Vận tốc khối tâm là gì

Các đẳng thức (3.5), (3.6) cho phép ta xác định tọa độ khối tâm của một hệ chất

điểm. Bây giờ chúng ta đi khảo sát các tính chất của khối tâm về mặt động lực học.

c. Vận tốc của khối tâm

r

r

d ri r

r

= v i vector vận tốc của chất điểm M i p i = m i v = động lượng của

dt

Trong đó,

chất điểm Mi.

r

n

r

Nếu thay p = ∑ p i = tổng động lượng của hệ chất điểm, thì biểu thức (3.6) trở

i =1

thành:

Vậy: Tổng động lượng của hệ bằng động lượng của một chất điểm đặt tại khối

tâm của hệ, có khối lượng bằng tổng khối lượng của hệ và có vận tốc bằng vận tốc

khối tâm của hệ.

d. Phương trình chuyển động của khối tâm

Giả thiết các chất điểm m1, m2,…,mn của hệ lần lượt chịu tác dụng của các lực

r r

r

r r

r

F1 , F2 ..., Fn và chuyển động với những vectơ gia tốc a 1 , a 2 ,...a n thỏa mãn các phương

trình:

r

r

r r r r

r r

m1a 1 = F1 .m 2 a 2 = F2 ,...m n a n = Fn

Muốn tìm phương trình chuyển động của khối tâm, ta có đạo hàm (3.6) theo t:

34

r

r dV

Trong đó a =

là vectơ gia tốc của khối tâm. Từ (3.9) ta có thể kết luận rằng:

dt

Khối tâm của một hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng tổng

khối lượng của hệ và chịu tác dụng của một lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên hệ.

Chú ý:

- Trong (3.9), vế phải chỉ là tổng hợp các ngoại lực tác dụng vì theo định luật

Newton III, tổng hợp các nội lực tương tác của hệ bằng không.

- Chuyển động khối tâm của hệ được gọi là chuyển động toàn thể của hệ.

3.2. Định luật bảo toàn động lượng

3.2.1. Thiết lập

Đối với một hệ chất điểm chuyển động, ta có định lý về động lượng:

r

trong đó F là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ (theo định luật Newton III thì

tổng các nội lực tương tác trong hệ bằng 0).

Nếu hệ đang xét là một hệ cô lập (F = 0) thì:

Phát biểu: Tổng động lượng của một hệ cô lập là một đại lượng bảo toàn.

Mặt khác, ta biết rằng vận tốc chuyển động của khối tâm của hệ (3.7) cho bởi:

Vậy đối với một hệ chất điểm cô lập:

Khối tâm của một hệ cô lập hoặc đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.

35

3.2.2. Bảo toàn động lượng theo phương

r

Trong trường hợp một hệ chất điểm không cô lập nghĩa là F # 0 nhưng hình

r

chiếu của F lên một phương x nào đó luôn luôn bằng 0, khi đó nếu chiếu phương

trình vectơ

lên phương x ta được:

m1 v1x + m 2 v 2x ...,+ m n v vx = const

Vậy, hình chiếu của tổng động lượng của hệ lên phương x là một đại lượng bảo

toàn.

3.2.3. Ứng dụng

a. Giải thích hiện tượng súng giật lùi

Giả sử có một khẩu súng có khối lượng

M đặt trên một giá nằm ngang; trong

nòng súng có một viên đạn có khối lượng m. Nếu không có ma sát thì tổng hợp ngoại

lực tác dụng lên hệ (súng + đạn) tức là tổng hợp của trọng lượng (súng + đạn) và phản

lực pháp tuyến của giá sẽ triệt tiêu, do đó tổng động lượng của hệ bảo toàn.

Trước khi bắn tổng động lượng của hệ bằng 0. Khi bắn, đạn bay về phía trước

với vận tốc v, súng giật lùi về phía sau với vận tốc V. Do đó, động lượng của hệ sau

r

r

khi bắn sẽ là: mv + MV . Vì động lượng của hệ bảo toàn nên ta có:

r

r

Dấu trừ chứng tỏ V ngược chiều với v . Về giá trị V tỷ lệ với m và tỷ lệ nghịch

với M.

b. Chuyển động phản lực

r

Định luật Newton III F cũng như định luật bảo toàn động lượng là cơ sở để giải

thích các chuyển động phản lực. Chúng ta hãy vận dụng các định luật này để giải thích

chuyền động phản lực của các tên lửa.

Giả thiết có một vật chứa một hỗn hợp khí nóng, ban đầu đứng yên. Nếu hỗn hợp

khí được phụt ra phía sau thì theo định luật bảo toàn động lượng vật sẽ tiến lên phía

trước. Đó là nguyên tắc của tên lửa.

Ta gọi khối lượng tổng cộng ban đầu của tên lửa là M0. Trong quá trình chuyển

động, tên lửa luôn luôn phụt khí ra sau, khối lượng của nó giảm dần, vận tốc của nó

r

tăng dần. Ta hãy tính vận tốc v của tên lửa khi khối lượng của nó là M. Động lượng

r

r

của tên lửa lúc đó là: K = M v .

Qua một khoảng thời gian đi, tên lửa phụt ra sau một khối lượng khí bằng dM1.

36

r

Nếu vận tốc phụt khí đối với tên lửa luôn luôn không đổi và bằng u thì vận tốc phụt

r r

khí đối với hệ quy chiếu đang quan sát bằng u + v và động lượng của khí phụt ra là:

r r

dM1( u + v ). Sau khi phụt khí khối lượng tên lửa bằng M + dM (với dM = - dM1), vận

r

r

tốc của nó tăng lên thành v + dv . Vậy động lượng của tên lửa sau khi phụt khí là: (M +

r

r

dM)( v + dv ). Động lượng của hệ sau khi phụt khí là:

r r

r

r

K 2 = dM 1 (u + v) + (M + dM)(v + dv) với dM = - dM 1

Giả sử không có thành phần lực tác dụng theo phương chuyển động, theo định

luật bảo toàn động lượng ta có:

r

r

K1 = K 2

r

r

r r

r

( − dM(v + dv) + (M + dM)(v + dv) = Mv )

Hay

Khai triển các phép tính trong biểu thức trên và bỏ qua số hạng vô cùng bé bậc

r

hai - − dM.dv ta được:

r

r

Mdv = - udM (vì dv và u ngược chiều

Công thức (3.12) gọi là công thức Xiôncôpxki. Theo công thức này, muốn cho

vận tốc tên lửa lớn thì vận tốc phụt khí (đối với tên lửa) phải lớn và tỷ số - cũng phải

lớn.

3.3. Chuyển động của vật rắn quanh một trục cố định

Vật rắn là một hệ chất điểm trong đó khoảng các giữa các chất điểm luôn luôn

không đổi. Chuyển động của một vật rắn nói chung phức tạp, nhưng người ta chứng

minh được rằng mọi chuyển động của vật rắn bao giờ cũng có thể quy về tích của hai

chuyển động cơ bản: chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay.

3.3.1. Bậc tự do của vật rắn

Khi mô tả chuyển động của một vật rắn, ta phải xác định được chuyển động của

bất kỳ điểm nào của vật. Để xác định vị trí của vật rắn ta cần phải xác định vị trí của

ba điểm bất kỳ không thẳng hàng của nó, nghĩa là cần và chỉ cần xác định vị trí của

một tam giác bất kỳ gắn liền với vật rắn. Để xác định vị trí của một điểm trong không

gian cần phải xác định ba tọa độ, do đó vị trí của ba điểm bất kỳ được xác định bởi

chín tọa độ. Tuy nhiên, do tính chất của vật rắn, ba điểm đó chính là ba đỉnh của một

tam giác xác định nên chín tọa độ đó không độc lập đối với nhau mà liên hệ với nhau

bằng ba phương trình xác định độ dài không đổi của ba cạnh tam giác, thành thử chỉ

còn có sáu tọa độ là độc lập. Do đó để xác định vị trí của vật rắn chỉ cần 6 tọa độ hay 6

tham số độc lập.

Vậy: Số tham số độc lập cần biết để xác định hoàn toàn vị trí của vật rắn gọi là

số bậc tự do của nó.

37

Vật rắn hoàn toàn tự do có 6 bậc tự do. Nếu vật rắn không hoàn toàn tự do thì bậc

tự do của nó giảm xuống. Ví dụ vật rắn có một điểm hoàn toàn cố định thì ba tọa độ

của điểm đó là hoàn toàn xác định và vật rắn chỉ còn ba bậc tự do. Vật rắn có hai điểm

hoàn toàn cố định chỉ có một bậc tự do: nó chỉ có thể quay quanh trục đi qua hai điểm

trên và bậc tự do còn lại của nó sẽ xác định vị trí của vật quanh trục đó.

Nghiên cứu chuyển động của vật rắn tức là phải xác định hoàn toàn vị trí của vật

rắn tại mọi thời điểm, nói cách khác cần phải xác định được qui luật biến thiên theo

thời gian của các tham số độc lập. Rõ ràng là số phương trình cần phải biết bằng số

tham số độc lập hay là bậc tự do của vật rắn.

Vậy: bậc tự do của vật rắn cho biết số phương trình chuyển động độc lập cần

phải biết để có thể hoàn toàn xác định chuyển động của vật rắn.

3.3.2. Chuyển động tịnh tiến

Khi một vật rắn chuyển động tịnh tiến mọi chất điểm của nó chuyển động theo

những quỹ đạo giống nhau, vậy chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà

trong đó AB xác định bởi hai điểm bất kỳ A và B của vật rắn luôn song song với

chính nó.

Tại mỗi thời điểm các chất điểm của vật rắn

tịnh tiến đều có cùng vectơ vận tốc và gia tốc.

Vậy:- trong chuyển động tịnh tiến của vật

rắn, quỹ đạo của mọi điểm là những đường cong

như nhau, mọi nhau.

r

Giả thiết a là vectơ gia tốc chung của các chất điểm M1, M2,…, Mi;, của vật rắn,

các chất điểm này lần lượt có khối lượng là m1, m2,…, mi;, và lẩn lượt chịu các ngoại

lực tác dụng là F1, F2,…, Fi. Theo định luật II Newton ta có:

r r

m1a = F1

r r

m 2 a = F2

r r

m 3 a = F3

Các phương trình này chứng tỏ rằng các ngoại lực tác dụng lên vật rắn F1, F2,…,

Fi song song và cùng chiều, đây là một điều kiện cần để một vật chuyển động tịnh tiến.

Cộng các phương trình (3.13) vế theo vế ta được:

Đây là phương trình chuyển động của vật rắn tịnh tiến; nó giống như phương

trình chuyển động của một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của vật

rắn và chịu tác dụng một lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên vật rắn. Đây cũng chính

là phương trình chuyển động của khối tâm của vật rắn.

38

Như vậy, muốn khảo sát chuyển động tịnh tiến của một vật rắn ta chỉ cần xét

chuyến động của khối tâm của nó.

3.3.3. Chuyển động quay

Xét một vật rắn quay quanh trục quay Δ với vận tốc góc ω0 khi đó bậc tự do của

vật rắn chỉ còn bằng một. Vị trí của vật rắn được xác định bởi một tọa độ duy nhất là

góc quay θ. Ta có những nhận xét sau:

Mọi điểm của vật rắn vạch nên những vòng tròn có tâm nằm trên trục quay. Trong

cùng một khoảng thời gian, mọi điểm của vật rắn đều quay được một góc θ như nhau.

Tại cùng một thời điểm, mọi điềm của vật rắn đều

có cùng vận tốc góc:

ω0 =

dθ

d 2θ

và gia tốc góc β = 2

dt

dt

r

Tại một thời điểm, vectơ vận tốc dài v và gia tốc

tiếp tuyến của một chất điểm bất kỳ của vật rắn liên hệ

với vận tốc góc và gia tốc góc bởi các hệ thức sau:

r

r

v = (ω 0 x r )

r

r

a 1 = (ββ r )

Đây là những tính chất động học của chuyển động

quay của vật rắn xung quanh một trục cố định.

3.4. Phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn

Trong bài này ta sẽ thiết lập những phương trình cơ bản mô tả chuyển động quay

của vật rắn xung quanh một trục.

3.4.l. Mômen lực

a. Tác dụng của lực trong chuyển động quay

Giả thiết có một lực F tác dụng lên một vật rắn quay quanh trục Δ, đặt tại một

điểm M. Trước hết ta phân tích F ra hai thành phần:

r r r

F = F1 + F2

r

r

Trong đó F1 ⊥ trục và F2|| trục. Lực F1 , nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục

Δ đi qua M lại được phân tích thành hai thành phần:

r r r

F1 = F1 + Fn

r

Trong đó F1 ⊥ bán kính OM, nghĩa là nằm theo tiếp tuyến của vòng tròn tâm O

r

bán kính OM, còn Fn nằm theo bán kính OM. Kết quả ta có:

r r r r

F = F1 + Fn + F2

39

Trên hình (3.1) ta thấy rằng:

r

- Thành phần F2 không gây ra chuyển động

quay, chỉ có tác dụng làm vật rắn trượt dọc theo

trục quay, chuyển động này không thể có vì theo

giả thiết, vật rắn chỉ quay xung quanh trục Δ

r

- Thành phần Fn không gây ra chuyển động

quay, chỉ có tác dụng làm vật rắn rời khỏi trục

quay, chuyển động này cũng không thể có.

- Như vậy, trong chuyển động quay, tác

r

dụng của lực F tương đương với tác dụng của

r

thành phần Ft của nó.

Kết luận: Trong chuyển động quay của một vật rắn xung quanh một trục chỉ

những thành phần lực tiếp tuyến với quỹ đạo của điểm đặt mới có tác dụng thực sự.

Vì vậy trong các phần sau, để đơn giản, ta có thể giả thiết rằng, các lực tác dụng

lên vật rắn chuyển động quay đều là lực tiếp tuyến.

b. Mômen của lực đối với trục quay

r

Xét tác dụng của một lực tiếp tuyến Ft đặt tại một điểm M ứng với bán kính

OM=r. Thực nghiệm chứng tỏ rằng, tác dụng của lực F, không những phụ thuộc cường

độ của nó mà còn phụ thuộc khoảng cách r: khoảng cách này càng lớn thì tác dụng của

lực càng mạnh. Để đặc trưng cho tác dụng của lực trong chuyển động quay, người ta

đưa ra một đại lượng gọi là mômen lực.

r

Định nghĩa: Mômen của lực F , đối với trục quay Δ là một vectơ M xác định bởi

(hình 3.1)

r

r

Theo định nghĩa này, vectơ có phương vuông góc với mặt phẳng chứa r và Ft

nghĩa là phương của trục quay, có chiều thuận với chiều quay từ r sang Ft có trị số:

r

Chú ý: vì trong chuyển động quay tác dụng của lực F1 tương đương với tác dụng

r

r

của lực Ft nên người ta cũng định nghĩa M là vectơ mômen của Ft đối với trục Δ. Ta

r

có thể dễ dàng chứng minh được rằng: Mômen của một lực F1 đối với trục Δ sẽ bằng

không khi lúc đó bằng không hoặc khi đó đồng phẳng với Δ.

r

r

- Ta cũng thấy rằng mômen M của Ft đối với trục Δ là mômen của Ft đối với

r

điểm O, giao điểm của Δ và mặt phẳng chứa Ft vuông góc với Δ.

40

3.4.2. Thiết lập phương trình cơ bản của chuyển động quay

Thực nghiệm đã chứng tỏ rằng: tác dụng của các

ngoại lực làm thay đổi trạng thái chuyển động của vật

rắn quay, cụ thể là làm cho nó quay có gia tốc. Chúng

ta sẽ thiết lập phương trình nêu lên mối liên hệ đó.

Gọi Mi là một chất điểm bất kỳ của vật rắn, cách

r

trục một khoảng là ri ứng với bán kính vectơ OM i = r

có khối lượng mi và chịu tác dụng của ngoại lực tiếp

r

tuyến Fti (tổng hợp các nội lực tác dụng lên các chất

điểm của vật rắn bằng không, do vậy chúng không ảnh

hưởng gì đến chuyển động quay).

r

Chất điểm Mi sẽ chuyển động với vectơ gia tốc tiếp tuyến a ti ; cho bởi:

r

r

r r

m i a t i = Fi Nhân hữu hướng hai vế biểu thức trên với bán kính vectơ OM i = ri ta được:

Khai triển ngoại tích kép ở hai vế của (3.17) ta được:

vậy (3.18) trở thành:

cộng các phương trình (3.19) vế với vế theo i (cộng theo tất cả các chất điểm của

vật rắn) ta được:

Trong phương trình (3.19)

∑M

i

= M = tổng hợp mômen các ngoại lực tác dụng

i

lên vật rắn ∑ m i .ri2 = I gọi là mômen quán tính của vật rắn đối với trục Δ (bằng tổng

i

mômen quán tính của các chất điểm của vật rắn). Vậy ta có thể viết lại biểu thức (3.20)

như sau:

Phương trình (3.21) gọi là phương trình cơ bản của chuyển động quay của vật rắn

xung quanh một trục. Từ (3.21) ta cũng có thể viết lại như sau:

41

Và có thể phát biểu như sau: Gia tốc góc trong chuyển động quay của vật rắn

xung quanh một trục tỷ lệ với tổng hợp mômen các ngoại lực đối với trục và tỷ lệ

nghịch với mômen quán tính của vật rắn đối với trục.

Phương trình (3.21) nêu lên mối liên hệ giữa tác dụng ngoại lực đối với vật rắn

quay, đặc trưng bởi vectơ mômen M và sự thay đồi trạng thái chuyển động của vật rắn

r

quay, đặc trưng bởi yectơ gia tốc góc β . Phương trình này tương tự như phương trình

r

r

của định luật II Newton đối với chuyển động tịnh tiến ma = F , trong đó I có ý nghĩa

tương tự như khối lượng m. Vậy, I là đại lượng đặc trưng cho mức quán tính của vật

rắn trong chuyển động quay.

3.4.3. Tính mômen quán tính

Mômen quán tính I của vật rắn đối với một

trục Δ được tính theo công thức:

Trong đó mi,.r2i là mômen quán tính của chất

điểm Mi của vật rắn đổi với trục và phép cộng lấy

cho tất cả các chất điểm của vật rắn.

Nếu khối lượng của vật rắn phân bố một cách liên tục, muốn tính mômen quán

tính I, ta chia vật rắn thành những phần tử vô cùng nhỏ, mỗi phần tử có khối lượng vi

phân dm và cách trục Δ một khoảng r; khi đó phép cộng ở vế phải của (3.23) trở thành

phép lấy tích phân:

Ví dụ 1: Tính mômen quán tính I của một thanh đồng chất chiều dài 1, khối

lượng M đối với trục Δ0 đi qua trung điểm G của thanh và vuông góc với thanh. Ta xét

một phần tử của thanh khối lượng dm, chiều dài dx cách G một đoạn x. Mômen quán

tính của tìm đối với trục Δ0 là:

dI = x2.dm (3.25)

Vì thanh là đồng chất nên khối lượng của các đoạn trên thanh tỷ lệ với chiều dài

của các đoạn đó:

42

Mômen quán tính I của thanh đối với trục Δ0 là:

Ví dụ 2: Tính mômen quán tính của một đĩa đồng chất bán kính R, khối lượng M

đối với trục Δ0 của đĩa:

Ta phân tích đĩa thành những phần tử hình vành khăn bán kính x, bề rộng dx.

diện tích vành khăn là:

dS = d (x πx2) = 2πxdx

Gọi khối lượng của phần tử hình vành khăn là md,

mômen quán tính của nó là:

dI = x2dm

(3.27)

Vì đĩa đồng chất nên khối lượng của các phần tử

trên đĩa tỷ lệ với diện tích của các phần tử:

Do đó, (3.27) trở thành:

Mômen quán tính I của đĩa đối với trục Δ0 bằng:

Chú ý: Biểu thức của I trong (3.29) không phụ thuộc chiều dày của đĩa, vì vậy,

công thức (3.29) cũng áp dụng được để tính I của một vật đồng chất hình trụ tròn khối

lượng M, bán kính R.

Bằng những phép tính tương tự, ta có thể tìm được mômen quán tính của những

vật đồng chất có hình dạng đối xứng đối với trục của chúng.

Hình 3.5. Mômen quán tính của mã số vật rắn.

43

Định lý Stein-Huygen:

Ở trên ta tìm được mômen quán tính của các vật đối với trục đối xứng Δ0 đi qua

khối tâm G của chúng. Trong nhiều trường hợp ta phải tìm mômen quán tính đối với

một trục bất kỳ. Khi đó ta có thể áp dụng định lý Stein-Huygen sau:

Mômen quán tính của một vật rắn đối

với một trục Δ bất kỳ bằng mômen quán tính

của vật đối với trục Δ0 song song với Δ đi

qua khối tâm G của vật cộng với khoảng

cách d giữa hai trục: I = I0 + Md2 (3.30)

Dưới đây sẽ chứng minh định lý này cho một trường hợp đơn giản: trường hợp

của thanh đồng chất chiều dài 1 khối lượng M.

Giả thiết hai trục Δ và Δ0 cùng vuông góc với thanh (hình 3.6). Lấy một phần tử

chiều dài dx, khối lượng dm của thanh, cách G một khoảng x (x > 0 nếu tìm ở bên phải

G và x < 0 nếu tìm ở bên trái G). Mômen quán tính của tìm đối với trục Δ là (d+x)2dm;

mômen quán tính của thanh đối với trục Δ là:

I = ∫ dm(x + d) 2 (tích phân theo các phần tử của thanh)

Khai triển các phép tính ta có:

I = ∫ dm(x 2 + 2dx + d 2 ) = ∫ x 2 dm + 2d ∫ xdm + d 2 ∫ dm

Nhưng ∫ x 2 dm = I 0 = mômen quán tính của thanh đối với trụcΔ0; ∫dm = M = khối

lượng của thanh; ∫xdm = 0, vì trong tổng đó cứ mỗi phần tử bên phải dx (có x > 0) lại

ứng với một phần tử đối xứng bên trái dx (có x > 0), do đó hai số hạng tương ứng có x

ngược dấu nên khử nhau. Cuối cùng ta có:

I = I0 +Md2

3.5. Mômen động lượng của một hệ chất điểm

3.5.1. Định nghĩa

Một hệ chất điểm Mi, M2,…,Mi,… lần lượt cổ khối lượng m1 , m 2 ,..., m i ,... và

r

r

r

chuyển động với những vận tốc v1 , v 2 ,..., v i ,... đối với một hệ quy chiếu gốc O. Tại

thời điểm t vị trí những chất điểm ấy được xác định bởi các vector bán kính

r r

r

r1 , r2 ,..., ri ,...

Mômen động lượng của hệ chất điểm đối với điểm O được định nghĩa bởi:

bằng tổng các mômen động lượng của các chất điểm trong hệ đó với O.

44