10:37:3305/07/2022
Công thức tích của hướng của hai vectơ luôn làm nhiều bạn khó ghi nhớ, trong khi đó, công thức tích có hướng tích có hướng này lại được sử dụng rất nhiều trong phần hình học không gian ở lớp 12.
Vậy làm sao để ghi nhớ được công thức tích vô hướng của hai vectơ trong không gian một cách chính xác? Đó là câu hỏi mà nhiều em quan tâm. Bài viết dưới đây Hay học hỏi sẽ cùng các em hệ thống lại công thức tính tích có hướng của hai vectơ, tính chất và ứng dụng tích có hướng của 2 vectơ trong việc tính diện tích hình bình hành, diện tích tam giác và thể tích hình hộp, thể tích tứ diện.
Các em hãy truy cập hoặc vào trang google tìm kiếm "tiêu đề bài viết" + "tên site " để xem đầy đủ, chính xác và ủng hộ bài viết gốc của trang nhé. Vì hiện nay một số trang tự động sao chép lại , trình bày xấu, rất dễ thiếu sót làm các em khó hiểu.
I. Công thức tích có hướng của 2 vectơ
• Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vecto và .
Tích có hướng của hai vectơ và , kí hiệu là: được xác định bởi:
=(a2b3 - a3b2; a3b1 - a1b3; a1b2 - a2b1)
* Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ còn tích vô hướng của hai vectơ là một số.
» xem thêm tại hay học hỏi.vn: Các dạng bài tập viết phương trình mặt phẳng trong không gian Oxyz
II. Tính chất tích có hướng của 2 vectơ
•
•
•
•
•
» xem thêm tại hayhọchỏi.vn: Các dạng bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz
3. Ứng dụng của tích có hướng
Tích có hướng của vectơ trong không gian được ứng dụng trong việc chứng minh 3 điểm thẳng hàng, điều kiện đồng phẳng của 3 vectơ; tính diện tích hình bình hành, diện tích tam giác, thể tích khối hộp và thể tích tứ diện.
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ
và đồng phẳng
• Tính diện tích hình bình hành ABCD
• Tính diện tích tam giác ABC
• Tính thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D'
• Tính thể tích tứ diện ABCD
Hy vọng với bài viết về Công thức tích có hướng của hai vectơ? Tính chất của tích có hướng, Ứng dụng tích có hướng của hai vectơ của Hay Học Hỏi ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.
- Định nghĩa: Cho các véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\). Tích có hướng của hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) là véc tơ \(\overrightarrow u \), kí hiệu \(\overrightarrow u = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) hoặc $\overrightarrow u = \overrightarrow {{u_1}} \wedge \overrightarrow {{u_2}} $ và được xác định bằng tọa độ như sau:
\(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] =\) \( \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}&\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{z_1}\\{z_2}\end{array}&\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}{x_1}\\{x_2}\end{array}&\begin{array}{l}{y_1}\\{y_2}\end{array}\end{array}} \right|} \right) =\) \( \left( {{y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}} \right)\)
Véc tơ \(\overrightarrow u \) vuông góc với cả hai véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \)
- Tính chất:
+) \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = - \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right]\)
+) \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \) cùng phương \(\overrightarrow {{u_2}} \)
+) \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_1}} ;\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] \bot \overrightarrow {{u_2}} \)
+) \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{u_3}} = 0 \Leftrightarrow \) ba véc tơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow {{u_3}} \) đồng phẳng.
+) \(\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right| = \left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|\sin \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)\)
2. Ứng dụng tích có hướng
- Diện tích tam giác:
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\)
- Diện tích hình bình hành:
\({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right| = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\)
- Thể tích tứ diện:
\({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\)
- Thể tích khối hộp:
\({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AA'} } \right|\)
Chú ý: Khi thực hành tính toán, các em có thể tính tích có hướng ở ngoài nháp như sau:
+B1: Viết tọa độ mỗi véc tơ hai lần liền nhau, các tọa độ tương ứng của hai véc tơ thẳng cột.
\(\begin{array}{*{20}{r}}{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}&{{x_1}}&{{y_1}}&{{z_1}}\\{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}&{{x_2}}&{{y_2}}&{{z_2}}\end{array}\)
+ B2: Xóa bỏ hai cột ngoài cùng.
+ B3: Tính toán theo quy luật: Nhân chéo rồi trừ.
Ví dụ: Cho hai véc tơ \(\overrightarrow u = \left( {1;5;3} \right)\) và \(\overrightarrow v = \left( {2; - 1;0} \right)\). Tính tích có hướng của hai véc tơ trên.
Giải:
Ta sẽ sử dụng phương pháp thực hành ở trên như sau: (chỉ viết ngoài nháp)
Vậy \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {3;6; - 11} \right)\).