X+y+z=100 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương

+Thành Viên+

Tham gia ngày: Sep 2014

Đến từ: Quảng Trị

Bài gởi: 19

Thanks: 4

Thanked 1 Time in 1 Post

$x+y+z=100$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương mà $x\leqslant y\leqslant z$

1. Có bao nhiêu cách chọn $3$ số phân biệt từ tập $A=\left \{ 1,2,3,4...,100 \right \}$ mà có một số là trung bình cộng của hai số kia 2. Có bao nhiêu cách chọn $k$ số nguyên từ tập $N=\left \{ 1,2,3,...,n \right \}$ mà không có hai số nào có hiệu bằng $1$ 3. Phương trình $x+y+z=100$ có bao nhiêu nghiệm nguyên dương mà $x\leqslant y\leqslant z$

4. Cho tập $D=\left \{ 0,1,2,3,4,5 \right \}$. Có bao nhiêu số có $5$ chữ số lấy từ tập $D$ mà mỗi số có đúng ba chữ số giống nhau
[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] 

Đáp án D

Viết dãy 111...111 (21 chữ số 1)

ta thấy, với mỗi cách điền hai số 0 vào dãy trên

ta được 1 cặp nghiệm nguyên dương của phương trình x + y + z = 21.

Do đó, có C202=190 cách điền ứng với 190 cặp nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Đã gửi 20-09-2013 - 22:37

Cho phương trình $x+y+z=100$ (1)

a. Tìm số nghiệm nguyên ko âm của (1)

b.Tìm số nghiệm nguyên của (1) thỏa $x>1;y>2;z>3$

Đã gửi 20-09-2013 - 23:33

Cho phương trình $x+y+z=100$ (1)

a. Tìm số nghiệm nguyên ko âm của (1)

b.Tìm số nghiệm nguyên của (1) thỏa $x>1;y>2;z>3$

Xét phương trình $x+y+z=n\quad(1')$

$\fbox a$

Số nghiệm nguyên không âm của $(1')$ tương đương với số nghiệm nguyên dương của $x'+y'+z'=n+3$ là $C_{n+2}^2$ (Bài toán chia kẹo Euler)

Ở đây $n=100$ nên suy ra Đáp số: $C_{102}^2$

Cách khác:

$\fbox a$

Ứng với mỗi $z=n-x-y$ thì $x$ chạy từ $0$ đến $n$ còn $y$ chạy từ $0$ đến $n-x$.Nên:

$S_n=\sum_{x=0}^n\sum_{y=0}^{n-x}1=\sum_{x=0}^n (n-x+1)=(n+1)(n+1)-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}=C_{n+2}^2$

$\fbox b$

Đặt $a=x-2;\;b=y-3;\; c=z-4$ như vậy $a,b,c$ đều không âm. Khi đó:

$a+b+c=91$

Với $n=91$ thì Đáp số: $C_{93}^2$

Cuộc sống thật nhàm chán! Ngày mai của ngày hôm qua chẳng khác nào ngày hôm qua của ngày mai, cũng như ngày hôm nay vậy!

Đã gửi 31-07-2015 - 16:38

Xét phương trình $x+y+z=n\quad(1')$

$\fbox a$

Số nghiệm nguyên không âm của $(1')$ tương đương với số nghiệm nguyên dương của $x'+y'+z'=n+3$ là $C_{n+2}^2$ (Bài toán chia kẹo Euler)

Ở đây $n=100$ nên suy ra Đáp số: $C_{102}^2$

Cách khác:

$\fbox a$

Ứng với mỗi $z=n-x-y$ thì $x$ chạy từ $0$ đến $n$ còn $y$ chạy từ $0$ đến $n-x$.Nên:

$S_n=\sum_{x=0}^n\sum_{y=0}^{n-x}1=\sum_{x=0}^n (n-x+1)=(n+1)(n+1)-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}=C_{n+2}^2$

$\fbox b$

Đặt $a=x-2;\;b=y-3;\; c=z-4$ như vậy $a,b,c$ đều không âm. Khi đó:

$a+b+c=91$

Với $n=91$ thì Đáp số: $C_{93}^2$

Hay nhất

Ta có:\(1+1+1+...+1=1000 \ \ (1000 chữ số 1)\)

Khi bỏ hai dấu cộng trong dãy bất kỳ ta được bộ ba số\((x,y,z)\)nguyên dương thõa mãn\(x +y+z=1000\)

Do đó, để bỏ hai dấu cộng bất kỳ ta có\(C^2_{999}\)cách

Do đó là\(C^2_{999}\)bộ\((x,y,z)\)là nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho.