Tôi nghĩ chúng ta nên bắt đầu với lịch sử của một công cụ toán học huy hoàng như phương trình vi phân. Giống như tất cả các phép tính vi phân và tích phân, những phương trình này được Newton phát minh vào cuối thế kỷ 17. Ông coi khám phá này rất quan trọng của mình, đến nỗi ông thậm chí còn mã hóa thông điệp, mà ngày nay có thể được dịch như thế này: "Tất cả các quy luật tự nhiên đều được mô tả bằng các phương trình vi phân." Điều này có vẻ như là một sự phóng đại, nhưng đó là sự thật. Mọi quy luật vật lý, hóa học, sinh học đều có thể được mô tả bằng các phương trình này.
Các nhà toán học Euler và Lagrange đã có một đóng góp to lớn trong việc phát triển và tạo ra lý thuyết về phương trình vi phân. Vào thế kỷ 18, họ đã khám phá và phát triển những gì họ đang học trong các khóa học cao cấp của các trường đại học.
Một cột mốc mới trong việc nghiên cứu phương trình vi phân bắt đầu nhờ Henri Poincare. Anh ây đa tạo ra " lý thuyết định tính phương trình vi phân ”, kết hợp với lý thuyết hàm của một biến phức, đã đóng góp đáng kể vào nền tảng của cấu trúc liên kết - khoa học về không gian và các tính chất của nó.
Phương trình vi phân là gì?
Nhiều người sợ một cụm từ. Tuy nhiên, trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết toàn bộ bản chất của cụm từ rất hữu ích này bộ máy toán học, thực ra không phức tạp như tên gọi. Để bắt đầu nói về phương trình vi phân cấp một, trước tiên bạn nên làm quen với các khái niệm cơ bản vốn có liên quan đến định nghĩa này. Hãy bắt đầu với bộ vi sai.
Khác biệt
Nhiều người biết khái niệm này từ khi đi học. Tuy nhiên, chúng ta hãy xem xét kỹ hơn nó. Hãy tưởng tượng một đồ thị của một hàm số. Chúng ta có thể tăng nó đến mức mà bất kỳ phân đoạn nào của nó sẽ có dạng một đường thẳng. Trên đó, chúng ta lấy hai điểm gần nhau vô hạn. Sự khác biệt giữa các tọa độ của chúng (x hoặc y) sẽ là một giá trị nhỏ. Nó được gọi là vi phân và được ký hiệu bằng các dấu hiệu dy (vi phân với y) và dx (vi phân với x). Điều rất quan trọng là phải hiểu rằng vi phân không phải là một giá trị hữu hạn, và đây là ý nghĩa và chức năng chính của nó.
Và bây giờ cần phải xem xét yếu tố sau đây, nó sẽ hữu ích cho chúng ta trong việc giải thích khái niệm của một phương trình vi phân. Đây là một dẫn xuất.
Phát sinh
Tất cả chúng ta có lẽ đã nghe khái niệm này trong trường học. Đạo hàm được cho là tốc độ tăng hoặc giảm của một hàm. Tuy nhiên, phần lớn định nghĩa này trở nên khó hiểu. Hãy thử giải thích đạo hàm dưới dạng vi phân. Hãy quay lại phân đoạn vô cùng nhỏ của một hàm với hai điểm cách nhau một khoảng nhỏ nhất. Nhưng ngay cả đối với khoảng cách này, hàm quản lý để thay đổi một số lượng. Và để mô tả sự thay đổi này, họ đã đưa ra một đạo hàm, có thể được viết theo cách khác là một tỷ số của vi phân: f (x) "= df / dx.
Bây giờ đáng xem xét Các tính chất cơ bản phát sinh. Chỉ có ba trong số chúng:
- Đạo hàm của tổng hoặc hiệu có thể được biểu diễn dưới dạng tổng hoặc hiệu của các đạo hàm: (a + b) "= a" + b "và (a-b)" = a "-b".
- Tính chất thứ hai liên quan đến phép nhân. Đạo hàm của một tích là tổng các tích của một hàm và đạo hàm của một hàm khác: (a * b) "= a" * b + a * b ".
- Đạo hàm của hiệu có thể được viết dưới dạng đẳng thức sau: (a / b) "= (a" * b-a * b ") / b 2.
Tất cả những tính chất này sẽ hữu ích cho chúng ta trong việc tìm kiếm lời giải của phương trình vi phân cấp một.
Ngoài ra còn có các đạo hàm riêng. Giả sử chúng ta có một hàm z phụ thuộc vào các biến x và y. Để tính đạo hàm riêng của hàm này, chẳng hạn, đối với x, chúng ta cần lấy biến y làm hằng số và đơn giản là phân biệt.
Tích phân
Một khái niệm quan trọng khác là tích phân. Trong thực tế, điều này là đối lập trực tiếp với đạo hàm. Có một số loại tích phân, nhưng để giải các phương trình vi phân đơn giản nhất, chúng ta cần
Vì vậy, giả sử chúng ta có một số phụ thuộc của f vào x. Chúng ta lấy tích phân từ nó và nhận được hàm F (x) (thường được gọi là đạo hàm), đạo hàm của nó bằng nguyên hàm. Do đó F (x) "= f (x). Cũng theo đó tích phân của đạo hàm bằng nguyên hàm.
Khi giải phương trình vi phân, điều rất quan trọng là phải hiểu ý nghĩa và chức năng của tích phân, vì bạn sẽ phải mất công tìm cách giải rất thường xuyên.
Các phương trình là khác nhau tùy thuộc vào bản chất của chúng. Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ xét các dạng của phương trình vi phân cấp một, sau đó chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải.
Các loại phương trình vi phân
"Diffura" được phân chia theo thứ tự của các dẫn xuất liên quan đến chúng. Như vậy, có thứ tự thứ nhất, thứ hai, thứ ba và nhiều hơn nữa. Chúng cũng có thể được chia thành nhiều lớp: đạo hàm thông thường và đạo hàm riêng.
Trong bài này, chúng ta sẽ xét phương trình vi phân thường bậc nhất. Chúng tôi cũng sẽ thảo luận về các ví dụ và cách giải quyết chúng trong phần sau. Chúng tôi sẽ chỉ xem xét ODE, vì đây là loại phương trình phổ biến nhất. Thông thường được chia thành các phân loài: với các biến có thể phân tách, đồng nhất và không đồng nhất. Tiếp theo, bạn sẽ tìm hiểu chúng khác nhau như thế nào và tìm hiểu cách giải quyết chúng.
Ngoài ra, các phương trình này có thể kết hợp với nhau để sau khi ta được hệ phương trình vi phân bậc nhất. Chúng tôi cũng sẽ xem xét các hệ thống như vậy và tìm hiểu cách giải quyết chúng.
Tại sao chúng tôi chỉ xem xét đơn đặt hàng đầu tiên? Bởi vì bạn cần phải bắt đầu với một cái đơn giản, và đơn giản là không thể mô tả mọi thứ liên quan đến phương trình vi phân trong một bài báo.
Phương trình biến số có thể tách rời
Đây có lẽ là những phương trình vi phân bậc nhất đơn giản nhất. Chúng bao gồm các ví dụ có thể được viết như sau: y "= f (x) * f (y). Để giải phương trình này, chúng ta cần công thức biểu diễn đạo hàm dưới dạng tỷ lệ vi phân: y" = dy / dx. Sử dụng nó, chúng ta nhận được phương trình sau: dy / dx = f (x) * f (y). Bây giờ chúng ta có thể chuyển sang phương pháp giải pháp ví dụ tiêu chuẩn: chúng ta sẽ chia các biến thành các phần, tức là chúng ta sẽ chuyển mọi thứ có biến y sang phần có dy và chúng ta sẽ làm tương tự với biến x. Ta thu được một phương trình có dạng: dy / f (y) = f (x) dx, được giải bằng cách lấy tích phân của cả hai phần. Đừng quên về hằng số, hằng số phải được đặt sau khi lấy tích phân.
Giải pháp của bất kỳ "độ chênh lệch" nào là một hàm của sự phụ thuộc của x vào y (trong trường hợp của chúng ta) hoặc, nếu có một điều kiện số, thì câu trả lời ở dạng số. Chúng ta hãy nhìn vào ví dụ cụ thể toàn bộ quá trình của giải pháp:
Chúng tôi chuyển các biến theo các hướng khác nhau:
Bây giờ chúng ta lấy tích phân. Tất cả chúng có thể được tìm thấy trong một bảng đặc biệt của tích phân. Và chúng tôi nhận được:
log (y) = -2 * cos (x) + C
Nếu được yêu cầu, chúng ta có thể biểu thị "y" dưới dạng một hàm của "x". Bây giờ chúng ta có thể nói rằng phương trình vi phân của chúng ta được giải nếu không có điều kiện nào được đưa ra. Một điều kiện có thể được đưa ra, ví dụ, y (n / 2) = e. Sau đó, chúng ta chỉ cần thay thế giá trị của các biến này vào nghiệm và tìm giá trị của hằng số. Trong ví dụ của chúng tôi, nó bằng 1.
Thuần nhất phương trình vi phân bậc nhất
Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phần khó hơn. Phương trình vi phân thuần nhất bậc nhất có thể được viết bằng nhìn chung do đó: y "= z (x, y). Cần lưu ý rằng đúng chức năng trên hai biến là đồng nhất, và nó không thể được chia thành hai phụ thuộc: z trên x và z trên y. Việc kiểm tra xem phương trình có thuần nhất hay không khá đơn giản: ta thực hiện phép thay thế x = k * x và y = k * y. Bây giờ chúng tôi hủy bỏ tất cả k. Nếu tất cả các chữ cái này được rút gọn, thì phương trình là thuần nhất và bạn có thể tiến hành giải nó một cách an toàn. Nhìn về phía trước, hãy nói rằng: nguyên tắc giải các ví dụ này cũng rất đơn giản.
Chúng ta cần thực hiện một phép thay thế: y = t (x) * x, trong đó t là một số hàm cũng phụ thuộc vào x. Khi đó chúng ta có thể biểu diễn đạo hàm: y "= t" (x) * x + t. Thay tất cả những điều này vào phương trình ban đầu của chúng ta và đơn giản hóa nó, chúng ta nhận được một ví dụ với các biến t và x có thể phân tách. Chúng ta giải nó và nhận được sự phụ thuộc t (x). Khi chúng tôi nhận được nó, chúng tôi chỉ cần thay y = t (x) * x vào thay thế trước đó của chúng tôi. Khi đó chúng ta nhận được sự phụ thuộc của y vào x.
Để làm rõ hơn, hãy xem một ví dụ: x * y "= y-x * e y / x.
Khi kiểm tra với một sự thay thế, mọi thứ đều giảm. Vì vậy phương trình thực sự thuần nhất. Bây giờ chúng ta thực hiện một sự thay thế khác mà chúng ta đã nói về: y = t (x) * x và y "= t" (x) * x + t (x). Sau khi đơn giản hóa, chúng tôi nhận được phương trình sau: t "(x) * x \ u003d -e t. Chúng tôi giải ví dụ kết quả với các biến được tách biệt và nhận được: e -t \ u003dln (C * x). Chúng tôi chỉ cần thay thế t với y / x (vì nếu y \ u003d t * x thì t \ u003d y / x) và chúng tôi nhận được câu trả lời: e -y / x \ u003d ln (x * C).
Phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất
Đã đến lúc xem xét một chủ đề rộng lớn khác. Chúng ta sẽ phân tích phương trình vi phân cấp một không thuần nhất. Chúng khác nhau như thế nào so với hai phần trước? Hãy tìm ra nó. Phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất ở dạng tổng quát có thể được viết như sau: y "+ g (x) * y \ u003d z (x). Cần làm rõ rằng z (x) và g (x) có thể là các giá trị không đổi .
Và bây giờ là một ví dụ: y "- y * x = x 2.
Có hai cách để giải quyết, và chúng tôi sẽ phân tích cả hai theo thứ tự. Phương pháp đầu tiên là phương pháp biến đổi của các hằng số tùy ý.
Để giải phương trình theo cách này, trước tiên bạn phải cân bằng vế phải với 0 và giải phương trình kết quả, sau khi chuyển các phần sẽ có dạng:
ln | y | = x 2/2 + C;
y \ u003d e x2 / 2 * y C \ u003d C 1 * e x2 / 2.
Bây giờ chúng ta cần thay hằng số C 1 bằng hàm v (x), mà chúng ta phải tìm.
Hãy thay đổi đạo hàm:
y "= v" * e x2 / 2 -x * v * e x2 / 2.
Hãy thay các biểu thức này vào phương trình ban đầu:
v "* e x2 / 2 - x * v * e x2 / 2 + x * v * e x2 / 2 = x 2.
Có thể thấy rằng hai điều khoản bị hủy bỏ ở phía bên trái. Nếu trong một số ví dụ, điều này không xảy ra, thì bạn đã làm sai điều gì đó. Tiếp tục đi:
v "* e x2 / 2 = x 2.
Bây giờ chúng ta giải phương trình thông thường, trong đó chúng ta cần tách các biến:
đv / dx = x 2 / e x2 / 2;
dv = x 2 * e - x2 / 2 dx.
Để rút tích phân, chúng ta phải áp dụng tích phân theo từng phần ở đây. Tuy nhiên, đây không phải là chủ đề của bài viết của chúng tôi. Nếu quan tâm, bạn có thể tự học cách thực hiện các thao tác đó. Nó không khó, và với đủ kỹ năng và sự cẩn thận, nó không mất nhiều thời gian.
Hãy chuyển sang giải pháp thứ hai. phương trình thuần nhất: Phương pháp Bernoulli. Cách tiếp cận nào nhanh hơn và dễ dàng hơn là tùy thuộc vào bạn.
Vì vậy, khi giải phương trình bằng phương pháp này, ta cần thực hiện thay thế: y = k * n. Ở đây k và n là một số hàm phụ thuộc x. Khi đó đạo hàm sẽ giống như sau: y "= k" * n + k * n ". Chúng ta thay cả hai phép thay thế vào phương trình:
k "* n + k * n" + x * k * n = x 2.
Phân nhóm:
k "* n + k * (n" + x * n) = x 2.
Bây giờ chúng ta cần cân bằng với 0 những gì trong ngoặc. Bây giờ, nếu chúng ta kết hợp hai phương trình thu được, chúng ta sẽ có một hệ phương trình vi phân cấp một cần giải:
Chúng tôi giải phương trình đầu tiên như một phương trình thông thường. Để làm điều này, bạn cần tách các biến:
Lấy tích phân ta được: ln (n) = x 2/2. Sau đó, nếu chúng ta biểu thị n:
Bây giờ chúng ta thay thế đẳng thức kết quả thành phương trình thứ hai của hệ thống:
k "* e x2 / 2 \ u003d x 2.
Và biến đổi, chúng ta nhận được cùng một bình đẳng như trong phương pháp đầu tiên:
dk = x 2 / e x2 / 2.
Chúng tôi cũng sẽ không phân tích cú pháp hành động hơn nữa. Điều đáng nói là lúc đầu việc giải phương trình vi phân bậc nhất gây ra những khó khăn không nhỏ. Tuy nhiên, với việc đắm mình sâu hơn vào chủ đề, nó bắt đầu trở nên tốt hơn và tốt hơn.
Phương trình vi phân được sử dụng ở đâu?
Phương trình vi phân được sử dụng rất tích cực trong vật lý, vì hầu hết tất cả các định luật cơ bản đều được viết bằng dạng vi phân, và những công thức mà chúng ta thấy là nghiệm của những phương trình này. Trong hóa học, chúng được sử dụng với lý do tương tự: các định luật cơ bản bắt nguồn từ chúng. Trong sinh học, các phương trình vi phân được sử dụng để mô hình hóa hành vi của các hệ thống, chẳng hạn như động vật ăn thịt-con mồi. Chúng cũng có thể được sử dụng để tạo ra các mô hình sinh sản, chẳng hạn như một đàn vi sinh vật.
Phương trình vi phân sẽ giúp ích như thế nào trong cuộc sống?
Câu trả lời cho câu hỏi này rất đơn giản: không thể nào. Nếu bạn không phải là một nhà khoa học hoặc kỹ sư, thì họ không chắc sẽ hữu ích cho bạn. Tuy nhiên, đối với phát triển chung Không hại gì khi biết phương trình vi phân là gì và nó được giải như thế nào. Và sau đó là câu hỏi của con trai hay con gái "phương trình vi phân là gì?" sẽ không làm bạn bối rối. Vâng, nếu bạn là một nhà khoa học hoặc một kỹ sư, thì bản thân bạn hiểu tầm quan trọng của chủ đề này trong bất kỳ ngành khoa học nào. Nhưng điều quan trọng nhất bây giờ là câu hỏi "làm thế nào để giải một phương trình vi phân cấp một?" bạn luôn có thể trả lời. Đồng ý, sẽ luôn tuyệt vời khi bạn hiểu những gì mọi người thậm chí sợ phải hiểu.
Những vấn đề chính trong học tập
Vấn đề chính khi hiểu chủ đề này là kỹ năng tích hợp và phân biệt các hàm số còn kém. Nếu bạn kém trong việc lấy đạo hàm và tích phân, thì có lẽ nên học thêm, nắm vững các phương pháp tích phân và phân biệt, và chỉ sau đó tiến hành nghiên cứu tài liệu đã được mô tả trong bài báo.
Một số người ngạc nhiên khi họ biết rằng dx có thể được chuyển, bởi vì trước đó (trong trường học) người ta nói rằng phân số dy / dx là không thể chia hết. Ở đây bạn cần đọc các tài liệu về đạo hàm và hiểu rằng đó là tỉ số của các đại lượng vô cùng nhỏ để có thể vận dụng khi giải phương trình.
Nhiều người không nhận ra ngay rằng nghiệm của phương trình vi phân cấp một thường là một hàm số hoặc một tích phân không thể lấy được, và sự ảo tưởng này mang lại cho họ rất nhiều rắc rối.
Những gì khác có thể được nghiên cứu để hiểu rõ hơn?
Tốt nhất là bắt đầu đắm mình hơn nữa trong thế giới phép tính vi phân từ sách giáo khoa chuyên ngành, chẳng hạn, phân tích toán học dành cho sinh viên các chuyên ngành không chuyên toán. Sau đó, bạn có thể chuyển sang văn học chuyên ngành hơn.
Điều đáng nói, ngoài phương trình vi phân còn có cả phương trình tích, nên bạn sẽ luôn có điều gì đó để phấn đấu và điều gì đó để học tập.
Sự kết luận
Chúng tôi hy vọng rằng sau khi đọc bài viết này, bạn đã biết phương trình vi phân là gì và làm thế nào để giải chúng một cách chính xác.
Trong bất kỳ trường hợp nào, toán học vẫn có ích cho chúng ta trong cuộc sống. Nó phát triển logic và sự chú ý, nếu không có nó thì mọi người đều giống như không có tay.
Hiện nay, theo trình độ học toán cơ bản, chỉ có 4 giờ học Toán ở trường phổ thông (2 giờ đại số, 2 giờ hình học). Ở các trường học nhỏ ở nông thôn, họ cố gắng tăng số giờ học với chi phí của thành phần trường học. Nhưng nếu lớp học là nhân đạo, thì thành phần trường họcđược bổ sung vào việc nghiên cứu các đối tượng nhân đạo. Trong một ngôi làng nhỏ, thường đứa trẻ không phải chọn trường nào, nó học ở lớp đó; những gì có sẵn trong trường. Anh ta sẽ không trở thành một luật sư, nhà sử học hay nhà báo (có những trường hợp như vậy), nhưng muốn trở thành một kỹ sư hoặc một nhà kinh tế, vì vậy kỳ thi môn toán phải đạt điểm cao. Trong hoàn cảnh đó, giáo viên dạy toán phải tự tìm cách thoát khỏi tình huống này, ngoài ra, theo sách giáo khoa của Kolmogorov, việc nghiên cứu chủ đề "phương trình thuần nhất" không được cung cấp. Trong những năm trước, để giới thiệu chủ đề này và củng cố nó, tôi cần hai bài học kép. Thật không may, sự kiểm tra giám sát giáo dục ở trường chúng tôi đã cấm các bài học kép, vì vậy số lượng bài tập phải giảm xuống còn 45 phút, và theo đó mức độ khó của bài tập được hạ xuống mức trung bình. Tôi mang đến cho các bạn một giáo án về chủ đề này ở lớp 10 với mức cơ bản học toán trong một ngôi trường nhỏ hoàn chỉnh ở nông thôn.
Loại bài học: truyên thông.
Mục tiêu: học giải phương trình thuần nhất điển hình.
Nhiệm vụ:
nhận thức:
Giáo dục:
Giáo dục:
- Giáo dục tính siêng năng thông qua việc kiên nhẫn thực hiện nhiệm vụ, tinh thần thân thiện thông qua việc làm việc theo cặp và nhóm.
Trong các lớp học
TÔI. Tổ chức sân khấu(3 phút)
II. Kiểm tra kiến thức cần thiết để đồng hóa vật liệu mới (10 phút)
Xác định những khó khăn chính với phân tích sâu hơn về các nhiệm vụ đã thực hiện. Các em có 3 lựa chọn để lựa chọn. Các nhiệm vụ được phân biệt theo mức độ phức tạp và mức độ chuẩn bị của trẻ, sau đó là phần giải thích trên bảng đen.
1 cấp độ. Giải các phương trình:
- 3 (x + 4) = 12,
- 2 (x-15) = 2x-30
- 5 (2-x) = - 3x-2 (x + 5)
- x 2 -10x + 21 = 0 Đáp số: 7; 3
2 cấp độ. Giải quyết đơn giản nhất phương trình lượng giác và phương trình bậc hai:
câu trả lời:
b) x 4 -13x 3 + 36 = 0 Đáp số: -2; 2; -3; 3
Cấp độ thứ 3. Giải phương trình bằng phương pháp đổi biến số:
b) x 6 -9x 3 + 8 = 0 Đáp án:
III. Chủ đề thông điệp, thiết lập mục tiêu và mục tiêu.
Môn học: Phương trình thuần nhất
Mục tiêu: học cách giải các phương trình thuần nhất điển hình
Nhiệm vụ:
nhận thức:
- làm quen với phương trình thuần nhất, học cách giải các dạng phương trình thường gặp nhất.
Giáo dục:
- Phát triển tư duy phân tích.
- Phát triển các kỹ năng toán học: học cách làm nổi bật các đặc điểm chính của phương trình thuần nhất khác với các phương trình khác, có thể thiết lập tính tương tự của phương trình thuần nhất trong các biểu hiện khác nhau của chúng.
IV. Tích hợp kiến thức mới (15 phút)
1. Bài giảng thời điểm.
Định nghĩa 1(Ghi vào vở). Phương trình có dạng P (x; y) = 0 được gọi là thuần nhất nếu P (x; y) là một đa thức thuần nhất.
Một đa thức theo hai biến x và y được gọi là thuần nhất nếu bậc của mỗi số hạng của nó bằng cùng một số k.
Định nghĩa 2(Chỉ là phần giới thiệu). Các phương trình có dạng
được gọi là phương trình thuần nhất bậc n đối với u (x) và v (x). Bằng cách chia cả hai vế của phương trình cho (v (x)) n, chúng ta có thể sử dụng phép thay thế để thu được phương trình
Điều này đơn giản hóa phương trình ban đầu. Trường hợp v (x) = 0 phải được xét riêng vì không thể chia hết cho 0.
2. Ví dụ về phương trình thuần nhất:
Giải thích tại sao chúng đồng nhất, đưa ra các ví dụ của riêng bạn về các phương trình như vậy.
3. Nhiệm vụ cho định nghĩa của phương trình thuần nhất:
Ở giữa phương trình đã cho xác định phương trình thuần nhất và giải thích lựa chọn của bạn:
Sau khi giải thích lựa chọn của bạn trên một trong các ví dụ, hãy chỉ ra cách giải một phương trình thuần nhất:
4. Tự quyết định:
Trả lời:
b) 2sin x - 3 cos x \ u003d 0
Chia cả hai vế của phương trình cho cos x, ta được 2 tg x -3 = 0, tg x = ⅔, x = arctg⅔ +
5. Hiển thị Giải pháp Ví dụ về Sách giới thiệu“P.V. Chulkov. Phương trình và bất phương trình trong khóa học ở trường toán học. Matxcova Đại học sư phạm"Đầu tháng 9" 2006 tr.22. Là một trong những điều có thể SỬ DỤNG các ví dụ cấp độ C.
V. Giải củng cố theo Bashmakov SGK
trang 183 số 59 (1.5) hoặc theo sách giáo khoa do Kolmogorov biên tập: trang 81 số 169 (a, c)
câu trả lời:
VI. Kiểm tra, làm việc độc lập (7 phút)
| 1 lựa chọn | Lựa chọn 2 |
| Giải phương trình: | |
| a) sin 2 x-5sinxcosx + 6cos 2 x \ u003d 0 | a) 3sin 2 x + 2sin x cos x-2cos 2 x = 0 |
b) cos 2 -3sin 2 \ u003d 0 | b) |
Câu trả lời cho các nhiệm vụ:
Phương án 1 a) Đáp số: arctg2 + πn, n € Z; b) Đáp số: ± π / 2 + 3πn, n € Z; trong)
Phương án 2 a) Đáp số: arctg (-1 ± 31/2) + πn, n € Z; b) Đáp số: -arctg3 + πn, 0,25π + πk ,; c) (-5; -2); (5; 2)
VII. Bài tập về nhà
Số 169 theo Kolmogorov, số 59 theo Bashmakov.
