Câu a:
Xét phương trình:
\(x^2=x+2\Leftrightarrow x^2-x-2=0\Leftrightarrow x=-1;x=2\)
⇒ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y=x^2\) và đường thẳng \(y=x+2\) là:
\(S=\int_{1}{2} \left | x^2-(x+2) \right |dx= \int_{1}{2}\left | x^2-x-2 \right |dx\)
Vì \(x^2-x-2\leq 0\) khi \(-1\leq x\leq 2\)
nên \(S=-\int_{1}^{2}(x^2-x-2)dx= \left ( -\frac{x^3}{3} +\frac{x^2}{2} +2x \right ) \Bigg|^2_1\)
\(=\left ( -\frac{8}{3}+2+4 \right )-\left ( \frac{1}{3}+\frac{1}{2}-2 \right )= \frac{9}{2}\)
Vậy \(S=\frac{9}{2}\) (đvdt)
Câu b:
Xét phương trình: \(\left | lnx \right | =1\Leftrightarrow x=e;x=\frac{1}{e}\)
Do đó diện tích cần tìm là: \(S=\int_{1}^{e} \left |\left | lnx \right |-1 \right |dx\)
Ta có: \(\left | lnx \right | = \left\{\begin{matrix} ln x \ neu \ x\geq 1\\ -lnx \ neu \ 0< x\leq 1 \end{matrix}\right.\)
Do đó:
\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {\left| { - {\mathop{\rm lnx}\nolimits} - 1} \right|dx} + \int\limits_1^e {\left| {\ln x - 1} \right|dx} \\ = \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {\left| {{\mathop{\rm lnx}\nolimits} + 1} \right|dx} + \int\limits_1^e {\left| {\ln x - 1} \right|dx} \end{array}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\forall x \in \left[ {\frac{1}{e};1} \right] \Rightarrow - 1 \le \ln x \le 0 \Rightarrow 0 \le \ln x + 1 \le 1\\\forall x \in \left[ {1;e} \right] \Rightarrow 0 \le \ln x \le 1 \Rightarrow - 1 \le \ln x - 1 \le 0\end{array} \right.\)
Vậy: \(S = \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {\left( {{\mathop{\rm lnx}\nolimits} + 1} \right)dx} - \int\limits_1^e {\left( {\ln x - 1} \right)dx} \)
\( = \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {dx} + \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {\ln xdx} + \int\limits_1^e {xdx} - \int\limits_1^e {\ln xdx} \)
\(\begin{array}{l} = - \frac{1}{e} + e + \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {\ln xdx} - \int\limits_1^e {\ln xdx} \\ = - \frac{1}{e} + e + \left. {x\ln x} \right|_{\frac{1}{e}}^1 - \int\limits_{\frac{1}{e}}^1 {dx} - \left. {x\ln x} \right|_1^e + \int\limits_1^e {dx} \\ = - \frac{1}{e} + e + \frac{2}{e} - 1 - 1 = \frac{1}{e} + e - 2\end{array}\)
Câu c:
Xét phương trình: \((x-6)^2=6x-x^2\Leftrightarrow 2x^2-18x+36=0\)
\(\Leftrightarrow x=3;x=6\)
Do đó diện tích cần tìm là:
\(S=\int_{3}{6} \left | (x-6)^2-(6x-x^2) \right |dx= \int_{3}{6} \left | 2x^2-18x+36 \right |dx\)
\(=-2\int_{3}^{6}(x^2-9x+18)dx\)
(Vì: \(2x^2-18x+36 \leq 0\) khi \(3\leq x\leq 6\))
\(=-2\left ( \frac{x^3}{3}-\frac{9}{2}x^2+18x \right ) \bigg|^6_3=-2\left ( 8-\frac{45}{2} \right )=9\) (đvdt).
Cho hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right);y = g\left( x \right) \, \) và hai đường thẳng \(x=a; \, \, x=b \, \, \, (a<b).\) Khi quay hình phẳng trên quanh trục \(Ox\) ta được khối tròn xoay có thể tích được tính bởi công thức: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} .\)
Lời giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là: \(1 - x^2= 0 ⇔ x = ±1\).
Khi đó thể tích khối tròn xoay cần tìm là:
\(V=\pi \int_{-1}{1}(1-x{2})^{2}dx\)
\(=2\pi \int_{0}{1}(x{4}-2x^{2}+1)dx\)
\(=2\pi \left (\dfrac{x^{5}}{5}- \dfrac{2}{3}x^{3}+x \right )|_{0}^{1}\) \(=2\pi\left ( \dfrac{1}{5}-\dfrac{2}{3}+1 \right )=\dfrac{16\pi}{15}.\)
Quảng cáo
LG b
- \(y = \cos x, y = 0, x = 0, x = π\);
Lời giải chi tiết:
Thể tích cần tìm là:
\(V= \pi \int_{0}{\pi }\cos{2}xdx \) \(=\dfrac{\pi }{2}\int_{0}^{\pi}(1+\cos 2x)dx\)
\(=\dfrac{\pi }{2}\left (x+\dfrac{1}{2}\sin 2x \right )|_{0}{\pi }=\dfrac{\pi }{2}.\pi =\dfrac{\pi {2}}{2}\)
LG c
- \(y = \tan x, y = 0, x = 0\), \(x=\dfrac{\pi }{4}\);
Lời giải chi tiết:
Thể tích cần tìm là:
\(V=\pi\int_{0}{\frac{\pi }{4}}\tan{2}xdx\) \(=\pi\int_{0}{\frac{\pi }{4} }\left (\dfrac{1}{\cos{2}x}-1 \right )dx\)