Sau đây , bài học mang tên : ” Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song “.Đề bài cũng đã phần nào tiết lộ cho các bạn về bài học của chúng ta về những vấn đề sẽ được giải quyết trong bài học rồi phải không ? Nhưng để hiểu sâu và áp dụng vào làm các bài tập vẫn dụng thì các bạn cần phải chú ý ,tập trung học lý thuyết và làm bài tập thực hành . Bạn không cần tìm kiến đâu xa vì Itoan đã soạn ra một bài giảng về chủ đề này . Chúng ta cùng bước vào bài học ngay nhé ! Show
Mục tiêu bài học : Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song songSau đây là tóm tắt những nội dung mà các bạn sẽ học trong bài :
Kiến thức cơ bản của bài học : Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song songSau đây là toàn bộ kiến thức cơ bản của bài học 1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệtCho hai đường thẳng a và b. Căn cứ vào sự đồng phẳng và số điểm chung của hai đường thẳng ta có bốn trường hợp sau: a. Hai đường thẳng song song: cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung, tức là  b. Hai đường thẳng cắt nhau: chỉ có một điểm chung. a cắt b khi và chỉ khi a ⋂ b = I. c. Hai đường thẳng trùng nhau: có hai điểm chung phân biệt. a ⋂ b = {A, B} ⇔ A ≡ B d. Hai đường thẳng chéo nhau: không cùng thuộc một mặt phẳng. a chéo b khi và chỉ khi a, b không đồng phẳng. a song song với b a cắt b tại giao điểm I a và b cắt nhau tại vô số điểm (trùng) a và b chéo nhau 2. Hai đường thẳng song songTính chất 1: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. Định lí: (về giao tuyến của hai mặt phẳng): Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó (hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó). Hướng dẫn giải bài tập toán SGK lớp 11 bài học : Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song songHọc thì nên đi đôi với hành .Nắm được nguyên tắc như vậy thì sau khi học xong lý thuyết chúng ta nên bắt tay ngay vào làm những bài tập cơ bản củng cố kiến thức . Sau đây cùng Itoan đi giải bài tập trong SGK nhé ! Bài 1 : Sau đây là đề bài của bài toán cần ta giải : Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q, R và S là bốn điểm lần lượt lấy trên bốn cạnh AB, BC, CD và DA. Chứng minh rằng nếu bốn điểm P, Q, R và S đồng phẳng thì: a) Ba đường thẳng PQ, SR và AC hoặc song song hoặc đồng quy. b) Ba đường thẳng PS, RQ và BD hoặc song song hoặc đồng quy. Lời giải: a) Ta có: PQ = (ABC) ∩ (PQRS) RS = (PQRS) ∩ (ACD) AC = (ABC) ∩ (ACD) Vậy hoặc PQ, RS, AC đồng qui hoặc song song. b) PS =(ABD) ∩ (PQRS) RQ = (BCD) ∩ (PQRS) BD = (ABD) ∩ (CBD) Vậy PS, RQ, BD đồng quy hoặc song song. Bài 2 :Đề bài cho ta những dữ liệu sau đây : Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC. Tìm giao điểm S của AD và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây. a) PR song song với AC; b) PR cắt AC. Lời giải: a) PR // AC mp(PQR) và mp(ACD) lần lượt chứa hai đường thẳng song song PR // AC ⇒ (PQR) ∩ (ACD) = Qt là đường thẳng song song với AC và PR. Gọi Qt ∩ AD = S ⇒ S = AD ∩ (PQR). b) PR ∩ AC = I. Có : Q ∈ (ACD) ∩ (PQR) + (ABC) ∩ (PQR) = PR. + (ACD) ∩ (ABC) = AC + (ACD) cắt (PQR) ⇒ PR; AC và giao tuyến của (ACD) và (PQR) đồng quy Mà PR ∩ AC = I ⇒ I ∈ (ACD) ∩ (PQR). ⇒ (ACD) ∩ (PQR) = QI. trong (ACD): QI ∩ AD = S chính là giao tuyến của (PQR) và AD. Bài 3 :Đề bài cho ta những dữ liệu để giải bài toán như sau : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN. a) Tìm giao điểm A’ của đường thẳng AG và mp(BCD). b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA’ và Mx cắt (BCD) tại M’. c) Chứng minh GA = 3GA’ Lời giải: a) Có: MN ⊂ (ABN) ⇒ G ∈ (ABN) ⇒ AG ⊂ (ABN). Trong (ABN), gọi A’ = AG ∩ BN. ⇒ A’ ∈ BN ⊂ (BCD) ⇒ A’ = AG ∩ (BCD). b) + Mx // AA’ ⊂ (ABN) ; M ∈ (ABN) ⇒ Mx ⊂ (ABN). M’ = Mx ∩ (BCD) ⇒ M’ nằm trên giao tuyến của (ABN) và (BCD) chính là đường thẳng BN. ⇒ B; M’; A’ thẳng hàng. ⇒ BM’ = M’A’ = A’N. c) Áp dụng chứng minh câu b ta có: ΔMM’N có: MM’ = 2.GA’ ΔBAA’ có: AA’ = 2.MM’ ⇒ AA’ = 4.GA’ ⇒ GA = 3.GA’. Lời kết :Lượng kiến thức ngày càng lớn yêu cầu các bạn cần nắm bắt tất cả chúng không phải là điều dễ dàng nhưng chỉ cần các bạn quyết tâm và có một lộ trình học tập phù hợp thì hoàn toàn có thể . Bên cạnh học tập trên lớp các bạn nên tìm hiểu thêm nhiều nguồn thông tin học tập mới lạ vừa để rèn luyện và nâng cao kiến thức của bản thân . Itoan sẽ giúp bạn trên chặng đường đi tìm tri thức . Cảm ơn các bạn đã tin tưởng chọn lựa Itoan . Các bạn có thể xem thêm những bài giảng khác tại : https://www.toppy.vn/ Chúc các bạn học tập thật tốt ! Xem thêm :
A. Tóm tắt lí thuyết1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.Cho hai đường thẳng và trong không gian. Có các trường hợp sau đây xảy ra đối với và : Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa cả và , khi đó theo kết quả tronh hình học phẳng ta có ba khả năng sau:
Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa cả và , khi đó ta nói và là hai đường thẳng chéo nhau. 2. Các định lí và tính chất.
B. Bài tậpDạng 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT BẰNG QUAN HỆ SONG SONG Phương pháp: Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng và có điểm chung và lần lượt chứa hai đường thẳng song song và thì giao tuyến của và là đường thẳng đi qua song song với và . Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và A. là đường thẳng đi qua S song song với AB, CD B. là đường thẳng đi qua S C. là điểm S D. là mặt phẳng (SAD)
Lời giải: Ta có Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là hình thang với các cạnh đáy là và . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và và là trọng tâm của tam giác . a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và . A.là đường thẳng song song với AB B.là đường thẳng song song vơi CD C.là đường thẳng song song với đường trung bình của hình thang ABCD D.Cả A, B, C đều đúng b) Tìm điều kiện của và để thiết diện của và hình chóp là một hình bình hành. A. B. C. D.
Lời giải: a) Ta có là hình thang và là trung điểm của nên . Vậy với . b) Dễ thấy thiết diện là tứ giác . Do là trọng tâm tam giác và nên ( là trung điểm của ). . Lại có . Vì nên là hình thang, do đó là hình bình hành khi . Vậy thết diện là hình bình hành khi . Dạng 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG. Phương pháp: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta có thể làm theo một trong các cách sau:
Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy lớn . Gọi lần lượt là trung điểm của và . a) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất A. song song với . B. chéo với . C. cắt với . D. trùng với . b) Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. song song với . B. chéo với . C. cắt với . D. trùng với . Lời giải: a) Ta có là đường trung bình của tam giác nên . Lại có là hình thang . Vậy . b) Trong gọi , trong gọi . Ta có . Vậy . Do . Ta có . Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy và . Biết . Gọi và lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Mặt phẳng cắt lần lượt tại . Mặt phẳng cắt tại . a) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. song sonng với . B. chéo với . C. cắt với . D. trùng với . b) Giải sử cắt tại ; cắt tại . Chứng minh song song với và . Tính theo . A. B. C. D. Lời giải:
a) Ta có . Vậy Tương tự Vậy Từ và suy ra . b) Ta có ; Do đó . Mà . Tính : Gọi Ta có , Mà . Từ suy ra Tương tự . Vậy . Dạng 3: CHỨNG MINH BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUI Phương pháp: Để chứng minh bốn điểm đồng phẳng ta tìm hai đường thẳng lần lượt đi qua hai trong bốn điểm trên và chứng minh song song hoặc cắt nhau, khi đó thuôc . Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ngoài cách chứng minh ở §1, ta có thể chứng minh lần lượt là giao tuyến của hai trong ba mặt phẳng trong đó có hai giao tuyến cắt nhau. Khi đó theo tính chất về giao tuyến của ba mặt phẳng ta được đồng qui. Các ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp có đáy là một tứ giác lồi. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh bên và . a) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. đôi một song song ( là giao điểm của và ). B. không đồng quy ( là giao điểm của và ). C. đồng qui ( là giao điểm của và ). D. đôi một chéo nhau ( là giao điểm của và ). b) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Bốn điểm đồng phẳng. B. Bốn điểm không đồng phẳng. C. MN, EF chéo nhau D. Cả A, B, C đều sai Lời giải:
a) Trong gọi , dễ thấy là trung điểm của , suy ra là đường trung bình của tam giác. Vậy . Tương tự ta có nên thẳng hàng hay . Vậy minh đồng qui . b) Do nên và xác định một mặt phẳng. Suy ra đồng phẳng. Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Chứng minh: a) Bốn điểm đồng phẳng. b) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Bốn điểm đồng phẳng. B. Bốn điểm không đồng phẳng. C. MN, EF chéo nhau D. Cả A, B, C đều sai b) Ba đường thẳng đồng qui ( là giao điểm của và ). a) Khẳng định nào sau đây là đúng? A. đôi một song song ( là giao điểm của và ). B. không đồng quy ( là giao điểm của và ). C. đồng qui ( là giao điểm của và ). D. đôi một chéo nhau ( là giao điểm của và ).
Lời giải: a) Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và . Ta có . Tương tự Lại có Từ và suy ra . Vậy bốn điểm đồng phẳng. b) Dễ thấy cũng là hình bình hành và . Xét ba mặt phẳng và ta có : . Do đó theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng đồng qui. |