Ngoài ra, giải hệ phương trình:
Đáp số: arctg (-1 ± √3) + πn,
Người giới thiệu:
- P.V. Chulkov. Phương trình và bất phương trình trong khóa học toán học ở trường. - M .: Đại học Sư phạm "Đầu tháng 9", 2006. tr 22
- A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Lượng giác. - M .: "AST-PRESS", 1998, trang 389
- Đại số lớp 8 do N.Ya chủ biên. Vilenkin. - M .: "Khai sáng", 1997.
- Đại số lớp 9 do N.Ya chủ biên. Vilenkin. Matxcova "Khai sáng", 2001.
- M.I. Bashmakov. Đại số và sự khởi đầu của phân tích. Dành cho lớp 10-11 - M .: "Enfying" 1993
- Kolmogorov, Abramov, Dudnitsyn. Đại số và sự khởi đầu của phân tích. Dành cho lớp 10-11. - M .: "Khai sáng", 1990.
- A.G. Mordkovich. Đại số và sự khởi đầu của phân tích. Phần 1 SGK Ngữ văn lớp 10-11. - M .: "Mnemosyne", 2004.
Câu trả lời được tạo sẵn cho các ví dụ cho phương trình vi phân thuần nhất Nhiều sinh viên đang tìm kiếm đơn hàng đầu tiên (DE của đơn hàng 1 là phổ biến nhất trong đào tạo), sau đó bạn có thể phân tích chúng một cách chi tiết. Nhưng trước khi tiếp tục xem xét các ví dụ, chúng tôi khuyên bạn nên đọc kỹ phần tóm tắt tài liệu lý thuyết.
Phương trình có dạng P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0, trong đó các hàm P (x, y) và Q (x, y) là các hàm thuần nhất cùng bậc, được gọi là phương trình vi phân thuần nhất(ODR).
Sơ đồ giải một phương trình vi phân thuần nhất
1. Đầu tiên, bạn cần áp dụng phép thay thế y = z * x, trong đó z = z (x) là một hàm mới chưa biết (do đó phương trình ban đầu được rút gọn thành phương trình vi phân với các biến có thể phân tách. 2. Đạo hàm của tích là y "= (z * x)" = z "* x + z * x" = z "* x + z hoặc theo vi phân dy = d (zx) = z * dx + x * dzô.
3. Tiếp theo, chúng tôi thay thế tính năng mới y và đạo hàm của nó y "(hoặc dy) trong DE với các biến có thể phân táchđối với x và z.
4. Sau khi giải phương trình vi phân với các biến có thể phân tách, chúng ta sẽ thực hiện một phép thay thế ngược lại y = z * x, do đó z = y / x, và chúng ta nhận được quyết định chung(tích phân tổng quát) của phương trình vi phân.
5. Nếu cho điều kiện ban đầu y (x 0) = y 0, sau đó chúng ta tìm thấy một giải pháp cụ thể cho bài toán Cauchy. Về lý thuyết, mọi thứ nghe có vẻ dễ dàng, nhưng trên thực tế, không phải ai cũng vui vẻ giải các phương trình vi phân. Vì vậy, để khắc sâu kiến thức, hãy xem xét các ví dụ thông thường. Đối với các nhiệm vụ dễ dàng, không có nhiều thứ để dạy cho bạn, vì vậy chúng tôi sẽ ngay lập tức chuyển sang những nhiệm vụ phức tạp hơn.
Các phép tính của phương trình vi phân thuần nhất bậc nhất
ví dụ 1
Giải: Chia vế phải của phương trình cho biến là nhân tử gần đạo hàm. Kết quả là, chúng tôi đến phương trình vi phân thuần nhất bậc 0
Và ở đây nó trở nên thú vị với nhiều người, làm thế nào để xác định bậc của một hàm của một phương trình thuần nhất? Câu hỏi đủ liên quan và câu trả lời cho nó như sau:
ở phía bên phải, chúng tôi thay thế giá trị t * x, t * y thay vì hàm và đối số. Khi đơn giản hóa, tham số "t" nhận được ở một mức độ k nào đó, và nó được gọi là bậc của phương trình. Trong trường hợp của chúng tôi, "t" sẽ bị giảm xuống, tương đương với độ 0 hoặc bậc không của phương trình thuần nhất.
Xa hơn ở phía bên phải, chúng ta có thể chuyển sang biến mới y = zx; z = y / x. Đồng thời, đừng quên biểu diễn đạo hàm của “y” thông qua đạo hàm của biến mới. Theo quy tắc của các bộ phận, chúng tôi nhận thấyPhương trình vi phân sẽ có hình thức
Chúng tôi giảm các điều khoản chung ở bên phải và bên trái và chuyển sang phương trình vi phân với các biến phân tách.Hãy để chúng tôi tích hợp cả hai phần của DE
Theo các tính chất của logarit, thu được phương trình logarit tương đương với điều sau
Do đó họ tìm thấy nghiệm tổng quát của phương trình vi phân. Nếu bạn đọc kỹ các bài học trước, thì chúng tôi nói rằng bạn sẽ có thể áp dụng sơ đồ tính toán các phương trình với các biến được phân tách một cách tự do và các phương trình như vậy sẽ phải được tính toán nhiều hơn các loại phức tạp DU.
Ví dụ 2
Tìm tích phân của một phương trình vi phân
Do đó, chúng ta thu được DE đồng nhất đơn hàng không.Bước tiếp theo là giới thiệu sự thay đổi của các biến z = y / x, y = z * x mà chúng tôi sẽ liên tục nhắc các bạn ghi nhớ Sau đó, chúng tôi viết DE dưới dạng vi phân
Tiếp theo, chúng tôi chuyển đổi sự phụ thuộc thành phương trình vi phân với các biến phân tách
Hằng số "C" nhận bất kỳ giá trị nào. Các bạn nào học vắng gặp khó khăn trong các kỳ thi với dạng phương trình này thì hãy xem kỹ và ghi nhớ sơ đồ tính nhé.
Ví dụ 3
Giải phương trình vi phân
Giải pháp: Như sau từ kỹ thuật trên, các phương trình vi phân loại này giải được bằng cách giới thiệu một biến mới. Hãy viết lại sự phụ thuộc để đạo hàm không có biến
Đơn giản hóa các điều khoản giống nhau và giảm tất cả các điều khoản đã nhận thành DE với các biến riêng biệtBằng cách tích hợp cả hai mặt của sự bình đẳng
Bằng cách tiết lộ các phụ thuộc mà chúng tôi tìm thấy nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân
Đó là tất cả sự khôn ngoan trong phép tính của phương trình vi phân thuần nhất.
Trên bài học này chúng tôi sẽ xem xét cái gọi là phương trình vi phân thuần nhất bậc nhất. Cũng như phương trình biến phân tách và phương trình không thuần nhất tuyến tính loại điều khiển từ xa này được tìm thấy trong hầu hết mọi Công việc kiểm soát về chủ đề lan tỏa. Nếu bạn vào trang từ một công cụ tìm kiếm hoặc không tin tưởng lắm vào phương trình vi phân, thì trước tiên, tôi thực sự khuyên bạn nên học một bài học giới thiệu về chủ đề này - Phương trình vi phân bậc nhất. Thực tế là nhiều nguyên tắc để giải phương trình thuần nhất và các kỹ thuật được sử dụng sẽ giống hệt như đối với các phương trình đơn giản nhất với các biến có thể phân tách được.
Sự khác biệt giữa phương trình vi phân thuần nhất và các loại DE khác là gì? Điều này dễ giải thích nhất ngay sau đây bằng một ví dụ cụ thể.
ví dụ 1
Quyết định:
Gì chủ yếu nên được phân tích khi quyết định không tí nào phương trình vi phân đơn hàng đầu tiên? Trước hết, cần kiểm tra xem có thể tách ngay các biến bằng các hành động "trường" hay không? Thông thường, một phân tích như vậy được thực hiện trong tâm lý hoặc cố gắng tách các biến trong một bản nháp.
TẠI ví dụ này các biến không thể tách rời(bạn có thể thử lật các thuật ngữ từ phần này sang phần khác, lấy các yếu tố ra khỏi dấu ngoặc, v.v.). Nhân tiện, trong ví dụ này, thực tế là các biến không thể được chia là khá rõ ràng do sự hiện diện của nhân tố.
Câu hỏi đặt ra - làm thế nào để giải quyết vấn đề này?
Cần kiểm tra và Phương trình này có thuần nhất không?? Việc xác minh rất đơn giản và bản thân thuật toán xác minh có thể được xây dựng như sau:
Đối với phương trình ban đầu:
thay vì thay thế , thay vì thay thế , không chạm vào đạo hàm:
Chữ lambda là một tham số có điều kiện và ở đây nó đóng vai trò vai trò tiếp theo: nếu là kết quả của phép biến đổi, có thể "phá hủy" TẤT CẢ các lambdas và nhận được phương trình ban đầu, thì phương trình vi phân này là đồng nhất.
Rõ ràng, lambdas ngay lập tức hủy bỏ theo số mũ:
và chia cả hai phần bằng cùng một lambda này:
Kết quả là tất cả các những con lambdas biến mất như một giấc mơ, như một làn sương sớm, và chúng tôi đã có được phương trình ban đầu.
Sự kết luận: Phương trình này là đồng nhất
Làm thế nào để giải một phương trình vi phân thuần nhất?
Tôi có một tin rất tốt. Hoàn toàn có thể giải được tất cả các phương trình thuần nhất bằng một phép thay thế chuẩn duy nhất (!).
Hàm "y" nên thay thế công việc một số chức năng (cũng phụ thuộc vào "x") và "x":
Hầu như luôn viết ngắn gọn:
Chúng tôi tìm hiểu đạo hàm sẽ biến thành gì với sự thay thế như vậy, chúng tôi sử dụng quy tắc để phân biệt một sản phẩm. Nếu, thì:
Thay thế trong phương trình ban đầu:
Một sự thay thế như vậy sẽ cung cấp cho những gì? Sau khi thay thế này và các đơn giản hóa được thực hiện, chúng tôi đảm bảo chúng ta thu được một phương trình với các biến có thể phân tách. NHỚ như mối tình đầu :) và, theo đó,.
Sau khi thay thế, chúng tôi thực hiện đơn giản hóa tối đa:
Vì là một hàm phụ thuộc vào "x", nên đạo hàm của nó có thể được viết dưới dạng phân số chuẩn:. Như vậy: Chúng tôi tách các biến, trong khi ở phía bên trái, bạn chỉ cần thu thập "te" và ở phía bên phải - chỉ "x": Các biến được tách biệt, chúng tôi tích hợp:
Theo mẹo công nghệ đầu tiên của tôi từ bài báo Phương trình vi phân bậc nhất trong nhiều trường hợp cần thiết phải “lập công thức” một hằng số ở dạng logarit.
Sau khi phương trình được tích hợp, bạn cần thực hiện thay thế ngược lại, nó cũng là tiêu chuẩn và duy nhất: Nếu, thì
TẠI trường hợp này:
Trong 18-19 trường hợp trong số 20, nghiệm của phương trình thuần nhất được viết dưới dạng tích phân tổng quát.
Trả lời: tích phân tổng quát:
Tại sao câu trả lời cho một phương trình thuần nhất hầu như luôn luôn được đưa ra dưới dạng một tích phân tổng quát?
Trong hầu hết các trường hợp, không thể diễn đạt "y" ở dạng rõ ràng (để có được một giải pháp chung), và nếu có thể, thì hầu hết các giải pháp chung trở nên rườm rà và vụng về.
Vì vậy, chẳng hạn, trong ví dụ đã xét, có thể thu được nghiệm tổng quát bằng cách treo logarit trên cả hai phần của tích phân tổng quát:
Nhân tiện, trong ví dụ này, tôi đã không hoàn toàn “thành thạo” viết ra tích phân tổng quát. Nó không phải là một sai lầm, nhưng theo kiểu "hay", tôi nhắc các bạn, theo kiểu viết tích phân tổng quát thì theo thói quen. Để làm điều này, ngay sau khi tích phân phương trình, hằng số phải được viết mà không có bất kỳ lôgarit nào (Đó là ngoại lệ đối với quy tắc!):
Và sau khi thay thế ngược lại, nhận được tích phân tổng quát ở dạng "cổ điển":
Câu trả lời nhận được có thể được kiểm tra. Để làm được điều này, bạn cần phân biệt tích phân tổng quát, tức là tìm đạo hàm của một hàm được xác định một cách ngầm định:
Phương trình vi phân ban đầu đã được nhận, có nghĩa là nghiệm đã được tìm thấy đúng.
Nó được khuyến khích để luôn luôn kiểm tra. Nhưng các phương trình thuần nhất rất khó chịu vì thường rất khó để kiểm tra tích phân tổng quát của chúng - điều này đòi hỏi một kỹ thuật phân biệt rất, rất tốt. Trong ví dụ được xem xét, trong quá trình xác minh, cần phải tìm không phải các dẫn xuất đơn giản nhất (mặc dù bản thân ví dụ này khá đơn giản). Nếu bạn có thể kiểm tra nó, hãy kiểm tra nó ra!
