The tích khối chóp liên quan đến khoảng cách

Hình chóp là gì? Công thức tính thể tích khối chóp là gì? Kiến thức về khối chóp tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều? Lý thuyết và bài tập về thể tích khối chóp?… Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chuyên đề thể tích khối chóp cùng những nội dung liên quan.

Định nghĩa hình chóp là gì?

Hình chóp là một hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh, đỉnh này được gọi là đỉnh của hình chóp.

Nhận xét:

• Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy được gọi là đường cao của hình chóp.
• Tên gọi của hình chóp dựa vào đa giác đáy: hình chóp có đáy là tam giác gọi là hình chóp tam giác, hình chóp có đáy là tứ giác được gọi là hình chóp tứ giác.
• Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
• Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy hoặc có các đường cao của các mặt bên xuất phát từ 1 đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy.
• Nếu hình chóp có mặt bên  hoặc mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao của hình chóp là đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.

Các khối chóp đặc biệt

Khi đã nắm được định nghĩa hình chóp là gì, để tìm hiểu về thể tích khối chóp, trước hết các bạn cần nắm được các khối chóp đặc biệt.

Khối chóp tứ diện đều

Là hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau, tất cả các mặt đều là các tam giác đều, O là trọng tâm của tam giác đáy, \(SO\perp (ABC)\)

Xem thêm >>> Thể tích tứ diện đều: Khái niệm, Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều

Khối chóp tứ giác đều

Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đa giác đáy là hình vuông tâm O, \(SO\perp (ABCD)\)

Công thức tính thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích mặt đáy nhân với chiều cao:

\(V=\frac{1}{3}S.h\)

Trong đó:

• V là thể tích hình chóp.
• S là diện tích mặt đáy hình chóp.
• h là chiều cao hình chóp.
• Đơn vị đo thể tích chuẩn là mét khối \((m^{3})\)

Trường hợp nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao thì phải xác định được vị trí chân đường cao trên đáy. Khi xác định chân đường cao của hình chóp cần chú ý:

• Hình chóp đều thì chân của đường cao là tâm của đáy.
• Hình chóp có mặt bên \((SA_{i}A_{j})\)  vuông góc với mặt đáy thì chân đường cao của tam giác \((SA_{i}A_{j})\) hạ từ S là chân đường cao của hình chóp.
• Nếu có hai mặt phẳng đi qua đỉnh và cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó vuông góc với đáy.
• Nếu các cạnh bên của hình chóp bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
• Nếu các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh là tâm đường tròn nội tiếp đáy.

Các dạng toán và bài tập tính thể tích khối chóp

Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Ví dụ: Cho hình chóp \((S.ABC)\) có \(SB=SC=CB=CA=a\). Hai mặt bên \((ABC), (ASC)\) cùng vuông góc với mặt đáy \((SBC)\)  Tính thể tích hình chóp.

Cách giải:

Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} (ABC)& \perp&(SBC) \\ (ASC)& \perp & (SBC) \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow AC\perp (SBC)\)

Suy ra, \(V=\frac{1}{3}S_{SBC}.AC=\frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}a=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}\)

Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy

Bài tập: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông có cạnh a. Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \((ABCD)\).

1. Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2. Tính thể tích khối chóp

Cách giải:

1. Gọi H là trung điểm của AB.Ta có: \(\bigtriangleup SAB\) đều \(\Rightarrow SH \perp AB\)

Mà: \((SAB)\perp (ABCD) \Rightarrow SH\perp (ABCD)\)

Do đó H là chân đường cao của khối chóp. Suy ra, điều phải chứng minh

    2. Tam giác SAB đều nên ta có:  \(SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Suy ra \(V=\frac{1}{3}S_{ABCD}.SH=\frac{1}{3}.a^{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}\)

Dạng 3: Khối chóp đều – Tính thể tích khối tứ diện đều

Bài tập: Cho khối chóp tứ diện đều \(ABCD\) cạnh a, \(M\) là trung điểm \(DC\).

