Trong không gian cho các điểm và đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,4y - z + 3 = 0\) và hai đường thẳng \({\Delta _1}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{4} = \dfrac{{z - 2}}{3}\), \({\Delta _2}:\,\,\dfrac{{x + 4}}{5} = \dfrac{{y + 7}}{9} = \dfrac{z}{1}\). Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cắt cả hai đường thẳng \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) có phương trình là

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Quảng cáo

Do đường thẳng song song với mặt phẳng ( P) và vuông góc với đường thẳng d’ nên

Suy ra

Mà d’ không vuông góc với (P)

=>Véc tơ chỉ phương của d là

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( đã biết) và nhận vecto ud→ làm vecto chỉ phương

=> phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d.

Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2; -1), song song với mặt phẳng (P): x + y – z = 3 và vuông góc với đường thẳng d’:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là:

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

d đi qua điểm M (1; 2; -1)

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (0; 1; 2), song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng d':

A .

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Phương trình mặt phẳng ( Oxy) là: z= 0; vecto pháp tuyến của mặt phẳng này là:

Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là:

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (Oxy) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

d đi qua điểm M (0; 1; 2)

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn C.

Ví dụ 3 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho mặt phẳng (P) : y- 2z- 1= 0 và đường thẳng Δ :

. Phương trình chính tắc đường thẳng d đi qua điểm B( 2 ; 2 ; - 2) song song với (P) và vuông góc với Δ là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

Gọi ud→ là vectơ chỉ phương của d.

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng Δ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

Vậy phương trình chính tắc của d là:

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): 2x+ y- 5z+ 1= 0. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A (1;1;1) song song với ( P) và vuông góc với trục tung là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Trục tung Oy có vectơ chỉ phương

.

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

.

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với trục tung nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

.

Đường thẳng d đi qua điểm A( 1; 1; 1) và có vectơ chỉ phương là

Vậy phương trình của d là:

Chọn D.

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt cầu (S): x2 +(y-1)2 +(z+ 2)2 = 4. Phương trình đường thẳng d đi qua tâm của mặt cầu (S), song song với mặt phẳng (P): x+ y- 2z= 0 và vuông góc với đường thẳng Δ:

là.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Tâm của mặt cầu ( S) là I( 0 ;1 ; -2) .

+ Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

.

+ Mặt phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng d đi qua điểm I( 0 ; 1 ; -2) và có vectơ chỉ phương là :

Vậy phương trình của d là

Chọn A.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y+ 2z- 5= 0 và hai điểm A(-3; 0; 1); B( 1; -1; 3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất có phương trình là.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng cần tìm

+ Gọi mặt phẳng (Q) qua A( -3; 0;1) và song song với (P).

Khi đó: (Q) có dạng: x- 2y+ 2z + D= 0

Thay tọa độ điểm A vào phương trình ( Q) ta được : -3- 2.0+ 2.1+ D= 0 ⇔ D = 1

Vậy phương trình ( Q): x- 2y + 2z +1= 0

+ Gọi K; H lần lượt là hình chiếu của B lên d; (Q).

Ta có: d( B; d) = BK ≥BH

Do đó AH là đường thẳng cần tìm.

+ Mặt phẳng ( Q) có vectơ pháp tuyến

BH qua B và có vectơ chỉ phương

=> Phương trình đường thẳng BH là:

+ Đường thẳng d đi qua điểm A( -3; 0; 1) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của d là

Chọn A.

Ví dụ 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( 2; 0; 0); B( 0; 3; 0) và C( 0; 0; 1); đường thẳng d:

. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M (-1; 2; 0)song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d.

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Phương trình đoạn chắn mặt phẳng ( P):

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm M(-1 ; 2 ; 0) và có vectơ chỉ phương là :

Vậy phương trình của Δ là

Chọn A.

