biết 2 1 số học sinh của lớp 3a bằng 3 1 số học sinh của lớp 3b. hãy tìm tỉ số giữa số học sinh lớp 3a và học sinh lớp 3b. Bài 9: tìm số học sinh của khối lớp 4, biết 3 1 số học sinh của khối lớp 4 là 50 em. iv. các dạng Bài toán tính nhanh phân số dạng 1: tổnh nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước 2 lần.
- 38. giải: cách 1: bước 1: đặt a = 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 + + + + + bước 2: ta thấy: 2 1 1 2 1 − = 4 1 2 1 4 1 − = 8 1 4 1 8 1 − = bước 3: vậy a = − + + − + − + − 64 1 32 1 ... 8 1 4 1 4 1 2 1 2 1 1 a = 64 1 32 1 ... 8 1 4 1 4 1 2 1 2 1 1 − + + − + − + − a = 1 - 64 1 a = 64 63 64 1 64 64 = − đáp số: 64 63 . cách 2: bước 1: đặt a = 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 + + + + + bước 2: ta thấy: 2 1 1 2 1 − = 4 1 1 4 3 4 1 2 1 − = = + 8 1 1 8 7 8 1 4 1 2 1 − = = + + ……………. bước 3: vậy a = 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 + + + + + = 1 - 64 1 = 64 63 64 1 64 64 = −
- 39. tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước n lần. (n > 1) ví dụ: a = 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 + + + + + cách giải: bước 1: tính a x n (n = 2) ta có: a x 2 = 2 x + + + + + 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 = 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 + + + + + = 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 1 + + + + + bước 2: tính a x n - a = a x (n - 1) a x 2 - a = − + + + + + 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 1 + + + + + 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 a x (2 - 1) = 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 1 + + + + + - 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 − − − − − a = 1 - 64 1 a = 64 63 64 1 64 64 = − ví dụ 2: b = 486 5 162 5 54 5 18 5 6 5 2 5 + + + + + bước 1: tính b x n (n x 3) b x 3 = 3 x + + + + + 486 5 162 5 54 5 18 5 6 5 2 5 = 162 5 54 5 18 5 6 5 2 5 2 15 + + + + + bước 2: tính b x n - b bx3 - b = + + + + + 162 5 54 5 18 5 6 5 2 5 2 15 - + + + + + 486 5 162 5 54 5 18 5 6 5 2 5 b x (3 - 1) = 162 5 54 5 18 5 6 5 2 5 2 15 + + + + + - 486 5 162 5 54 5 18 5 6 5 2 5 − − − − − b x 2 = 486 5 2 15 − = 486 5 3645 − 486 3640 =
- 40. tập Bài 1: tính nhanh a) 192 2 96 2 48 2 24 2 12 2 6 2 3 2 + + + + + + b) 256 1 128 1 64 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 + + + + + + + c) . 729 1 243 1 81 1 27 1 9 1 3 1 + + + + + d) 512 3 128 3 32 3 8 3 2 3 + + + + e) 3 + 625 3 125 3 25 3 5 3 + + + g) 1280 1 .... 40 1 20 1 10 1 5 1 + + + + + h) 59049 1 ... 81 1 27 1 9 1 3 1 + + + + + dạng 3: tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu phân số liền sau: ví dụ: a = 6 5 1 5 4 1 4 3 1 3 2 1 x x x x + + + = 6 5 5 6 5 4 4 5 4 3 3 4 3 2 2 3 x x x x − + − + − + − = 6 5 5 6 5 6 5 4 4 5 4 5 4 3 3 4 3 4 3 2 2 3 2 3 x x x x x x x x − + − + − + − = 6 1 5 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 − + − + − + − = 3 1 6 2 6 1 6 3 6 1 2 1 = = − = − ví dụ: b = 14 11 3 11 8 3 8 5 3 5 2 3 x x x x + + + = . 14 11 11 14 11 8 8 11 8 5 5 8 5 2 2 5 x x x x − + − + − + − b = 14 11 11 14 11 14 11 8 8 11 8 11 8 5 5 8 5 8 5 2 2 5 2 5 x x x x x x x x − + − + − + − = 14 1 11 1 11 1 8 1 8 1 5 1 5 1 2 1 − + − + − + − = 7 3 14 6 14 1 14 7 14 1 2 1 = = − = − Bài tập Bài 1: tính nhanh: a. 27 23 4 23 19 4 19 15 4 15 11 4 11 7 4 7 3 4 x x x x x x + + + + +
- 41. 2: cho tổng: 1995 664 ... 15 11 4 11 7 4 7 3 4 = + + + = S a) tìm số hạng cuối cùng của dãy s. b) tổng s có bao nhiêu số hạng? Bài 3: tính nhanh: a) 90 89 72 71 56 55 42 41 30 29 20 19 12 11 6 5 + + + + + + + b) tính tổng của 10 phân số trong phép cộng sau: 110 109 90 89 72 71 56 55 42 41 30 29 20 19 12 11 6 5 2 1 + + + + + + + + + Bài 4: cho dãy số: ........ 42 1 , 30 1 , 20 1 , 12 1 , 6 1 , 2 1 a) hãy tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số trên. b) số 10200 1 có phải là một số hạng của dãy số trên không? vì sao? Bài 5: tính nhanh: 50 ... 4 3 2 1 1 ... 4 3 2 1 1 3 2 1 1 2 1 1 + + + + + + + + + + + + + + + Bài 6: so sánh s với 2, biết rằng: 45 1 ... 10 1 6 1 3 1 1 + + + + + = S Bài 7: chứng minh rằng: 1 91 1 73 1 57 1 43 1 31 1 21 1 13 1 7 1 3 1 + + + + + + + + Bài 8: điền dấu >,< hoặc = vào ô trống: 1000 1 ... 25 1 16 1 9 1 4 1 + + + + + = S 1 dạng 4: tính tổng của nhiều phân số có tử số là n, có mẫu số là tích của 3 thừa số trong đó thừa số thứ 3 hơn thừa số thứ nhất n đơn vị và hai thừa số cuối của mẫu phân số liền trước là 2 thừa số đầu của mẫu phân số liền sau. ví dụ: tính:
- 42. = 13 11 1 3 1 1 x x − = 429 140 429 3 143 13 11 3 3 13 11 = − = − x x x Bài tập Bài 1: tính nhanh: 19 15 13 6 15 13 9 6 13 9 7 6 9 7 3 6 7 3 1 6 ) + + + + a 19 15 13 1 15 13 9 1 13 9 7 1 9 7 3 1 7 3 1 1 ) + + + + b 100 98 96 1 ... 14 12 10 1 12 10 8 1 10 8 6 1 8 6 4 1 6 4 2 1 ) + + + + + + c 40 36 33 5 ... 15 12 8 5 12 8 5 5 8 5 1 5 ) + + + + d dạng 5: tính tích của nhiều phân số trong đó tử số của phân số này có quan hệ về tỉ số với mẫu số của phân số kia. ví dụ: 997 995 1993 1994 1992 1993 1991 1992 1990 1991 = 997 995 1993 1994 1992 1993 1991 1992 1990 1991 = 997 995 1992 1994 1990 1992 = 997 995 1990 1994 = 997 995 995 997 = 1 Bài tập Bài 1: tính nhanh: a) 468 164 984 432 164 435 432 468 435 328 b) 2000 2006 2004 2003 2002 2001 2003 2002 2001 2000 Bài 2: tính nhanh: a) 151515 424242 143143 165165 2121 1313 b) 95 1995199519 93 1993199319 19931993 19961996 1995 1995
- 43. nhanh: a) − − − − 5 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 b) − − − − − − 100 3 1 97 3 1 ... 13 1 1 10 3 1 7 3 1 4 3 1 c) − − − − − − 99 2 1 97 2 1 ... 11 2 1 9 2 1 7 2 1 5 2 1 Bài 4: cho: m = 39 37 ... 15 13 11 9 7 5 3 1 n = 37 39 .... 13 15 9 11 5 7 hãy tính m n. Bài 5: tính tích của 10 hỗn số đầu tiên trong dãy các hỗn số sau: 3 1 1 8 1 1 .... 35 1 1 24 1 1 15 1 1 dạng 6: vận dụng 4 phép tính để tách, ghép ở tử số hoặc mẫu số nhằm tạo ra thừa số giống nhau ở cả tử số và mẫu số rồi thực hiện rút gọn biểu thức. ví dụ 1: 1004 999 2004 999 2003 1999 2003 + − ( ) 1 1000 2003 1000 2003 2003 999 2003 1000 2003 ) 1004 999 ( 999 2003 1000 2003 1004 999 1 2003 ) 999 1999 ( 2003 = = + = + + = + + − = ví dụ 2: 1994 1996 1000 996 1995 1996 + − ( ) 1994 1996 1000 ) 996 1996 ( 1994 1996 1994 1996 1000 996 1 1994 1996 + − + = + − + = 1994 1996 1000 1000 1994 1996 + + = = 1(vì tử số bằng mẫu số) ví dụ 3: 232323 242424 373737 535353 48 23 53 37
- 44. tính nhanh: a) 1996 1997 1995 1 1996 1997 + − 253 399 254 145 399 254 ) + − b 1002 1997 1995 995 1996 1997 ) + − c 69 6001 5392 5931 6001 5392 ) − + d e) 1994 1995 1996 1 1997 1995 + − Bài 2: tính nhanh: a) 1996 1995 1996 1997 1985 1997 1996 1988 − + + b) 1996 7 1994 1993 1992 1993 1992 1993 1994 + + − c) 1995 1991 1996 1995 399 55 45 399 − + d) 2006 2005 ) 5 , 7 : 3 4 , 0 ( 2006 − e) 1979 1978 1979 1980 1985 21 1980 1979 1978 − + + g) 37 , 5 55 3 , 3 5 , 4 9 , 28 55 1 , 20 45 1230 3 , 24 12300 43 , 2 − + + + − h) 1997 1997 1999 1997 3 1998 1997 1996 − + i) 2002 504 503 2002 2002 2002 2001 1988 14 2003 + + + + Bài 3: tính nhanh: 4 , 10 5 , 11 6 , 12 4 , 13 3 , 12 2 , 11 8 , 7 6 , 4 8 , 4 8 , 7 2 , 16 7 , 5 7 , 3 2 , 16 ) 334 18 102 334 334 201 321 334 2004 59 2004 2 2004 37 2004 ) 60 155 46 215 48 215 35 , 352 18 , 453 65 , 432 82 , 546 ) − − − + + + + + − − − + + + − − − − + − c b a Bài 4: tính nhanh:
- 45. nhanh: 5 125 , 0 : 6 , 6 5 , 0 : 88 , 88 3 , 3 23 , 0 : 2 , 13 2 44 , 44 2 , 0 : 8 , 19 ) 10 25 , 0 : 25 , 1 12 , 3 2 2 4 25 , 6 5 , 0 : 48 , 12 ) b a Bài 6: tính nhanh: 15151515 31313131 454545 989898 − Bài 7: tính nhanh: 10101x + + − 40404 5 30303 5 20202 5 10101 5 Bài 8: tính nhanh: 156 129 ... 8 2 1 25 , 0 20 2 , 0 5 40 5 , 0 4 , 25 ) 6 5 125 , 0 : 7 , 7 5 , 0 : 8 , 30 25 , 0 : 4 , 15 2 4 , 15 2 , 0 6 , 9 ) 25 8 4 25 , 1 275 , 0 725 , 0 25 25 , 1 4 , 0 8 , 0 ) + + + + + − + + c b a ( ) 125 25 , 0 8 1 , 0 4 8 4 , 0 125 3478 , 0 6524 , 10 ) 4 8 5 , 2 25 , 1 8003 , 0 08 , 0 5 , 0 5 , 12 5 , 2 1997 , 0 ) ) 4 : 52 4 ( 16 8 : 128 10 25 , 0 1 , 0 8 20 5 , 0 40 5 , 0 ) + + + + + − g e d * một số Bài tính nhanh luyện tập Bài 1: tính nhanh: a) 1 10 2 9 3 8 ... 8 3 9 2 10 1 55 45 ... 10 6 3 1 + + + + + + + + + + + + b) ) 20 19 ... 4 3 3 2 2 1 ( ) 20 19 ... 4 3 2 1 ( 20 1 20 2 19 3 18 ... 17 4 18 3 19 2 20 1 + + + + − + + + + + + + + + + + + + Bài 2: tính nhanh: 1000 99 1000 87 ... 1000 49 1000 37 1000 25 1000 13 1000 1 + + + + + + + Bài 3: tính nhanh: a) 1934 3 2 : 7 5 7 5 : 3 2 + b) 1996 3 : 1 5 : 1 3 1 : 5 1 + c) (30 : 7 2 1 + 0,5 x 3 - 1,5) x − 2 9 2 1 4 : (14,5 x 100) d) 2 8 7 5 8 7 5 8 7 − + e) (1999 x 1998 + 1998 x 1997) x − + 3 1 1 2 1 1 : 2 1 1 Bài 4: tính nhanh: + + + + + 2009 1 1 2008 1 1 2007 1 1 2006 1 1 2005 1 1
- 46. nhanh: 2001 1001 2006 2004 2002 2008 2004 2001 2008 2006 ) 5 7 2000 1999 1998 1 2001 1999 ) + − b a Bài 6: tính nhanh: a = 100 ... 3 2 1 3 .... 4 3 2 1 3 3 2 1 3 2 1 3 1 3 + + + + + + + + + + + + + + + Bài 7: tính nhanh: s = 33 1 28 1 24 1 22 1 18 1 15 1 14 1 12 1 11 1 10 1 9 1 8 1 7 1 + + + + + + + + + + + + Bài 8: nếu phép cộng của tổng sau cứ kéo dài mãi mãi: ... ; 64 1 ; 32 1 ; 16 1 ; 8 1 ; 4 1 ; 2 1 thì giá trị của tổng bằng bao nhiêu? Bài 9: nếu phép cộng của tổng sau cứ kéo dài mãi mãi: ... ; 729 1 ; 243 1 ; 81 1 ; 27 1 ; 9 1 ; 3 1 1+ thì giá trị của tổng bằng bao nhiêu? Bài 10: hãy chứng tỏ rằng: 100 99 ... 4 3 3 2 2 1 100 1 ... 3 1 2 1 1 100 + + + + = + + + + − . v. so sánh phân số 1. kiến thức cần ghi nhớ 1.1: so sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số, quy đồng tử số a) quy đồng mẫu số bước 1: quyđồng mẫu số bước 2: so sánh phân số vừa quy đồng ví dụ: so sánh 2 1 và 3 1 +) ta có: 6 3 3 2 3 1 2 1 = = 6 2 3 2 1 3 1 = = +) vì 6 2 6 3 nên 3 1 2 1 b) quy đồng tử số bước 1: quy đồng tử số bước 2: so sánh phân số đã quy đồng tử số ví dụ: so sánh hai phân số 5 2 và 4 3 bằng cách quy đồng tử số +) ta có : 15 6 3 5 3 2 5 2 = = 8 6 2 4 2 3 4 3 = = +) vì 8 6 15 6 nên 4 3 5 2
- 47. phân số bằng cách so sánh phần bù với đơn vị của phân số - phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó. - trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ngược lại. ví dụ: so sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất. 2001 2000 và 2002 2001 bước 1: (tìm phần bù) ta có : 2001 1 2001 2000 1 = − 1- 2002 1 2002 2001 = bước 2: (so sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh) vì 2002 1 2001 1 nên 2002 2001 2001 2000 * chú ý: đặt a = mẫu 1 - tử 1 b = mẫu 2 - tử 2 cách so sánh phần bù được dùng khi a = b. nếu trong trường hợp a b ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về 2 phân số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số bằng nhau: ví dụ: 2001 2000 và 2003 2001 . +) ta có: 4002 4000 2 2001 2 2000 2001 2000 = = 1 - 4002 2 4002 4000 = 1- 2003 2 2003 2001 = +)vì 2003 2 4002 2 nên 2003 2001 4002 4000 hay 2003 2001 2001 2000 3. so sánh phân số bằng cách so sánh phần hơn với đơn vị của phân số: - phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1. - trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. ví dụ: so sánh: 2000 2001 và 2001 2002 bước 1: tìm phần hơn ta có: 2000 1 1 2000 2001 = − 2001 1 1 2001 2002 = − bươc 2: so sánh phần hơn của đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh. vì 2001 1 2000 1 nên 2001 2002 2000 2001 * chú ý: đặt c = tử 1 - mẫu 1
- 48. 2 - mẫu 2 cách so sánh phần hơn được dùng khi c = d. nếu trong trường hợp c d ta có thể sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về hai phân số mới có hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau. ví dụ: so sánh hai phân số sau: 2000 2001 và 2001 2003 bước1: ta có: 4000 4002 2 2000 2 2001 2000 2001 = = 2001 2 1 2001 2003 4000 2 1 4000 4002 = − = − bước 2: vì 2001 2 4000 2 nên 2001 2003 4000 4002 hay 2001 2003 2000 2001 4. so sánh phân số bằng cách so sánh cả hai phân số với phân số trung gian ví dụ 1: so sánh 5 3 và 9 4 bước 1: ta có: 2 1 8 4 9 4 2 1 6 3 5 3 = = bước 2: vì 9 4 2 1 5 3 nên 9 4 5 3 ví dụ 2: so sánh 60 19 và 90 31 bước 1: ta có: 3 1 90 30 90 31 3 1 60 20 60 19 = = bước 2: vì 90 31 3 1 60 19 nên 90 31 60 19 ví dụ 3: so sánh 100 101 và 101 100 vì 101 100 1 100 101 nên 101 100 100 101 ví dụ 4: so sánh hai phân số bằng cách nhanh nhất. 57 40 và 55 41 Bài giải +) ta chọn phân số trung gian là : 55 40 +) ta có: 55 41 55 40 57 40 +) vậy 55 41 57 40
- 49. phân số trung gian : - trong một số trường hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung gian là những phân số dễ tìm được như: 1, ,... 3 1 , 2 1 (ví dụ 1, 2, 3) bằng cách tìm thương của mẫu số và tử số của từng phân số rồi chọn số tự nhiên nằm giữa hai thương vừa tìm được. số tự nhiên đó chính là mẫu số của phân số trung gian còn tử số của phân số trung gian chính bằng 1. - trong trường hợp tổng quát: so sánh hai phân số b a và d c (a, b, c, d khác 0) - nếu a > c còn b < d (hoặc a < c còn b > d) thì ta có thể chọn phân số trung gian là d a (hoặc b c ) - trong trường hợp hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và hiệu của mẫu số phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối quan hệ với nhau về tỉ số (ví dụ: gấp 2 hoặc 3lần,…hay bằng ,... 5 4 , 3 2 , 2 1 ) thì ta nhân cả tử số và mẫu số của cả hai phân số lên một số lần sao cho hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là nhỏ nhất. sau đó ta tiến hành chọn phân số trung gian như trên. ví dụ: so sánh hai phân số 23 15 và 117 70 bước 1: ta có: 115 75 5 23 5 15 23 15 = = ta so sánh 117 70 với 115 75 bước 2: chọn phân số trung gian là: 115 70 bước 3: vì 115 75 115 70 117 70 nên 115 75 117 70 hay 23 15 117 70 5. đưa hai phân số về dạng hỗn số để so sánh - khi thực hiện phép chia tử số cho mẫu số của hai phân số ta được cùng thương thì ta đưa hai phân số cần so sánh về dạng hỗn số, rồi so sánh hai phần phân số của hai hỗn số đó. ví dụ: so sánh hai phân số sau: 15 47 và 21 65 . ta có: 21 2 3 21 65 15 2 3 15 47 = = vì 21 2 15 2 nên 21 2 3 15 2 3 hay 21 65 15 47 - khi thực hiên phép chia tử số cho mẫu số, ta được hai thương khác nhau, ta cũng đưa hai phân số về hỗn số để so sánh. ví dụ: so sánh 11 41 và 10 23
- 50. > 2 nên 10 3 2 11 8 3 hay 11 41 > 10 23 * chú ý: khi mẫu số của hai phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên ta có thể nhân cả hai phân số đó với số tự nhiên đó rồi đưa kết quả vừa tìm được về hỗn số rồi so sánh hai hỗn số đó với nhau ví dụ: so sánh 15 47 và 21 65 . +) ta có: 15 47 x 3 = 7 2 9 7 65 3 21 65 5 2 9 5 47 = = = +) vì 7 2 5 2 nên 7 2 9 5 2 9 hay 15 47 > 21 65 6. thực hiện phép chia hai phân số để so sánh - khi chia phân số thứ nhất cho phân số thứ hai, nếu thương tìm được bằng 1 thì hai phân số đó bằng nhau; nếu thương tìm được lớn hơn 1 thì phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai; nếu thương tìm được nhỏ hơn 1 thì phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai. ví dụ: so sánh 9 5 và 10 7 . Ta có: 9 5 : 10 7 = 1 63 50 vậy 9 5 < 10 7 . Bài tập Bài 1: rút gọn các phân số sau thành phân số tối giản: . 9970 7976 ; 4284 3672 ; 1281 549 ; 1185 474 ; 891 297 Bài 2: quy đồng mẫu số các phân số sau: a) 9 4 ; 4 3 b) 18 13 ; 32 26 c) 49 43 ; 27 5 ; 16 13 d) 60 56 ; 36 28 ; 65 45 Bài 3: quy đồng mẫu số các phân số sau: a) 60 23 ; 15 8 b) 18 11 ; 24 13 c) 80 17 ; 16 11 d) 3 2 ; 5 4 ; 4 1 Bài 4: quy đồng tử số các phân số sau: a) 9 8 ; 13 12 b) 19 21 ; 31 27 ; 15 16 Bài 5: a)viết các số thập phân dưới dạng tỉ số phần trăm: 0,15 ; 3,1 ; 0,8 ; 3,5. b)viết các tỉ số phần trăm dưới dạng số thập phân: 25% ; 1.3% ; 10% ; 85%. c)viết các phân số sau dưới dạng tỉ số phần trăm: 16 5 ; 8 1 ; 4 1 ; 2 1 Bài 6: so sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:
- 51. sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất: a) 17 12 và 15 7 d) 1999 1998 và 2000 1999 b) 2001 1999 và 11 12 e) 1 1 + a và 1 1 − a c) 27 13 và 41 27 g) 47 23 và 45 24 Bài 8: so sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất: a) 25 15 và 7 5 e) 8 3 và 49 17 b) 60 13 và 100 27 g) 47 43 và 35 29 c) 1995 1993 và 998 997 h) 49 43 và 35 31 d) 15 47 và 35 29 i) 27 16 và 29 15 Bài 9: so sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất: a) 15 13 và 25 23 d) 15 13 và 153 133 b) 28 23 và 27 24 e) 15 13 và 1555 1333 c) 25 12 và 49 25 Bài 10: a) sắp xếp các phân số theo thứ tự giảm dần: 10 9 ; 9 8 ; 8 7 ; 7 6 ; 6 5 ; 5 4 ; 4 3 ; 3 2 ; 2 1 b) sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần: . 253 152 ; 11 26 ; 10 10 ; 253 215 ; 15 26
- 52. các phân số theo thứ tự tăng dần: . 5 4 ; 3 2 ; 4 3 ; 2 1 ; 6 5 d) sắp xếp các phân số theo thứ tự từ lớn đén bé: 29 19 ; 81 60 ; 25 21 e) sắp xếp các phân số theo thứ tự từ lớn đén bé: 1999 2004 ; 15 12 ; 5 3 ; 1 ; 14 6 ; 6 15 Bài 11: tìm phân số nhỏ nhất trong các phân số sau: a) 1982 1984 ; 30 31 ; 1981 1983 ; 60 19 ; 1980 1985 b) 175 175 ; 60 21 ; 37 39 ; 45 14 ; 189 196 Bài 12: viết các phân số sau dưới dạng phân số thập phân rồi xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: 50 19 ; 1000 600 ; 25 7 ; 10 9 ; 20 11 Bài 13: tìm phân số nhỏ nhất và phân số lớn nhất trong các phân số sau: 123 231 ; 47 13 ; 100 135 ; 18 77 ; 49 12 Bài 14: a) tìm 6 phân số tối giản nằm giữa 5 1 và 8 3 b) hãy viết 5 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số: 5 2 và 5 3 1997 1995 và 1996 1995 Bài 15: hãy tìm 5 phân số có tử số chia hết cho 5 và nằm giữa hai phân số: a. 1001 999 và 1003 1001 b. 10 9 và 13 11 Bài 16: so sánh phân số sau với 1 a) 35 33 34 34 b) 1995 1995 1999 1999 c) 86 1986198619 86 1986198619 87 1987198719 85 1985198519 Bài 17: so sánh 49 35 7 28 20 4 14 10 2 7 5 1 35 21 7 20 12 4 10 6 2 5 3 1 + + + + + + với 708 308 Bài 18: so sánh a và b, biết: a = 153 135 117 85 75 65 51 45 39 17 15 13 135 117 99 75 65 55 45 39 33 15 13 11 + + + + + + b = 1717 1111 Bài 19: so sánh các phân số sau (n là số tự nhiên) 4 1 ; 3 ) 4 3 ; 2 1 ) . + − + + + + + n n n n b n n n n a Bài 20: so sánh phân số sau: (a là số tự nhiên, a khác 0)
- 53. s = 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 + + + + + + có phải là số tự nhiên không? vì sao? Bài 22: so sánh 90 1 89 1 ... 33 1 32 1 31 1 + + + + + với 6 5 Bài 23: hãy chứng tỏ rằng: 1 80 1 79 1 ... 43 1 42 1 41 1 12 7 + + + + + Bài 24: so sánh a và b biết: 246813579 2006 987654321 2007 . 246813579 2007 987654321 2006 . + = + = B A Bài 25: so sánh m và n, biết: 2005 2004 2004 2003 2005 2004 2004 2003 + + = + = N M Bài 26: so sánh a và b, biết: 00 1998199820 1997 1997 1997 1231 1231 1231 1231 . 99 9999999999 21 4321432143 . + + + + + B A Bài 27: cho phân số: m = 19 ... 13 12 11 9 ... 4 3 2 1 + + + + + + + + + hãy bớt một số hạng ở tử số và một số hạng ở mẫu số sao cho giá trị phân số không thay đổi.
- 54. Một số dạng toán điển hình a. trung bình cộng i.kiến thức cần ghi nhớ 1. muốn tìm trung bình cộng của nhiều số ta lấy tổng chia cho số các số hạng. 2. muốn tìm tổng các số hạng ta lấy trung bình cộng nhân với số các số hạng. 3. trong dãy số cách đều: - nếu số lượng số hạng là lẻ thì số hạng ở chính giữa của dãy số đó chính là số trung bình cộng của các số hạng. - muốn tìm số trung bình cộng trong dãy số cách đều ta lấy giá trị của một cặp chia cho 2 ví dụ: hãy tìm số trung bình cộng của 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Bài giải số trung bình cộng là : (1 + 9) : 2 = 5. (hoặc dãy số đó có 9 số hạng liên tiếp từ 1 đến 9 nên số ở chính giữa chính là số trung bình cộng và là số 5). 4. trong các số, nếu có một số lớn hơn mức trung bình cộng của các số n đơn vị thì trung bình cộng của các số đó bằng tổng của các số còn lại cộng với n đơn vị rồi chia cho các số hạng còn lại đó. ví dụ: an có 20 viên bi, bình có số bi bằng 2 1 số bi của an. chi có số bi hơn mức trung bình cộng của ba bạn là 6 viên bi. hỏi chi có bao nhiêu viên bi? Bài giải số bi của bình là : 20 x 2 1 = 10 (viên) nếu chi bù 6 viên bi cho hai bạn còn lại rồi chia đều thì số bi của ba bạn sẽ bằng nhau và bằng trung bình cộng của cả ba bạn. vậy trung bình cộng số bi của ba bạn là: (20 + 10 + 6) : 2 = 18 (viên) số bi của chi là: 18 + 6 = 24 (viên) đáp số: 24 viên bi 5. trong các số, nếu một số kém trung bình cộng của các số đó tn đơn vị thì trung bình cộng của các số đó bằng tổng các số còn lại trừ đi n đơn vị rồi chia cho số lượng các số hạng còn lại. ví dụ: an có 20 nhãn vở, bình có 20 nhãn vở. chi có số nhãn vở kém trung bình cộng của ba bạn là 6 nhãn vở. hỏi chi có bao nhiêu nãnh vở?
- 55. và bình bù cho chi 6 viên bi rồi chia đều thì số bi của ba bạn sẽ bằng nhau và bằng trung bình cộng của cả ba bạn. vậy số trung bình cộng của ba bạn là: (20 + 20 - 6) : 2 = 17 (nhãn vở) số nhãn vở của chi là: 17 - 6 = 12 (nhãn vở) đáp số: 12 nhãn vở 6. Bài toán có thêm một số hạng để mức trung bình cộng của tất cả tăng thêm n đơn vị, ta làm như sau: bước 1: tính tổng ban đầu bước 2: tính trung bình cộng của các số đã cho bước 3: tính tổng mới = (trung bình cộng của các số đã cho + n) x số lượng các số hạng mới. bước 4: tìm số đó = tổng mới - tổng ban đầu ví dụ: một ô tô trong 3 giờ đầu, mỗi giờ đi được 40km, trong 3 giờ sau, mỗi giờ đi được 50 km. nếu muốn tăng mức trung bình cộng mỗi giờ tăng thêm 1km nữa thì đến giờ thứ 7, ô tô đó cần đi bao nhiêu ki-lô-mét nữa? Bài giải trong 6 giờ đầu, trung bình mỗi giờ ô tô đi được: (40 x 3 + 50 x 3 ) : 6 = 45 (km) quãng đường ô tô đi trong 7 giờ là : (45 + 1) x 7 = 322 (km) giờ thứ 7 ô tô cần đi là: 322 - (40 x 3 + 50 x 3) = 52 (km) đáp số: 52km ii. Bài tập Bài 1: tìm số trung bình cộng của các số cách đều nhau 4 đơn vị : 3, 7, 11, …,95, 99, 103. Bài 2: tìm số trung bình cộng của các số : 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. em có cách nào tính nhanh số trung bình cộng của các số trên không? Bài 3: trung bình cộng tuổi của bố, mẹ, bình và lan là 24 tuổi, trung bình cộng tuổi của bố. mẹ và lan là 28 tuổi. tìm tuổi của mỗi người, biết tuổi bình gấp đôi tuổi lan, tuổi lan bằng 6 1 tuổi mẹ.