1. Tính thể tích khối tứ diện đều \(ABCD\)
2. Tính khoảng cách từ \(M\) đến mặt phẳng \((ABC)\). Tính thể tích khối chóp \(MABC\)

Cách giải:

1. Gọi O là tâm của tam giác \(ABC\), suy ra \(DO\perp (ABC)\)

Ta có: \(DO=\sqrt{DC^{2}-OC^{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

\(S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\)

Suy ra \(V=\frac{1}{3}.DO.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}\)

     2. Kẻ MH//DO.

Khoảng cách từ từ \(M\) đến \((ABC)\) là: \(d(M;(ABC))=MH=\frac{1}{2}DO=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a\sqrt{6}}{6}\)

Suy ra: \(V_{MABC}=\frac{1}{3}.MH.S_{ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{24}\)

Xem thêm >>> Công thức tính diện tích tam giác đều và Bài tập điển hình 

Trong bài viết trên, DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp những kiến thức về chuyên đề thể tích khối chóp. Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn những thông tin hữu ích. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)

Please follow and like us:

Thể tích khối chóp là kiến thức được học phổ biến ở kiến thức lớp 12 nếu các bạn không nắm chắc được công thức cũng như định lý thì không thể vận dụng giải các bài tập được. Sau đây, chúng tôi sẽ chia sẻ công thức tính thể tích hình chóp và các dạng bài tập liên quan chi tiết trong bài viết dưới đây

Đinh nghĩa khối chóp

Khối chóp gọi cách khác là hình chóp là một đa giác có các điểm nối với một điểm khác ngoài đa giác. Hay nói cách khác là hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh. Đỉnh này được gọi là đỉnh của hình chóp.

Đường cao của hình chóp là đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy.

Các khối chóp đặc biệt

1. Khối chóp tứ diện đều

Hình chóp tứ diện đều là hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau, tất cả các mặt đều là các tam giác đều. Trong đó, O là trọng tâm của tam giác đáy và AO vuông góc với (BCD).

2. Khối chóp tứ giác đều

Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đa giác đáy là hình vuông tâm O, SO vuông góc với mặt đáy (ABCD).

Công thức tính thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp được tính bằng 1/3 tích của diện tích đáy và chiều cao của khối chóp

V = 1/3.S.h

Trong đó:

Tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác

Nếu A′, B′, C′ là ba điểm lần lượt nằm trên các cạnh SA, SB, SC của hình chóp tam giác SABC. Khi đó:

Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm:

Các dạng bài toán về thể tích khối chóp thường gặp

Dạng 1: Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Lưu ý:

Một hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao.

Một hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì cạnh bên là giao tuyến của hai mặt đó vuông góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ở B, AC=a√2, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a. Tính thể tích hình chóp SABC

Lời giải:

ABC là tam giác vuông cân ở B, AC=a√2 nên

SA vuông góc với mặt phẳng ABC nên SA là đường cao

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30º.Tính theo a thể tích hình chóp S.ABC

Lời giải:

Do SA ⊥ (ABC) nên AB là hình chiếu vuông góc của SB lên mặt phẳng (ABC).

⇒ Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là góc SBA = 300

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

∆ABC đều cạnh a nên

Dạng 2: Tính thể tích hình chóp đều

Ví dụ 1: Tính thể tích hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a.

Lời giải:

Dạng 3: Tính thể tích hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên (SAD) vuông góc với đáy. Biết tam giác SAD vuông cân tại S. Tính thể của tích hình chóp A.ABCD.

Lời giải:

Gọi H là trung điểm AD.

Vì tam giác SAD cân tại S nên SH⊥AD.

Vì mặt phẳng (SAD) vuông góc với đáy nên SH⊥(ABCD).

Vì tam giác SAD vuông cân tại S nên:

Vậy thể tích của hình chóp cần tìm là:

Dạng 4: Tính tỉ lệ thể tích các khối chóp.

Phương pháp:

Hy vọng với những kiến thức về thể tích của khối chóp mà chúng tôi vừa chia sẻ chi tiết trong bài viết phía trên có thể giúp bạn nhớ lại các công thức để áp dụng giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao nhé

5/5 - (1 bình chọn)

XEM THÊM

Hệ thức lượng trong tam giác vuông, cân, thường đầy đủ từ A – Z