Ví dụ 2
Kiểm tra tính thuần nhất của phương trình và tìm tích phân tổng quát của nó.
Viết câu trả lời vào biểu mẫu
Đây là một ví dụ cho giải pháp độc lập- để bạn quen với thuật toán của các hành động. Kiểm tra lúc rảnh rỗi, bởi vì. ở đây nó khá phức tạp, và tôi thậm chí còn không bắt đầu đưa nó ra, nếu không bạn sẽ không còn đến với một kẻ điên cuồng như vậy nữa :)
Và bây giờ là lời hứa tâm điểm, được đề cập ở đầu chủ đề,
chữ in đậm màu đen:
Nếu trong quá trình biến đổi ta "đặt lại" hệ số (không phải là hằng số)về mẫu số, thì chúng ta RỦI RO để mất các giải pháp!
Và trên thực tế, chúng tôi đã gặp phải điều này ngay trong ví dụ đầu tiên. bài học giới thiệu về phương trình vi phân. Trong quá trình giải phương trình, "y" hóa ra ở mẫu số: nhưng, rõ ràng, là một nghiệm của DE, và do kết quả của một phép biến đổi không tương đương (phép chia), có mọi cơ hội Mất nó! Một điều nữa là nó đã trở thành giải pháp chung khi giá trị bằng không các hằng số. Việc đặt lại "x" thành mẫu số cũng có thể bị bỏ qua, bởi vì không thỏa mãn tính khuếch tán ban đầu.
Một câu chuyện tương tự với phương trình thứ ba của cùng một bài học, trong lúc giải chúng tôi đã “rơi” vào mẫu số. Nói một cách chính xác, ở đây cần phải kiểm tra xem độ khuếch tán đã cho có phải là một giải pháp hay không? Rốt cuộc, nó là! Nhưng ngay cả ở đây “mọi thứ đều diễn ra”, vì hàm này nhập vào tích phân tổng quát
Và nếu điều này thường xảy ra với các phương trình "có thể phân tách";) nó "cuộn", thì với đồng nhất và một số khác biệt khác, nó có thể "không cuộn". Với một xác suất cao.
Hãy phân tích các vấn đề đã được giải quyết trong bài học này: ví dụ 1đã có một "thiết lập lại" của x, tuy nhiên, nó không thể là một nghiệm của phương trình. Nhưng trong ví dụ 2 chúng tôi chia thành
Ví dụ 3
Giải phương trình vi phân
Nó không phải là một ví dụ đơn giản? ;-)
Quyết định: tính đồng nhất của phương trình này là hiển nhiên, nhưng vẫn - trên bước đầu tiên LUÔN LUÔN kiểm tra xem các biến có thể được tách biệt hay không. Đối với phương trình cũng thuần nhất, nhưng các biến trong nó được tách ra một cách lặng lẽ. Vâng, có một số!
Sau khi kiểm tra "khả năng phân tách", chúng tôi thực hiện thay thế và đơn giản hóa phương trình nhiều nhất có thể:
Chúng tôi tách các biến, ở bên trái chúng tôi thu thập "te", ở bên phải - "x":
Và đây là DỪNG LẠI. Khi chia cho chúng ta có nguy cơ mất hai chức năng cùng một lúc. Kể từ đó, đây là các chức năng:
Hàm đầu tiên rõ ràng là một nghiệm cho phương trình
- đẳng thức đúng nhận được, có nghĩa là hàm là một nghiệm.
Và chúng tôi có nguy cơ mất những quyết định này.
Ngoài ra, mẫu số là "X", tuy nhiên, sự thay thế ngụ ý rằng nó khác 0. Hãy nhớ thực tế này. Nhưng! Hãy chắc chắn để kiểm tra, cho dù là một nghiệm của phương trình vi phân GỐC. Không, không phải đâu.
Hãy ghi lại tất cả những điều này và tiếp tục:
Phải nói rằng chúng tôi đã may mắn với tích phân bên trái, nó xảy ra tồi tệ hơn nhiều.
Chúng tôi thu thập một lôgarit duy nhất ở phía bên phải và đặt lại cùm:
Nhân tất cả các điều khoản với:
Bây giờ để kiểm tra - liệu các giải pháp "nguy hiểm" có được đưa vào tích phân chung hay không. Có, cả hai nghiệm đều được bao gồm trong tích phân tổng quát ở giá trị 0 của hằng số:, vì vậy chúng không cần phải được chỉ ra thêm trong trả lời:
tích phân tổng quát:
Kiểm tra. Thậm chí không phải là một bài kiểm tra, mà là niềm vui thuần túy :)
Phương trình vi phân ban đầu đã được nhận, có nghĩa là nghiệm đã được tìm thấy đúng.
Đối với một giải pháp độc lập:
Ví dụ 4
Thực hiện kiểm tra tính đồng nhất và giải phương trình vi phân
Tích phân tổng quát có thể được kiểm tra bằng cách phân biệt.
Giải pháp hoàn chỉnh và đáp án ở cuối bài.
Hãy xem xét một vài ví dụ trong đó một phương trình thuần nhất được đưa ra với các vi phân được tạo sẵn.
Ví dụ 5
Giải phương trình vi phân
Cái này rất ví dụ thú vị, trực tiếp toàn bộ phim kinh dị!
Quyết định Chúng ta sẽ quen với việc làm cho nó nhỏ gọn hơn. Đầu tiên, về mặt tinh thần hoặc trên bản nháp, chúng tôi đảm bảo rằng các biến không thể được chia ở đây, sau đó chúng tôi kiểm tra tính đồng nhất - nó thường không được thực hiện trên một bản sao rõ ràng (trừ khi được yêu cầu cụ thể). Do đó, hầu như lúc nào giải pháp cũng bắt đầu bằng mục nhập: " Phương trình này là thuần nhất, hãy thay thế: ...».
Nếu một phương trình thuần nhất chứa các vi phân được tạo sẵn, thì nó có thể được giải bằng một phép thay thế đã sửa đổi:
Nhưng tôi không khuyên bạn nên sử dụng sự thay thế như vậy, vì kết quả sẽ là Tuyệt vời Tường Trung Quốc vi sai, nơi bạn cần một con mắt và một con mắt. Từ quan điểm kỹ thuật, sẽ thuận lợi hơn nếu chuyển sang ký hiệu "gạch ngang" của đạo hàm, vì điều này, chúng tôi chia tất cả các số hạng của phương trình cho:
Và ở đây chúng tôi đã thực hiện một sự biến đổi "nguy hiểm"! Vi phân không tương ứng với - một họ các đường song song với trục. Chúng có phải là gốc rễ của DU của chúng ta không? Thay thế trong phương trình ban đầu:
Sự bình đẳng này đúng nếu, nghĩa là, khi chia cho chúng ta có nguy cơ mất lời giải, và chúng tôi đã đánh mất nó- bởi vì nó không còn thỏa mãn phương trình kết quả
Cần lưu ý rằng nếu chúng ta ban đầu phương trình đã cho
Chúng tôi tiếp tục giải pháp với sự thay thế tiêu chuẩn:
:
Sau khi thay thế, chúng tôi đơn giản hóa phương trình càng nhiều càng tốt:
Tách các biến:
Và ở đây một lần nữa DỪNG LẠI: khi chia cho chúng ta có nguy cơ mất hai chức năng. Kể từ đó, đây là các chức năng:
Rõ ràng, hàm đầu tiên là một nghiệm của phương trình
- nhận bình đẳng thực sự, vì vậy hàm số cũng là một nghiệm của phương trình vi phân.
Và khi chia cho chúng ta có nguy cơ mất các giải pháp này. Tuy nhiên, chúng có thể nhập vào một tích phân chung. Nhưng họ có thể không vào.
Hãy lưu ý điều này và tích hợp cả hai phần:
Tích phân của phía bên trái được giải theo tiêu chuẩn bằng cách sử dụng lựa chọn một hình vuông đầy đủ, nhưng trong bộ khuếch tán, nó thuận tiện hơn nhiều để sử dụng phương pháp hệ số không xác định:
Sử dụng phương pháp hệ số không xác định, chúng tôi mở rộng tích phân thành tổng các phân số cơ bản:
Như vậy:
Chúng tôi tìm thấy tích phân:
- vì chúng ta chỉ rút ra logarit, nên chúng ta cũng đẩy hằng số xuống dưới logarit.
Trước khi thay thế đơn giản hóa một lần nữa mọi thứ có thể được đơn giản hóa:
Bây giờ chúng ta nhớ lại "lỗ": giải pháp nhập vào tích phân chung tại, nhưng - "đã bay qua máy tính tiền", bởi vì xuất hiện ở mẫu số. Do đó, trong câu trả lời, nó được trao một cụm từ riêng biệt, và có - đừng quên về quyết định bị mất, nhân tiện, hóa ra cũng nằm ở phía dưới.
Trả lời: tích phân tổng quát:
Không quá khó để diễn đạt giải pháp chung ở đây:
, nhưng điều này đã được phô trương.
Thuận tiện, tuy nhiên, để thử nghiệm. Hãy tìm đạo hàm:
và thay thế
- kết quả là nhận được phần bên phải phương trình đã được xác minh.
Sự khác biệt sau đây là của riêng nó:
Ví dụ 6
Giải phương trình vi phân
Có đầy đủ lời giải và đáp án cuối bài. Hãy thử cùng một lúc để đào tạo và thể hiện giải pháp chung tại đây.
Trong phần cuối cùng của bài học, chúng ta sẽ xem xét một số nhiệm vụ đặc trưng hơn về chủ đề này:
Ví dụ 7
Giải phương trình vi phân
Quyết định: Hãy đi theo dõi. Phương trình này là thuần nhất, hãy thay đổi:
Với "x", mọi thứ đều theo thứ tự, nhưng đây là điều sai với tam thức vuông? Vì nó không thể phân chia thành các yếu tố:, vì vậy chúng tôi chắc chắn không mất các giải pháp. Nó sẽ luôn luôn như thế này! Chọn hình vuông đầy đủ ở phía bên trái và tích hợp:
Trả lời: tích phân tổng quát:
Ví dụ 8
Giải phương trình vi phân
Đây là một ví dụ do-it-yourself.
Cho nên:
Đối với các chuyển đổi không tương đương, LUÔN LUÔN kiểm tra (ít nhất là bằng lời nói), bạn không đánh mất quyết định của mình! Các phép biến hình này là gì? Như một quy luật, giảm bớt một cái gì đó hoặc chia thành một cái gì đó. Vì vậy, ví dụ, khi chia cho, bạn cần kiểm tra xem các hàm có phải là nghiệm của một phương trình vi phân hay không. Đồng thời, khi chia cho nhu cầu kiểm tra như vậy đã biến mất - do thực tế là ước số này không biến mất.
Đây là một số khác tình huống nguy hiểm:
Ở đây, để loại bỏ, người ta nên kiểm tra xem nó có phải là giải pháp cho DE hay không. Thông thường, “x”, “y” được tìm thấy như một cấp số nhân, và khi giảm chúng, chúng ta sẽ mất các hàm có thể trở thành nghiệm.
Mặt khác, nếu một cái gì đó là BAN ĐẦU ở mẫu số, thì không có lý do gì để lo lắng như vậy. Vì vậy, trong một phương trình thuần nhất, bạn không phải lo lắng về hàm, vì nó được "khai báo" ở mẫu số.
Sự tinh tế được liệt kê không làm mất đi tính liên quan của chúng, ngay cả khi nó được yêu cầu chỉ để tìm ra một giải pháp cụ thể cho vấn đề. Có một cơ hội nhỏ nhưng chúng ta sẽ đánh mất chính xác giải pháp cụ thể được yêu cầu. Sự thật Vấn đề Cauchy trong nhiệm vụ thực tế với các phương trình thuần nhất được yêu cầu khá hiếm khi. Tuy nhiên, có những ví dụ như vậy trong bài báo Phương trình giảm thành đồng nhất, mà tôi khuyên bạn nên nghiên cứu "theo đuổi nóng" để củng cố kỹ năng giải quyết của bạn.
Ngoài ra còn có các phương trình thuần nhất phức tạp hơn. Khó khăn không nằm ở việc thay đổi biến số hoặc đơn giản hóa, mà là ở những tích phân khá khó hoặc hiếm xảy ra do sự tách biệt của các biến số. Tôi có các ví dụ về các giải pháp cho các phương trình thuần nhất như vậy - các tích phân xấu xí và các câu trả lời xấu xí. Nhưng chúng ta sẽ không nói về chúng, bởi vì trong các bài học tiếp theo (xem bên dưới) Anh còn có thời gian để hành hạ em nữa, anh muốn nhìn em tươi tắn và lạc quan!
Khuyến mãi thành công!
Giải pháp và câu trả lời:
Ví dụ 2: Quyết định: kiểm tra phương trình về tính đồng nhất, đối với điều này, trong phương trình ban đầu thay vì hãy đặt, và thay vì hãy thay thế:
Kết quả là, phương trình ban đầu thu được, có nghĩa là DE này là đồng nhất.