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( 1; 2; 1); B( -2; 1; 0) và C( 0; 0; 1) . Đường thẳng d có phương trình :

. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M( 0; 0; -3) và song song với (P); vuông góc với đường thẳng d.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Ta tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P)

Ta có:

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng Δ đi qua điểm M( 0; 0; - 3) và có vectơ chỉ phương là :

Vậy phương trình của Δ là

Chọn B.

Câu 1:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng ( P): 2x- y+ 9= 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(2;1; 1) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng AB biết A( -1; 2; 0) và B( -2; 3; 1)?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

+ Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( 2 ; 1 ; 1) và có vectơ chỉ phương là :

=> Phương trình chính tắc của đường thẳng d là

Chọn C.

Câu 2:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M (-1; 1; -1), song song với mặt phẳng (Oxz) và vuông góc với đường thẳng d^':

A .

B.

C.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

+ Phương trình mặt phẳng (Oxz) là y= 0 vecto pháp tuyến của mặt phẳng này là:

+ Vecto chỉ phương của đường thẳng d’ là:

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (Oxz) và vuông góc với đường thẳng d’ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

d đi qua điểm M ( -1; 1; -1)

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn C.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho mặt phẳng (P) : 2x+ y+ 2z- 1= 0 và đường thẳng Δ:

. Phương trình chính tắc đường thẳng d đi qua điểm B( 2 ; -1 ; 5) song song với (P) và vuông góc với Δ là

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

.

Gọi ud→ là vectơ chỉ phương của d.

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng Δ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

Vậy phương trình chính tắc của d là:

Chọn A

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): 2x+ 3y+ 1= 0. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A (2; 2; 2) song song với (P)và vuông góc với trục hoành là

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Trục hoành Ox có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

Do đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với trục hoành nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

Đường thẳng d đi qua điểm A( 2;2;2) và có vectơ chỉ phương là

Vậy phương trình của d là:

Chọn D.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt cầu (S): (x+ 1)2 +(y-2)2 +z2 = 1. Phương trình đường thẳng d đi qua tâm của mặt cầu (S), song song với mặt phẳng (P): x+ 2z - 2= 0 và vuông góc với đường thẳng

là.

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

+ Tâm của mặt cầu ( S) là I( -1 ; 2 ; 0) .

+ Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương

.

+ Mặt phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng d đi qua điểm I(-1 ; 2 ;0) và có vectơ chỉ phương là :

Vậy phương trình của d là

Chọn A.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y+ 2z- 5= 0; điểm A(2;1; 1); B( -1; 2; 3) . Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và đi qua A. Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;0; 0) đồng thời song song với (P) và vuông góc với đường thẳng OB?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

+ Mặt phẳng (Q) qua A(2; 1;1) và song song với (P).

Khi đó (Q) có dạng: x- 2y+ 2z + D= 0

Thay tọa độ điểm A vào phương trình ( Q) ta đưọc: 2- 2.1 + 2.1+ D= 0 ⇔ D = - 2

Vậy phương trình ( Q): x- 2y +2z - 2= 0

Mặt phẳng ( Q) có vecto pháp tuyến

+ Đường thẳng OB có vecto chỉ phương là:

+ Đường thẳng d đi qua điểm M(1;0 ; 0) và có vectơ chỉ phương là :

Vậy phương trình của d là

Chọn C.

Câu 7:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( 0;1; 0); B(-2; 0; 0) và C( 0; 0; 3); đường thẳng

. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M (-1; -1; -1)song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d.

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

+ Phương trình đoạn chắn mặt phẳng ( P):

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(-1 ; -1 ; -1) và có vectơ chỉ phương là :

Vậy phương trình của ∆ là

Chọn A.

Câu 8:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( -1; 2; 0); B( 3;2; 1) và C( 0; 0; - 1) . Đường thẳng d có phương trình :

. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M( 0; 1;1) và song song với (P); vuông góc với đường thẳng d.

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

+ Ta tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P)

Ta có:

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng ∆ đi qua điểm M( 0; 1 ;1) và có vectơ chỉ phương là :

Vậy phương trình của ∆ là

Chọn B.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp