Bài tập hệ trục tọa độ lớp 10 vận dụng cao

Xin chào các em đang ghé thăm hoctai.vn, vậy là chúng ta đã bắt đầu một năm học mới với bao nhiêu hy vọng và ước mơ ở phía trước, và để hiện thực hóa ước mơ đó các em phải bắt đầu ngay từ bây giờ, 3 năm cuối cấp nó sẽ trôi qua rất nhanh và mong muốn của thầy là các em hãy chuẩn một hành trang thật tốt để bước vào đời nhé.

Điều thầy/cô có thể làm được là chia sẻ kiến thức, truyền thêm niềm tin và động lực giúp các em còn tất cả phụ thuộc vào sự chăm chỉ phấn đấu từ chính bản thân.

Ở bài viết này, Hoctai.vn đang giới thiệu tới thầy/cô và các em Bộ sách theo chuyên đề toán lớp 10,  Hy vọng rằng sẽ nhận được sự ủng hộ và quan tâm chia sẻ của quý thầy/cô và các em. Với bộ sách này sẽ là các chuyên đề (Mệnh đề, Tập hợp, Giá trị lượng giác, số gần đúng, sai số, hệ trục tọa độ, vector…). 

Và ở bài viết này sẽ là chuyên đề về hình học với cái tên là Hệ trục tọa độ, đề thi đã bao gồm đáp án và lời giải chi tiết, xin mời thầy/cô và các em ghé xem.

Các em học sinh có thể tham gia khóa học miễn phí Ôn thi theo chuyên đề – Toán lớp 10 (kèm đáp án và lời giải chi tiết) tại đường link này. Hãy cùng nhau chỗ tài năng lực qua các đề thi trong khóa học này nhé!. Và đừng quên dành cho hoctai.vn một lời động viên khích lệ bằng cách nhấn like, share, theo dõi Fanpage Hoctai.

Xem tiếp:  [Đại số - Toán 10] Mệnh đề (kèm lời giải)

MỤC LỤC

• BÀI 4: HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
• I – LÝ THUYẾT
  1. Trục và độ dài đại số trên trục
  2. Hệ trục tọa độ
     • a) Định nghĩa
     • b) Tọa độ của vectơ
     • c) Tọa độ của một điểm
     • d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
  3. Tọa độ của vectơ
  4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác
• II – DẠNG TOÁN
  • Tìm tọa độ của một điểm; tọa độ vectơ; độ dài đại số của vectơ và chứng minh hệ
    thức liên quan trên trục …
  • DẠNG 2: Tìm tọa độ điểm, tọa độ vectơ trên mặt phẳng Oxy
  • DẠNG 3: Xác định tọa độ điểm, vectơ liên quan đến biểu thức dạng…
  • DẠNG 4: Xác định tọa độ các điểm của một hình.
  • DẠNG 5: Bài toán liên quan đến sự cùng phương của hai vectơ. Phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương.
  • HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC CÂU KHÓ CỦA PHẦN TỰ LUYỆN
• III – ĐỀ KIỂM TRA CUỐI BÀI

Nếu các em không mình mất thời gian tải và in đề làm bài thì có thể tham gia thi online miễn phí có kèm lời giải chi tiết tại vaolop.hoctai.vn.

thuvientoan.net xin gửi đến bạn đọc tài liệu: Các dạng bài tập vận dụng cao hệ tọa độ trong không gian

Tài liệu xoay quanh chuyên đề hệ tọa độ trong không gian bao gồm phần lý thuyết trọng tâm và 14 câu trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết. Các bạn học sinh lớp 12 thông qua tìm hiểu tài liệu có thể tự thực hành chuyên đề hệ tọa độ trong không gian này để tạo phản xạ tốt và đạt được điểm số cao cho kỳ thi THPT quốc gia.

Sau đây, thuvientoan.net xin gửi đến bạn một số câu hỏi trắc nghiệm về chuyên đề hệ tọa độ trong không gian của chương trình toán THPT có trong tài liệu này:

Trong không gian Oxyz, cho A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) và D nằm trên trục Oy. Thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ của D là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho năm điểm A(0;0;3), B(2;-1;0), C(3,2,4), D(1;3;5), E(4;2;1) tạo thành một hình chóp có đáy là tứ giác. Đỉnh của hình chóp tương ứng là

Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;2;3), B(-1;0;1). Trọng tâm G của tam giác OAB có tọa độ là:

Bạn vui lòng kéo xuống khung bên dưới để xem chi tiết tài liệu. Chúc các bạn học tốt !

Tài liệu

Tải file PDF: Tại đây.

THEO THUVIENTOAN.NET

Tài liệu gồm 19 trang viết về chủ đề hệ trục tọa độ trong mặt phẳng thuộc chương 3 Hình học lớp 10. Nội dung tài liệu gồm các phần sau:

I. LÝ THUYẾT 1. Trục tọa độ + Trục tọa độ + Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục + Độ dài đại số của vectơ trên trục 2. Hệ trục tọa độ [ads] + Hệ trục tọa độ + Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ + Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ

II. BÀI TẬP TỰ LUẬN

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Làm bài Câu hỏi 1 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm \(A\left( {m; - 1} \right),\,\,B\left( {2;\,\,1 - 2m} \right),\,\,C\left( {3m + 1; - \frac{7}{3}} \right).\) Biết rằng có hai giá trị \({m_1},\,\,{m_2}\) của tham số m để A, B, C thẳng hàng. Tính \({m_1} + {m_2}.\) A \( - \frac{1}{6}\)                  B \( - \frac{4}{3}\)        C \(\frac{{13}}{6}\) D \(\frac{1}{6}\) Đáp án: D Phương pháp giải: Ba điểm  A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( {k \in \mathbb{R},\,\,k \ne 0} \right).\)  Lời giải chi tiết: Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {2 - m;\,\,2 - 2m} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {2m + 1;\,\, - \frac{4}{3}} \right)\end{array} \right..\) Ba điểm  A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \,\,\,\left( {k \in \mathbb{R},\,\,k \ne 0} \right)\)  \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2 - m;\,\,2 - 2m} \right) = k\left( {2m + 1; - \frac{4}{3}} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - m = k\left( {2m + 1} \right)\\2 - 2m =  - \frac{4}{3}k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{{3\left( {m - 1} \right)}}{2}\\2 - m = \frac{{3\left( {m - 1} \right)}}{2}\left( {2m + 1} \right)\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow 4 - 2m = 6{m^2} + 3m - 6m - 3\\ \Leftrightarrow 6{m^2} - m - 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {6m - 7} \right)\left( {m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6m - 7 = 0\\m + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{7}{6}\\m =  - 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow {m_1} + {m_2} = \frac{7}{6} - 1 = \frac{1}{6}.\end{array}\) Đáp án  D. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 2 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vecto \(\overrightarrow a  = \left( {3; - 1} \right),\,\,\overrightarrow b  = \left( {5; - 4} \right),\,\,\overrightarrow c  = \left( {1; - 5} \right).\) Biết \(\overrightarrow c  = x\overrightarrow a  + y\overrightarrow b .\) Tính x + y. A \(2\) B \(-5\) C \(4\) D \(-1\) Đáp án: D Phương pháp giải: Cho các vecto \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};\,\,{a_2}} \right),\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};\,\,{b_2}} \right)\) và \(k \in \mathbb{R}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};\,\,{a_2} + {b_2}} \right)\\k\overrightarrow a  = k\left( {{a_1};\,\,{a_2}} \right) = \left( {k{a_1};\,\,k{a_2}} \right)\end{array} \right..\) Lời giải chi tiết: Ta có: \(\overrightarrow c  = x\overrightarrow a  + y\overrightarrow b \) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1; - 5} \right) = x\left( {3; - 1} \right) + y\left( {5; - 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1; - 5} \right) = \left( {3x; - x} \right) + \left( {5y; - 4y} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = 3x + 5y\\ - 5 =  - x - 4y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y = 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow x + y =  - 3 + 2 =  - 1.\end{array}\) Đáp án  D. Đáp án - Lời giải Câu hỏi 3 : Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A\left( {1;1} \right)\,,\,\,B\left( {2; - 1} \right)\,,\,\,C\left( {4;3} \right)\). Tọa độ điểm \(D\) để \(ABDC\) là hình bình hành là : A \(D\left( {1;3} \right)\) B \(D\left( {3;5} \right)\) C \(D\left( {3;1} \right)\) D \(D\left( {5;1} \right)\) Đáp án: D Phương pháp giải: \(ABDC\) là hình bình hành khi \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \) Hai véc tơ bằng nhau khi hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau. Lời giải chi tiết: Gọi \(D\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD}  = \left( {x - 4;y - 3} \right)\); \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 2} \right)\) Để \(ABDC\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 1\\y - 3 =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 1\end{array} \right.\)  nên \(D\left( {5;1} \right)\) Chọn D Đáp án - Lời giải Câu hỏi 4 : Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {1;4} \right),\,\,B\left( {2; - 3} \right),\,\,C\left( {1; - 2} \right)\) và \(D\left( { - 1;3m + 3} \right)\). Câu 1: Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\). A \(G\left( { - \frac{4}{3};\frac{1}{3}} \right)\) B \(G\left( {\frac{4}{3};\frac{1}{3}} \right)\) C \(G\left( {\frac{4}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\) D \(G\left( { - \frac{4}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\) Đáp án: C Phương pháp giải: Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\) Lời giải chi tiết: Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{1 + 2 + 1}}{3} = \frac{4}{3}\\{y_G} = \frac{{4 + \left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right)}}{3} = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{4}{3};\frac{{ - 1}}{3}} \right)\) Chọn C. Đáp án - Lời giải Câu 2: Tìm \(m\) để ba điểm \(A,B,D\) thẳng hàng. A \(m = 1\) B \(m = 2\) C \(m = 5\) D \(m = 6\) Đáp án: C Phương pháp giải: Ba điểm \(A,B,D\) thẳng hàng khi hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) cùng phương Lời giải chi tiết: Ta có : \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 7} \right),\overrightarrow {AD}  = \left( { - 2;3m - 1} \right)\) Ba điểm \(A,B,D\) thẳng hàng khi hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) cùng phương Khi đó: \(\frac{{ - 2}}{1} = \frac{{3m - 1}}{{ - 7}} \Leftrightarrow 3m - 1 = 14 \Leftrightarrow 3m = 15\) \( \Leftrightarrow m = 5\) Vậy \(m = 5\). Chọn C. Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 5 :

Cho tam giác \(ABC\) có \(M\left( {3;1} \right)\) là trung điểm của \(AB.\) \(H\left( {1;0} \right)\) là trực tâm tam giác \(ABC.\) \(K\left( {0;2} \right)\) là chân đường cao vẽ từ \(B.\) Tìm \(A ;\, B ; \,C.\)

• A \(A\left( {4;4} \right);B\left( {2; - 2} \right);C\left( { - 2;1} \right)\)
• B \(A\left( {1;4} \right);B\left( {5; - 2} \right);C\left( { - 2;1} \right)\)
• C \(A\left( {4; - 4} \right);B\left( {2;2} \right);C\left( { - 2;1} \right)\)
• D \(A\left( {4;4} \right);B\left( {2; - 2} \right);C\left( {2; - 1} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất trung điểm và trực tâm của tam giác để làm bài.

Lời giải chi tiết:

* Giả sử \(A\left( {a;b} \right);\,\,B\left( {c;d} \right)\)

\(M\)  là trung điểm của \(AB\)  \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = 6\\b + d = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 6 - a\\d = 2 - b\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A\left( {a;b} \right);\,\,B\left( {6 - a;2 - b} \right)\)

\(\begin{array}{l}*\,\,\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {KA}  = \left( {a;b - 2} \right)\\\overrightarrow {KH}  = \left( {1; - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\overrightarrow {KA} .\overrightarrow {KH}  = 0 \Leftrightarrow a - 2b + 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\*\,\,\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BH}  = \left( {a - 5;b - 2} \right)\\\overrightarrow {KH}  = \left( {1; - 2} \right)\end{array} \right.\\\overrightarrow {BH} //\overrightarrow {KH}  \Leftrightarrow \frac{{a - 5}}{1} = \frac{{b - 2}}{{ - 2}} \Leftrightarrow  - 2a - b + 12 = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right):\,\,\,a - 2b + 4 = 0\\\left( 2 \right):\,\,\, - 2a - b + 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {4;4} \right)\\B\left( {2; - 2} \right)\end{array} \right.\)

* Giả sử \(C\left( {m;n} \right)\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = \left( { - 3; - 4} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {m - 2;n + 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \Leftrightarrow  - 3m - 4n - 2 = 0\,\,\,\left( 3 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CK}  = \left( { - m;2 - n} \right)\\\overrightarrow {KA}  = \left( {4;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \,\,\overrightarrow {CK} //\overrightarrow {KA}  \Leftrightarrow \frac{{ - m}}{4} = \frac{{2 - n}}{2} \Leftrightarrow  - m - 4 + 2n = 0\,\,\,\left( 4 \right)\end{array}\)

Giải hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 3 \right):\,\, - 3m - 4n - 2 = 0\\\left( 4 \right):\,\, - m + 2n - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  - 2\\n = 1\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 2;1} \right)\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 6 :

Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {3;\,\,4} \right),{\rm{ }}B\left( {2;\,\,1} \right),{\rm{ }}C\left( { - 1; - 2} \right)\). Tìm điểm  \(M\)  trên đường thẳng  \(BC\)  sao cho \({S_{ABC}} = 3{S_{ABM}}\).

• A \({M_1}\left( {1;2} \right),\,\,{M_2}\left( {4;2} \right)\)        
• B \({M_1}\left( { - 1;2} \right),\,\,{M_2}\left( { - 3; - 2} \right)\)
• C \({M_1}\left( { - 1;2} \right),\,\,{M_2}\left( { - 3; - 2} \right)\)
• D \({M_1}\left( {1;0} \right),\,\,{M_2}\left( {3;2} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\({S_{ABC}} = 3{S_{ABM}} \Leftrightarrow BC = 3BM \Rightarrow \overrightarrow {BC}  =  \pm 3\overrightarrow {BM} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  = \left( {6 - 3x;\,\,4 - 2x} \right) + \left( { - 9 - 3y;\,\,3 + y} \right) = \left( { - 3x - 3y - 3; - 2x + y + 7} \right)\\x\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {3x - 3;2x + 1} \right)\\\,\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {0;\,\,3} \right)\end{array} \right..\)

\(\overrightarrow u \) cùng phương với \(x\overrightarrow a  + \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  \Leftrightarrow \exists \,\,k,\,\,l\,\,\left( {k,\,\,l \ne 0} \right)\)  sao cho \(\overrightarrow u  = k\left( {x\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right),\,\,\overrightarrow u  = l\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3x - 3y - 3 = k\left( {3x - 3} \right)}\\{ - 2x + y + 7 = k\left( {2x + 1} \right)}\\{ - 3x - 3y - 3 = 0}\\{ - 2x + y + 7 = 3l}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {k + 1} \right)x + y = k - 1\\\left( {2k + 2} \right)x - y = 7 - k\\x + y =  - 1\\2x - y = 7 - 3l\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {3k + 3} \right)x = 6\\\left( {2k + 3} \right)x = 6 - k\\x + y =  - 1\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {k + 1} \right)x = 2\\kx = k\\x + y =  - 1\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 2\\\left( {k + 1} \right)x = 2\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y =  - 2}\end{array}} \right.\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 7 :

Cho \(\overrightarrow a  = \left( {3;\,\,2} \right),{\rm{ }}\overrightarrow b  = \left( { - 3;\,\,1} \right)\). Đặt \(\overrightarrow u  = \left( {2 - x} \right)\overrightarrow a  + \left( {3 + y} \right)\overrightarrow b \). Tìm \(x,\,\,y\) sao cho \(\overrightarrow u \) cùng phương với \(x\overrightarrow a  + \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \) .

• A \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1}\\{y = 2}\end{array}} \right.\)
• B \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - 1}\\{y =  - 2}\end{array}} \right.\)
• C \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = 2}\end{array}} \right.\)   
• D \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y =  - 2}\end{array}} \right.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Cho \(\overrightarrow a  = \left( {3;\,\,2} \right),{\rm{ }}\overrightarrow b  = \left( { - 3;\,\,1} \right)\). Đặt \(\overrightarrow u  = \left( {2 - x} \right)\overrightarrow a  + \left( {3 + y} \right)\overrightarrow b \). Tìm \(x,\,\,y\) sao cho \(\overrightarrow u \) cùng phương với \(x\overrightarrow a  + \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \) .

Lời giải chi tiết:

Ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  = \left( {6 - 3x;\,\,4 - 2x} \right) + \left( { - 9 - 3y;\,\,3 + y} \right) = \left( { - 3x - 3y - 3; - 2x + y + 7} \right)\\x\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {3x - 3;2x + 1} \right)\\\,\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {0;\,\,3} \right)\end{array} \right..\)

\(\overrightarrow u \) cùng phương với \(x\overrightarrow a  + \overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  \Leftrightarrow \exists \,\,k,\,\,l\,\,\left( {k,\,\,l \ne 0} \right)\)  sao cho \(\overrightarrow u  = k\left( {x\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right),\,\,\overrightarrow u  = l\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3x - 3y - 3 = k\left( {3x - 3} \right)}\\{ - 2x + y + 7 = k\left( {2x + 1} \right)}\\{ - 3x - 3y - 3 = 0}\\{ - 2x + y + 7 = 3l}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {k + 1} \right)x + y = k - 1\\\left( {2k + 2} \right)x - y = 7 - k\\x + y =  - 1\\2x - y = 7 - 3l\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {3k + 3} \right)x = 6\\\left( {2k + 3} \right)x = 6 - k\\x + y =  - 1\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {k + 1} \right)x = 2\\kx = k\\x + y =  - 1\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 2\\\left( {k + 1} \right)x = 2\\y = 2x - 7 + 3l\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y =  - 2}\end{array}} \right.\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 8 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho 4 điểm \(A\left( {0;1} \right),\,\,B\left( {1;3} \right),\,\,C\left( {2;7} \right)\) và \(D\left( {0;3} \right)\). Tìm giao điểm của 2 đường thẳng \(AC\)  và  \(BD.\)

• A \({\rm{I }}\left( { - \frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}};\,3} \right)\)
• B \({\rm{I }}\left( {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{3}}};\, - 3} \right)\)           
• C \({\rm{I }}\left( {\frac{{\rm{4}}}{{\rm{3}}};\,13} \right)\)     
• D \({\rm{I }}\left( {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}};\,3} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Cho \(\overrightarrow u  = (x;y)\) ;\(\overrightarrow {u'}  = (x';y')\)

Nếu \(xy \ne 0\) ta có \(\overrightarrow {u'} \) cùng phương \(\overrightarrow u  \Leftrightarrow \frac{{x'}}{x} = \frac{{y'}}{y}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\left( {x;y} \right)\) là giao điểm \(AC\)  và \(BD\)  suy ra \(\overrightarrow {AI\,} \,;\,\overrightarrow {AC} \) cùng phương và \(\overrightarrow {BI\,} \,;\,\,\overrightarrow {BD} \) cùng phương

Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AI}  = \left( {x\,;\,y - 1} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {2\,;\,6} \right) \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{6} \Leftrightarrow 6x - 2y =  - 2\,\,\,\left( 1 \right)\\\overrightarrow {BI}  = \left( {x - 1;y - 3} \right),\,\,\overrightarrow {BD}  = \left( { - 1;0} \right)\, \Rightarrow y = 3\,\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow 6x - 2.3 =  - 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}.\)

Vậy \({\rm{I }}\left( {\frac{{\rm{2}}}{{\rm{3}}};\,3} \right)\) là điểm cần tìm.     

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 9 :

Cho \(\overrightarrow {u\,}  = \left( {{m^2} + m - 2\,\,;\,4} \right)\) và \(\overrightarrow {\,v}  = (m;2)\). Tìm m để hai vecto \(\overrightarrow u ,\,\,\overrightarrow v \) cùng phương.

• A \(m = 1\) và \(m = 2\)
• B \(m =  - 1\) và \(m =  - 2\)
• C \(m =  - 1\) và \(m = 3\)
• D \(m =  - 1\) và \(m = 2\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Cho \(\overrightarrow u  = (x;y)\) ;\(\overrightarrow {u'}  = (x';y')\)

Nếu \(xy \ne 0\) ta có \(\overrightarrow {u'} \) cùng phương \(\overrightarrow u  \Leftrightarrow \frac{{x'}}{x} = \frac{{y'}}{y}\)

Lời giải chi tiết:

+ Với \(m = 0\): Ta có \(\overrightarrow {u\,}  = ( - 2;4)\,\,\,;\overrightarrow {v\,}  = (0;2)\)

Vì \(\,\frac{0}{{ - 2}} \ne \frac{2}{4}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {u\,} \,;\,\overrightarrow {v\,} \,\,\)không cùng phương

+ Với \(m \ne 0\): Ta có \(\overrightarrow {u\,} \,;\,\overrightarrow {v\,} \,\,\)cùng phương \( \Leftrightarrow \frac{{{m^{\rm{2}}} + m - 2}}{m} = \frac{4}{2} \Leftrightarrow {m^2} + m - 2 = 2m \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m =  - 1\,\,\,\left( {tm} \right)}\\{m = 2\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)}\end{array}} \right.\)

Vậy với \(m =  - 1\) và \(m = 2\) là các giá trị cần tìm.

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 10 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho \(A\left( {3;4} \right),\,\,B\left( { - 1;2} \right),\,\,I\left( {4;1} \right)\). Xác định tọa độ các điểm \(C,\,\,D\) sao cho tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành và \(I\)  là trung điểm cạnh \(CD.\)  Tìm tọa tâm \(O\) của hình bình hành \(ABCD\).

• A \(C\left( {2; - 2} \right),\,\,D\left( {3;0} \right),\,\,O\left( {\frac{9}{2};2} \right)\)    
• B \(C\left( {1; - 2} \right),\,\,D\left( { - 6;1} \right),\,\,O\left( {3;2} \right)\)
• C \(C\left( {3; - 2} \right),\,\,D\left( {3;0} \right),\,\,O\left( {\frac{9}{2}; - 2} \right)\)
• D \(C\left( {2; - 2} \right),\,\,D\left( {6;0} \right),\,\,O\left( {\frac{5}{2};1} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Đặt \(C\left( {4 - x; - 1 - y} \right),\,\,D\left( {4 + x; - 1 + y} \right)\) vì \(I\left( {4; - 1} \right)\) là trung điểm của CD.

Lời giải chi tiết:

Do \(I\left( {4; - 1} \right)\) là trung điểm của \(CD\)  nên đặt \(C\left( {4 - a; - 1 - b} \right),\,\,D\left( {4 + a; - 1 + b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD} \left( {2a;\,\,\,2b} \right)\)

Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 3 + 1\\2b = 4 - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = 1}\end{array}} \right..\)

Vậy \(C\left( {2; - 2} \right),\,\,D\left( {6;0} \right),\,\,O\left( {\frac{5}{2};1} \right).\)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 11 :

Cho \(A\left( {3;\,\,4} \right),\,\,B\left( { - 2;\,\,1} \right),\,\,E\left( {1;\,\,0} \right),\,\,F\left( {0;\,\,3} \right).\) Tìm điểm \(M\) thẳng hàng với 2 điểm \(E,\,\,F\) sao cho \(\left| {MA - MB} \right|\) lớn nhất.

• A \(M\left( {-2;\,  3} \right)\)
• B \(M\left( {-2;\, - 3} \right)\)
• C \(M\left( {2;\, 3} \right)\)
• D \(M\left( {2;\, - 3} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

Lập phương trình đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(E,\,\,F.\)

Xét xem điểm \(A,\,\,B\) có nằm cùng phía với \(d\) hay không.

TH1: Nếu \(A,\,\,B\) nằm cùng phía với \(d\) ta làm như sau:

+) Suy ra tọa độ tổng quát của điểm \(M.\)

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(\left| {MA - MB} \right| \le AB \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right|\,\,\,Max = AB\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\) với  \(\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.\)

\( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap AB = \left\{ M \right\}.\)

TH2: Nếu \(A,\,\,B\) nằm khác phía với \(d\) ta làm như sau:

+) Suy ra tọa độ tổng quát của điểm \(M.\)

+) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d.\)

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(\left| {MA' - MB} \right| \le A'B \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right| \le A'B\)

\( \Rightarrow \left| {MA + MB} \right|\,\,\,Max \Leftrightarrow \left| {MA' - MB} \right|{\kern 1pt} \,\,\,Max = A'B.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).\)

\( \Rightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap A'B = \left\{ M \right\}.\)

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng \(d\)  đi qua \(E,\,\,F\) là: \(d:\,\,\frac{{x - 1}}{{0 - 1}} = \frac{{y - 0}}{{3 - 0}} \Leftrightarrow 3\left( {x - 1} \right) =  - y \Leftrightarrow 3x + y - 3 = 0.\)

Thay tọa độ điểm \(A,\,\,B\) vào biểu thức: \(f\left( {x;\,\,y} \right) = 3x + y - 3\) ta được:

\(\left( {3.3 + 4 - 3} \right)\left( {3.\left( { - 2} \right) + 1 - 3} \right) = 10.\left( { - 8} \right) =  - 80 < 0\)

\( \Rightarrow A,\,\,B\) nằm khác phía với đường thẳng \(d.\)

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d.\)

Phương trình đường thẳng \(AA'\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\) là:

\(x - 3 - 3\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 9 = 0.\)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(d\) và \(AA'.\) Khi đó \(I\) là trung điểm của\(AA'\) và tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 3 = 0\\x - 3y + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;\,\,3} \right).\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_I} - {x_A} = 2.0 - 3 =  - 3\\{y_{A'}} = 2{y_I} - {y_A} = 2.3 - 4 = 2\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 3;\,\,2} \right).\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(\left| {MA' - MB} \right| \le A'B \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right| \le A'B\)

\( \Rightarrow \left| {MA + MB} \right|\,\,\,Max \Leftrightarrow \left| {MA' - MB} \right|{\kern 1pt} \,\,\,Max = A'B.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).\)

\( \Rightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap A'B = \left\{ M \right\}.\)

Phương trình đường thẳng \(A'B:\,\,\,\frac{{x + 3}}{{ - 2 + 3}} = \frac{{y - 2}}{{1 - 2}} \Leftrightarrow  - x - 3 = y - 2 \Leftrightarrow x + y + 1 = 0.\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\3x + y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\, - 3} \right).\)

Chọn  D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 12 :

Cho đường thẳng \(d:\,\,2x + y - 4 = 0\) và \(A\left( {4;\,\,1} \right),\,\,B\left( {1; - 6} \right).\) Tìm điểm \(M \in d\) thỏa mãn \(MA + MB\) nhỏ nhất.

• A \( M\left( {-\frac{{37}}{{13}}; \frac{{22}}{{13}}} \right).\)
• B \( M\left( {\frac{{37}}{{13}}; \frac{{22}}{{13}}} \right).\)
• C \( M\left( {\frac{{37}}{{13}}; - \frac{{22}}{{13}}} \right).\)
• D \( M\left( {-\frac{{37}}{{13}}; - \frac{{22}}{{13}}} \right).\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Xét xem điểm  có nằm cùng phía với \(d\) hay không.

TH1: Nếu \(A,\,\,B\) nằm cùng phía với \(d\) ta làm như sau:

+) \(M \in d \Rightarrow M\left( {4 - 2m;\,\,m} \right).\)

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(MA + MB \ge AB.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\) với  \(\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.\)

\( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap AB = \left\{ M \right\}.\)

TH2: Nếu \(A,\,\,B\) nằm khác phía với \(d\) ta làm như sau:

+) \(M \in d \Rightarrow M\left( {4 - 2m;\,\,m} \right).\)

+) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d.\)

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(MA' + MB \ge A'B \Leftrightarrow MA + MB \ge A'B\)

\( \Rightarrow \left( {MA + MB} \right)\,\,\,Min \Leftrightarrow MA' + MB = A'B.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).\)

\( \Rightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap A'B = \left\{ M \right\}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(M \in d \Rightarrow M\left( {4 - 2m;\,\,m} \right).\)

Thay tọa độ điểm \(A\left( {4;\,\,1} \right),\,\,B\left( {1;\,\, - 6} \right)\) vào biểu thức \(f\left( {x;\,\,y} \right) = 2x + y - 4\) ta được:

\(\left( {2.4 + 1 - 4} \right)\left( {2.1 - 6 - 4} \right) = 5.\left( { - 8} \right) =  - 40 < 0\)

\( \Rightarrow A,\,\,B\) nằm khác phía với đường thẳng \(d.\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: \(MA + MB \ge AB.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\) với  \(\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.\)

Phương trình đường thẳng \(AB:\,\,\frac{{x - 4}}{{1 - 4}} = \frac{{y - 1}}{{ - 6 - 1}} \Leftrightarrow 7\left( {x - 4} \right) = 3\left( {y - 1} \right) \Leftrightarrow 7x - 3y - 25 = 0.\)

Khi đó tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\7x - 3y - 25 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{37}}{{13}}\\y =  - \frac{{22}}{{13}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{37}}{{13}}; - \frac{{22}}{{13}}} \right).\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 13 :

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy,\) cho \(M\left( {1; - 1} \right),\,\,N\left( {3;\,\,2} \right),\,\,P\left( {0; - 5} \right)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,AB\) của \(\Delta ABC.\) Tọa độ đỉnh \(A\) là:

• A \(\left( {2; - 2} \right)\)                        
• B \(\left( {5;\,1} \right)\)             
• C \(\left( {\sqrt 5 ;\,\,0} \right)\)
• D \(\left( {2;\,\sqrt 2 } \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Chứng minh tứ giác \(APMN\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AP}  = \overrightarrow {NM}  \Rightarrow \) tọa độ điểm \(A.\) 

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,CA,\,\,AB\)

Theo tính chất đường trung tuyến \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN = AP = \frac{1}{2}AB\\MN//AB\end{array} \right. \Rightarrow APMN\) là hình bình hành (dhnb).

Gọi \(A\left( {a;\,\,b} \right).\)  Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AP}  = \left( { - a; - 5 - b} \right)\\\overrightarrow {NM}  = \left( { - 2;\,\, - 3} \right)\end{array} \right..\)

Vì \(APMN\) là hình bình hành (cmt) \( \Rightarrow \overrightarrow {AP}  = \overrightarrow {NM}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a =  - 2\\ - 5 - b =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {2; - 2} \right).\)

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 14 :

Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho hai điểm \(A\left( {5; - 2} \right),\,\,B\left( { - 3;\,\,4} \right).\) Tìm tọa độ điểm \(C\) có hoành độ âm sao cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(C.\)

• A \(\left[ \begin{array}{l}C\left( { - 2; - 3} \right)\\C\left( {4;\,\,5} \right)\end{array} \right.\) 
• B \(C\left( { - 2; - 3} \right)\) 
• C  \(C\left( {4  ;\,\,5} \right)\)  
• D \(C\left( { - 4;\,\,5} \right)\)  

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\Delta ABC\) vuông cân tại\(C \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC \bot BC\\AC = BC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = 0\\AC = BC\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(C\left( {a;\,\,b} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC}  = \left( {a - 5;\,\,b + 2} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {a + 3;\,\,\,b - 4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \sqrt {{{\left( {a - 5} \right)}^2} + {{\left( {b + 2} \right)}^2}} \\BC = \sqrt {{{\left( {a + 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \end{array} \right..\)

Ta có: \(\Delta ABC\) vuông cân tại\(C \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC \bot BC\\AC = BC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = 0\\AC = BC\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {a - 5} \right)\left( {a + 3} \right) + \left( {b + 2} \right)\left( {b - 4} \right) = 0\\\sqrt {{{\left( {a - 5} \right)}^2} + {{\left( {b + 2} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {a + 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 2a - 15 + {b^2} - 2b - 8 = 0\\{\left( {a - 5} \right)^2} + {\left( {b + 2} \right)^2} = {\left( {a + 3} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - 2a - 2b - 23 = 0\\25 - 10a + 4b + 4 = 6a + 9 - 8b + 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {b^2} - 2a - 2b - 23 = 0\\4a = 1 + 3b\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\frac{{1 + 3b}}{4}} \right)^2} + {b^2} - 2.\frac{{1 + 3b}}{4} - 2b - 23 = 0\,\,\,\left( * \right)\\4a = 1 + 3b\end{array} \right.\\\left( * \right) \Leftrightarrow 1 + 6b + 9{b^2} + 16{b^2} - 8 - 24b - 32b - 368 = 0\\ \Leftrightarrow 25{b^2} - 50b - 375 = 0 \Leftrightarrow {b^2} - 2b - 15 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 3\\b = 5\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b =  - 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}C\left( { - 2;\, - \,3} \right)\\C\left( {4;\,\,5} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Lại có  là điểm có hoành độ âm nên  là điểm thỏa mãn bài toán.

Chọn  B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 15 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm \(A\left( {1; - 2} \right);B\left( { - 3;5} \right)\). Tọa độ điểm M thỏa mãn \(2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0 \) là: 

• A (-11;19)
• B (-4; 2)
• C (4; -2)
• D (11; -19)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Gọi điểm \(M\left( {x,y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MA}  = \left( {1 - x; - 2 - y} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {MB}  = \left( { - 3 - x;5 - y} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MA}  = \left( {2 - 2x; - 4 - 2y} \right)\,\,;\,\,3\overrightarrow {MB}  = \left( { - 9 - 3x;\;15 - 3y} \right)\\ \Rightarrow 2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  = \left( {2 - 2x + 9 + 3x; - 4 - 2y - 15 + 3y} \right) = \left( {x + 11;\;y - 19} \right)\\ \Rightarrow 2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 11 = 0\\y - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 11\\y = 19\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 11;\;19} \right).\end{array}\) 

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 16 :

Trong mặt phẳng \(Oxy,\) cho các điểm \(A\left( {1;3} \right),\;B\left( {4;\;0} \right),\;C\left( {2; - 5} \right).\) Tọa độ điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \) là:

• A \(M\left( {1;\;18} \right)\)                    
• B \(M\left( { - 1;\;18} \right)\)    
• C \(M\left( {1; - 18} \right)\)      
• D \(M\left( { - 18;\;1} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức : \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};\;{y_B} - {y_A}} \right),\;\;\overrightarrow a \;\left( {{a_1};\;{a_2}} \right) + \overrightarrow b \left( {{b_1};\;{b_2}} \right) = \left( {{a_1} + {b_1};\;{a_2} + {b_2}} \right).\)

 \(\overrightarrow a \;\left( {{a_1};\;{a_2}} \right) = \overrightarrow b \left( {{b_1};\;{b_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {a_2}\\{b_1} = {b_2}\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {{x_0};\;{y_0}} \right)\) ta có: \(\overrightarrow {MA}  = \left( {1 - {x_0};\;3 - {y_0}} \right);\;\;\overrightarrow {MB}  = \left( {4 - {x_0}; - {y_0}} \right);\;\;\overrightarrow {MC}  = \left( {2 - {x_0}; - 5 - {y_0}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - 3\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( { - 1 + {x_0};\;18 + {y_0}} \right) = \left( {0;\;0} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 + {x_0} = 0\\18 + {y_0} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} =  - 18\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1; - 18} \right).\end{array}\)

Chọn  C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 17 :

Trong hệ tọa độ Oxy, cho \(A\left( {2;3} \right),B\left( { - 1;2} \right),C\left( {0; - 1} \right)\). Chu vi tam giác ABC bằng

• A \(\sqrt {10}  + \sqrt {20}  + \sqrt 5 \)
• B \(3\sqrt {10} \)
• C \(2\sqrt {20}  + \sqrt {10} \)
• D \(2\sqrt {10}  + \sqrt {20} \)

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} \)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 1} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {10} \\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2; - 4} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {20} \\\overrightarrow {BC}  = \left( {1; - 3} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {10} \end{array}\)

Chu vi tam giác ABC \( = AB + AC + BC = 2\sqrt {10}  + \sqrt {20} \)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 18 :

Trong hệ tọa độ Oxy, cho \(\vec u\left( {2;5} \right)\) và \(\overrightarrow v \left( { - 3;\,1} \right)\) . Tìm số thực m để \(\vec a = m\vec u + \vec v\) tạo với \(\vec b\left( {1;1} \right)\) 1 góc \({45^0}\).

• A \(m = \frac{3}{2}\)              
• B \(m =  - 1\)
• C \(m =  - \frac{1}{5}\)
• D \(m = 2\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right)\,\,;\,\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} \)

\(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\vec a = m\vec u + \vec v = m\left( {2;\;5} \right) + \left( { - 3;\;1} \right) = \left( {2m - 3;\;5m + 1} \right)\\ \Rightarrow \left| {\vec a} \right| = \sqrt {{{\left( {2m - 3} \right)}^2} + {{\left( {5m + 1} \right)}^2}}  = \sqrt {29{m^2} - 2m + 10} \\\overrightarrow b  = \left( {1;1} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 2 \\\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 2m - 3 + 5m + 1 = 7m - 2\end{array}\)

 Mặt khác: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b } \right) = \sqrt {29{m^2} - 2m + 10} .\sqrt 2 .\cos {45^o} = \sqrt {29{m^2} - 2m + 10} .\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 7m - 2 = \sqrt {29{m^2} - 2m + 10}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7m - 2 \ge 0\\49{m^2} - 28m + 4 = 29{m^2} - 2m + 10\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \frac{2}{7}\\20{m^2} - 26m - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge \frac{2}{7}\\\left[ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\m =  - \frac{1}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{3}{2}.\end{array}\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 19 :

Các điểm \(M( - 3;5)\),\(N(5; - 6)\) và \(P(1;0)\) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

• A \(G\left( {\frac{2}{3}; - \frac{1}{3}} \right)\).
• B \(G\left( { - \frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right)\).
• C \(G\left( {1;\frac{1}{3}} \right)\).
• D \(G\left( {1; - \frac{1}{3}} \right)\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

G là trọng tâm tam giác ABC.  M, N, P là trung điểm các cạnh của tam giác ABC thì G cũng là trọng tâm tam giác MNP.

G là trọng tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow \) G cũng là trọng tâm tam giác MNP

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_M} + {x_N} + {x_P}}}{3} = \frac{{ - 3 + 5 + 1}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{{y_M} + {y_N} + {y_P}}}{3} = \frac{{5 - 6 + 0}}{3} =  - \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {1; - \frac{1}{3}} \right)\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 20 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\), cho \(\overrightarrow a  = ( - 1;\,2)\), \(\overrightarrow b  = (3; - 5)\). Tìm cặp số \((m,n)\) sao cho \(\overrightarrow i  + \overrightarrow j  = m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b \).

• A \((m;\,n) = (4;7)\).
• B \((m;\,n) = (8;\,3)\).
• C \((m;\,n) = (7;4)\).
• D \((m;\,n) = (3;\,8)\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow i  = \left( {1;0} \right);\,\,\overrightarrow j  = \left( {0;1} \right)\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\\\overrightarrow a  = \overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} = {b_1}\\{a_2} = {b_2}\end{array} \right..\end{array}\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow i  + \overrightarrow j  = \left( {1;1} \right)\)

\(\begin{array}{l}m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  = \left( {m.\left( { - 1} \right) + n.3;\;m.2 - n.5} \right) = \left( { - m + 3n;\;2m - 5n} \right)\\m\overrightarrow a  + n\overrightarrow b  = \overrightarrow i  + \overrightarrow j  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 3n = 1\\2m - 5n = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 8\\n = 3\end{array} \right..\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 21 :

Cho ba điểm \(A (1; 3) ; B (–1; 2); C(–2; 1) . \) Toạ độ của vectơ \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} \) là :

• A (–5; –3)
• B (1; 1)
• C (–1; 2)
• D (4; 0)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Cho \(A\left( {{x_A};\;{y_A}} \right),\;B\left( {{x_B};\;{y_B}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right).\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2; - 1} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( { - 3; - 2} \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \left( { - 2; - 1} \right) - \left( { - 3; - 2} \right) = \left( {1;\;1} \right).\end{array}\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 22 :

Trong mặt phẳng tọa độ \(\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\), cho  \(\overrightarrow a  = ( - 1;2)\), \(\overrightarrow b  = (3; - 5)\). Tìm số thực \(m\) sao cho \(m\overrightarrow a  + \overrightarrow b \) vuông góc với \(\overrightarrow i  + \overrightarrow j \).

• A \(m =  - 2\).
• B \(m = 2\).
• C \(m = 3\).
• D \(m = \frac{5}{2}\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức sau để làm bài toán:

\(\overrightarrow i  = \left( {1;0} \right);\,\,\overrightarrow j  = \left( {0;1} \right)\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \bot \,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2} = 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow i  + \overrightarrow j  = \left( {1;\;1} \right)\)

\(m\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = m\left( { - 1;2} \right) + \left( {3; - 5} \right) = \left( {m.\left( { - 1} \right) + 3;\;m.2 - 5} \right) = \left( { - m + 3;\;2m - 5} \right)\)

Để \(m\overrightarrow a  + \overrightarrow b \) vuông góc với \(\overrightarrow i  + \overrightarrow j  \Leftrightarrow \left( { - m + 3;\;2m - 5} \right).\left( {1;\;1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - m + 3 + 2m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = 2\) 

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 23 :

Cho ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Vectơ \(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB} \) có độ dài bằng :

• A 0
• B 15
• C 5
• D \(\sqrt {13} \)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Py-ta-go và quy tắc 3 điểm.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow CB = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = CB = 5.\end{array}\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 24 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với \(A( - 1;3),B(2;4),C(2; - 1)\)

Câu 1: Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

• A \(G\left( {-1;2} \right)\)
• B \(G\left( {1;2} \right)\)
• C \(G\left( {1;-2} \right)\)
• D \(G\left( {-1;-2} \right)\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

  G là trọng tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết:

Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

\(G\left( {{x_G};{y_G}} \right)\)  là trọng tâm của tam giác ABC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 1 + 2 + 2}}{3} = 1\\{y_G} = \frac{{3 + 4 - 1}}{3} = 2\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {1;2} \right)\).

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn: \(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0. \) 

• A \(M\left( {2;2} \right)\)
• B \(M\left( {-2;-1} \right)\)
• C \(M\left( {-1;-2} \right)\)
• D \(M\left( {-2;-2} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};\;{y_A}} \right),\;\;B\left( {{x_B};\;{y_B}} \right)\) ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\); \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\); \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)\)  

Lời giải chi tiết:

Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn: \(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

Gọi \(M\left( {x;y} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  = \left( { - 1 - x;3 - y} \right)\\\overrightarrow {MB}  = \left( {2 - x;4 - y} \right)\\\overrightarrow {MC}  = \left( {2 - x; - 1 - y} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \left( { - 1 - x; - 2 - y} \right)\)

Mà \(\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 - x = 0\\ - 2 - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy với \(M\left( { - 1; - 2} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án - Lời giải

Câu 3: Chứng minh 3 điểm B, M, G thẳng hàng.

• A \( \overrightarrow {MB}  = 3\overrightarrow {GB} \) nên 3 điểm B, M, G thẳng hàng.
• B \( \overrightarrow {MB}  = - 3\overrightarrow {GB} \) nên 3 điểm B, M, G thẳng hàng.
• C \( \overrightarrow {MB}  = \frac{1}{3} \overrightarrow {GB} \) nên 3 điểm B, M, G thẳng hàng.
• D \( \overrightarrow {MB}  = -\frac{1}{3} \overrightarrow {GB} \) nên 3 điểm B, M, G thẳng hàng.

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh các vectơ cùng phương. Cụ thể là: \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {AC} \) hoặc \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {BC} \) hoặc \(\overrightarrow {AC}  = k\overrightarrow {BC} \) … 

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {MB}  = \left( {3;6} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {GB}  = \left( {1;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MB}  = 3\overrightarrow {GB} \)

Vậy 3 điểm B, M, G thẳng hàng.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 25 :

Trong mặt phẳng Oxy cho \(\Delta ABC\) có \(A\left( {2; - 3} \right),\,\,B\left( {4;1} \right),\,\,C\left( { - 2; - 5} \right)\). Chứng minh \(\Delta ABC\) cân, tính độ dài đường cao AH của \(\Delta ABC\).

• A \(AH = \sqrt 2 \)
• B \(AH = 2\)
• C \(AH = \sqrt 3 \)
• D \(AH = 1\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Cho \(A\left( {{x_A};\;{y_A}} \right),\;B\left( {{x_B},\;{y_B}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right).\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} \)

H là trung điểm của BC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_H} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_H} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {2;4} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{2^2} + {4^2}}  = 2\sqrt 5 \\\overrightarrow {AC}  = \left( { - 4; - 2} \right) \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại A (định nghĩa).

Gọi H là trung điểm của BC \( \Rightarrow H\left( {1; - 2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AH}  = \left( { - 1;\;1} \right)\)

Do \(\Delta ABC\) cân tại A (cmt) \( \Rightarrow \) AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow AH = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}}  = \sqrt 2 \)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 26 :

Trong hệ trục tọa độ \(\left( {O;\vec i,\vec j} \right)\) cho điểm M thỏa mãn \(\overrightarrow {OM}  = 4\vec i - 2\vec j\). Tìm tọa độ điểm M.

• A \(M\left( {2; - 1} \right)\)                
• B \(M\left( {4;2} \right)\).
• C \(M\left( { - 2;4} \right)\).
• D \(M\left( {4; - 2} \right)\).

Đáp án: D

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow i  = \left( {1;\;0} \right);\,\,\overrightarrow j  = \left( {0;\;1} \right)\) từ đó tìm tọa độ \(\overrightarrow {OM} \) suy ra tọa độ điểm M chính là tọa độ \(\overrightarrow {OM} \)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {{x_0};\;{y_0}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = \left( {{x_0};\;{y_0}} \right).\)

Ta có: \(\overrightarrow {OM}  = 4\overrightarrow i  - 2\overrightarrow j  = 4\left( {1;\;0} \right) - 2\left( {0;\;1} \right) = \left( {4.1 - 2.0;\;4.0 - 2.1} \right) = \left( {4; - 2} \right) \Rightarrow M\left( {4; - 2} \right)\)

Chọn D.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 27 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A(1 ; 0), B(0 ; 3), C(-3; -5). Tọa độ của điểm M thuộc trục Ox sao cho \(\left| {2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} } \right|\) nhỏ nhất là :  

• A  M( 4;5)                                        
• B  M( 0; 4)                                       
• C  M( -4; 0)                                      
• D  M( 2; 3)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

+) Gọi \(M\left( {m;0} \right) \in Ox\), tính \(2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} \)

+) Sử dụng công thức tính độ dài vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} \).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {m;0} \right) \in Ox\) ta có: \(\overrightarrow {MA}  = \left( {1 - m;0} \right);\,\,\overrightarrow {MB}  = \left( { - m;3} \right);\,\,\overrightarrow {MC}  = \left( { - 3 - m; - 5} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \left( {2 - 2m + 3m - 6 - 2m; - 9 - 10} \right) = \left( { - m - 4; - 19} \right)\\ \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} } \right| = \sqrt {{{\left( {m + 4} \right)}^2} + {{19}^2}}  \ge \sqrt {{{19}^2}}  = 19\end{array}\)

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow m + 4 = 0 \Leftrightarrow m =  - 4 \Rightarrow M\left( { - 4;0} \right)\).

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 28 :

Cho tam giác ABC với \(A\left( {1;2} \right),B\left( { - 3; - 3} \right),C\left( {5; - 2} \right)\). Tìm tọa độ của \(\vec v = 2\overrightarrow {AB}  - 3\overrightarrow {AC}  + 4\overrightarrow {BC} \).

• A \(  \vec v = \left( {12;6} \right)\).
• B \(  \vec v = \left( {22;6} \right)\).
• C \(  \vec v = \left( {11;6} \right)\).
• D \(  \vec v = \left( {12;5} \right)\).

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 5} \right),\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {4; - 4} \right),\,\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {8;1} \right)\)

Vậy \(\vec v = 2\overrightarrow {AB}  - 3\overrightarrow {AC}  + 4\overrightarrow {BC}  \Rightarrow \vec v = \left( {12;6} \right)\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 29 :

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow a  = \left( {2 + x; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {1;2} \right)\). Đặt \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  + \overrightarrow b \). Gọi \(\overrightarrow v  = \left( { - 5;8} \right)\) là vectơ ngược chiều với \(\overrightarrow u \). Tìm x biết \(\left| {\overrightarrow v } \right| = 2\left| {\overrightarrow u } \right|\).

• A (x = \frac{{ - 5}}{7}\).
• B (x = \frac{{ - 5}}{4}\).
• C (x = \frac{{ - 3}}{4}\).
• D (x = \frac{{ - 1}}{4}\).

Đáp án: B

Phương pháp giải:

+) Tính vectơ u.

+) Sử dụng các giả thiết để tìm x.

+) Dựa vào điều kiện \(\overrightarrow u \) là vectơ ngược chiều với \(\overrightarrow v \)  để loại đáp án.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u  = 2\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {4 + 2x + 1; - 6 + 2} \right) = \left( {2x + 5; - 4} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + 16} \\\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {25 + 64}  = \sqrt {89} ;\,\,\left| {\overrightarrow v } \right| = 2\left| {\overrightarrow u } \right| \Leftrightarrow \sqrt {89}  = 2\sqrt {{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + 16} \\ \Leftrightarrow 89 = 4{\left( {2x + 5} \right)^2} + 64 \Leftrightarrow {\left( {2x + 5} \right)^2} = \frac{{25}}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 5 = \frac{5}{2}\\2x + 5 =  - \frac{5}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 5}}{4}\\x = \frac{{ - 15}}{4}\end{array} \right.\end{array}\)

Khi \(x = \frac{{ - 5}}{4} \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {\frac{5}{2}; - 4} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\left( { - 5;8} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\overrightarrow v \,\,\left( {tm} \right)\)

Khi \(x = \frac{{ - 15}}{4} \Rightarrow \overrightarrow v  = \left( {\frac{{ - 5}}{2}; - 4} \right) = \frac{{ - 1}}{2}\left( {5;8} \right)\,\,\left( {ktm} \right)\)

Vậy \(x = \frac{{ - 5}}{4}\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 30 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có \(M\left( { - \frac{5}{2}; - 1} \right);\,\,N\left( { - \frac{3}{2}; - \frac{7}{2}} \right);\,\,P\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Tìm trọng tâm G của tam giác ABC?

• A \(G\left( { - \frac{4}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\)          
• B \(G\left( { - 4; - 4} \right)\)                                             
• C \(G\left( {\frac{4}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\)              
• D  \(G\left( {4; - 4} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

G là trọng tâm tam giác MNP thì G là trọng tâm giác ABC.

Lời giải chi tiết:

 

Gọi G là trọng tâm tam giác MNP, ta dễ dàng chứng minh được G là trọng tâm tam giác ABC.

Ta có: \(G\left( { - \frac{4}{3}; - \frac{4}{3}} \right)\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 31 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có đáy lớn CD gấp đôi đáy nhỏ AB. Biết \(A\left( {1;1} \right);\,\,B\left( { - 1;2} \right);\,\,C\left( {0;1} \right)\). Tìm tọa độ điểm D ?

• A \(D\left( {4; - 1} \right)\)
• B \(D\left( { - 4; - 1} \right)\)
• C \(D\left( {4;1} \right)\)
• D \(D\left( { - 4;1} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm tọa độ điểm D để \(\overrightarrow {DC}  = 2\overrightarrow {AB} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(CD = 2AB \Rightarrow \overrightarrow {DC}  = 2\overrightarrow {AB} \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 - {x_D} = 2\left( { - 1 - 1} \right)\\1 - {y_D} = 2\left( {2 - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_D} =  - 4\\1 - {y_D} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 4\\{y_D} =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {4; - 1} \right)\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 32 :

Trên hệ tọa độ \(\left( {O;\vec i,\vec j} \right)\) cho tam giác ABC với tọa độ ba đỉnh là: \(A(3; - 1),\;B(2;5),\;C( - 2;1).\)

Câu 1: Tính tọa độ các vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)

• A \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 5;\, - 2} \right);\,\,\overrightarrow {AB}  = \left( {1;\,6} \right)\)
• B \(\overrightarrow {AC}  = \left( {5;\,2} \right);\,\,\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;\, - 6} \right)\)
• C \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 5;\,2} \right);\,\,\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;\,6} \right)\)
• D \(\overrightarrow {AC}  = \left( {5;\, - 2} \right);\,\,\overrightarrow {AB}  = \left( {1;\, - 6} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Cho hai điểm \(A\left( {{x_A};\;{y_A}} \right),\;B\left( {{x_B};\;{y_B}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right).\) 

Lời giải chi tiết:

Trên hệ tọa độ \(\left( {O;\vec i,\vec j} \right)\) cho tam giác ABC với tọa độ ba đỉnh là: \(A(3; - 1),B(2;5),C( - 2;1)\)

Tính tọa độ các vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)

\(\overrightarrow {AC}  = ( - 5;\;2)\,\,;\,\,\overrightarrow {AB}  = ( - 1;\;6).\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu 2: Tính độ dài trung tuyến AM của tam giác ABC (M là trung điểm của BC)

• A \(AM = 5\)  
• B \(AM = 5\sqrt 2 \)
• C \(AM = 4\sqrt 2 \)  
• D \(AM = 3\sqrt 2 \)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Tìm điểm M là trung điểm của BC \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2}\\{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2}\end{array} \right.\)

Sử dụng công thức tính độ dài vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2} \).

Lời giải chi tiết:

Tính độ dài trung tuyến AM của tam giác ABC (M là trung điểm của BC)

+) Trung điểm của BC là \(M\left( {0;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( { - 3;\;4} \right).\)

+) Độ dài trung tuyến AM: \(AM = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = \sqrt {25}  = 5\)

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu 3: Tìm điểm N trên đường thẳng \(y = x + 1\)  sao cho \(AN = 5.\)

• A \(N\left( {2;\,1} \right)\)
• B \(\left[ \begin{array}{l}N\left( {2;\,1} \right)\\N\left( { - 3;\, - 4} \right)\end{array} \right.\)
• C \(\left[ \begin{array}{l}N\left( { - 2;\, - 1} \right)\\N\left( {3;\,4} \right)\end{array} \right.\)
• D \(N\left( {3;\,4} \right)\)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

Gọi tọa độ điểm N theo 1 chữ, từ AN = 5 lập phương trình để tìm tọa độ N

Lời giải chi tiết:

Tìm điểm N trên đường thẳng \(y = x + 1\) sao cho AN = 5.

+)  N thuộc đường thẳng \(y = x + 1\) nên \(N(a;a + 1)\)

+) \(AN = \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {{(a + 2)}^2}} \)

 \(AN = 5 \Leftrightarrow {(a - 3)^2} + {(a + 2)^2} = 25 \Leftrightarrow 2{a^2} - 2a - 12 = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 3} \right)\left( {a + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 2\\a = 3\end{array} \right.\)

Vậy có hai điểm N thỏa mãn bài toán: \(N\left( { - 2; - 1} \right)\) và \(N\left( {3;4} \right)\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 33 :

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có \(A\left( {2;2} \right);\,\,B\left( {5;3} \right)\) và \(C\left( {4; - 4} \right)\). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và tìm tọa độ điểm D sao cho bốn điểm A, B, C, D lập thành một hình chữ nhật.

Phương pháp giải:

Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).

Để ABDC là hình chữ nhật cần thêm điều kiện \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;1} \right);\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {2; - 6} \right);\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( { - 1; - 7} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 3.2 + 1.\left( { - 6} \right) = 0 \Rightarrow AB \bot AC \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại A.

Để ABDC là hình bình hành

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD}  \Leftrightarrow \left( {3;1} \right) = \left( {{x_D} - 4;{y_D} + 4} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} - 4 = 3\\{y_D} + 4 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 7\\{y_D} =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow D\left( {7; - 3} \right)\end{array}\)

Hơn nữa \(\widehat {BAC} = {90^0}\,\,\left( {cmt} \right)\) nên ABDC là hình chữ nhật.

Vậy \(D\left( {7; - 3} \right)\).

Câu hỏi 34 :

Tam giác ABC vuông ở A. \(B\left( {1;4} \right);\,\,G\left( {5;4} \right)\) là trọng tâm \(\Delta ABC\). \(AC = 2AB.\) Tìm A, C biết \({x_A} > 0\)

• A A(10;1); C(4;17)
• B A(10;-1); C(4;17)
• C A(4;17); C(10;-1)
• D A(10;1); C(-4;-17)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

G là trọng tâm \( \Rightarrow \overrightarrow {BG}  = 2\overrightarrow {GM}  \Rightarrow M\left( {7;8} \right)\) (M là trung điểm AC).

\(AC = 2AB \Rightarrow AM = AB\).

Giả sử \(M\left( {a;b} \right).\,\,A{M^2} = A{B^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} = {\left( {a - 7} \right)^2} + {\left( {b - 8} \right)^2}\\ \Rightarrow a = 8 - 2b\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM}  = \left( {7 - a;8 - b} \right)\\\overrightarrow {AB}  = \left( {1 - a;4 - b} \right)\end{array} \right.\\\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB}  = 0 \Leftrightarrow \left( {7 - a} \right)\left( {1 - a} \right) + \left( {8 - b} \right)\left( {4 - b} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\left( 2 \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( { - 2;5} \right)\,\,\,\left( {ktm} \right)\\A\left( {10; - 1} \right)\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

M là trung điểm của AC \( \Rightarrow C\left( {4;17} \right)\).

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 35 :

\(\Delta ABC;\,\,A\left( {1;8} \right);\,\,B\left( { - 2; - 1} \right);\,\,C\left( {6;3} \right)\). Tìm trực tâm H của tam giác ABC.

• A \(H\left( {3;4} \right)\)
• B \(H\left( {4;3} \right)\)
• C \(H\left( {0;3} \right)\)
• D  \(H\left( {0;4} \right)\)

Đáp án: A

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(H\left( {a;b} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH}  = \left( {a - 1;b - 8} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( {8;4} \right)\end{array} \right.\\\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  = 0 \Rightarrow 2a + b - 10 = 0\,\,\left( 1 \right)\\\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {BH}  = \left( {a + 2;b + 1} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {5; - 5} \right)\end{array} \right.\\\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Rightarrow a - b + 1 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Giải hệ (1); (2) \( \Rightarrow H\left( {3;4} \right)\).

Chọn A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 36 :

Tìm trên trục hoành điểm \(P\)  sao cho tổng khoảng cách từ \(P\)  tới hai điểm \(A\) và \(B\)   là nhỏ nhất, biết \(A\left( {1;2} \right)\) và  \(B\left( {3;4} \right)\)

• A \(P\left( {\frac{5}{3};0} \right)\)
• B \(P\left( { - \frac{5}{3};0} \right)\)     
• C \(P\left( {\frac{5}{2};0} \right)\)
• D \(P\left( {\frac{1}{3};0} \right)\)

Đáp án: A

Phương pháp giải:

Xét vị trí trương đối của A, B so với trục hoành.

Tìm A' là điểm đối xứng với A qua trục hoành. Sử dụng bất đẳng thức tam giác.

Lời giải chi tiết:

Dễ thấy \(A,\,B\)  cùng phía với trục hoành.

Gọi \(A'\)  là điểm đối xứng với \(A\)  qua trục hoành.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A'\left( {1; - 2} \right)\\PA = PA'\end{array} \right..\)

Ta có \(PA + PB = PA' + PB \ge A'B\).

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \overrightarrow {A'P} \) cùng phương với \(\overrightarrow {A'B} \)

Suy ra \(\frac{{{x_P} - 1}}{{3 - 1}} = \frac{{0 + 2}}{{4 + 2}} \Rightarrow {x_P} = \frac{5}{3} \Rightarrow P\left( {\frac{5}{3};0} \right)\)

Chọn  A.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 37 :

Cho A(2;5); B(1;1); C(3;3).  Toạ độ điểm E thoả \(\overrightarrow {AE}  = 3\overrightarrow {AB}  - 2\overrightarrow {AC} \)  là:

• A E(3; –3)
• B E(–3; 3)
• C E(–3; –3)          
• D E(–2; –3)

Đáp án: C

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right);\,\,\overrightarrow b  = \left( {{b_1};{b_2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \left( {{a_1} + {b_1};{a_2} + {b_2}} \right)\)

\(\overrightarrow a  = \left( {{a_1};{a_2}} \right) \Rightarrow k\overrightarrow a  = \left( {k{a_1};k{a_2}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(E\left( {x;y} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AE}  = \left( {x - 2;y - 5} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 4} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow {AC}  = \left( {1; - 2} \right)\)

\(\overrightarrow {AE}  = 3\overrightarrow {AB}  - 2\overrightarrow {AC}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 3.\left( { - 1} \right) - 2.1\\y - 5 = 3.\left( { - 4} \right) - 2.\left( { - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow E\left( { - 3; - 3} \right).\)

Chọn C.

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 38 :

Viết vec tơ \(\vec u\) dưới dạng \(\vec u = x\vec i + y\vec j\) khi biết tọa độ của \(\vec u\):

\(\left( {2; - 3} \right),\,\,\left( {0; - 1} \right),\,\,\left( { - 1;\,\,8} \right),\,\,\left( {2;\,\,0} \right),\,\,\left( {0;\,\,0} \right),\,\,\left( {\pi ; - sin{{10}^0}} \right)\).

• A Các vecto lần lượt được biểu diễn là:

  \(\begin{array}{l}\overrightarrow u = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j ;\,\,\,\overrightarrow u = \overrightarrow j ;\,\,\,\overrightarrow u = \overrightarrow i + 8\overrightarrow j \\\overrightarrow u = 2\overrightarrow i ;\,\,\overrightarrow u = 0;\,\,\,\overrightarrow u = \pi \overrightarrow i + \sin {10^0}\overrightarrow j

  \end{array}\)

• B Các vecto lần lượt được biểu diễn là:

  \(\begin{array}{l}\overrightarrow u = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j ;\,\,\,\overrightarrow u = \overrightarrow j ;\,\,\,\overrightarrow u = \overrightarrow i + 8\overrightarrow j \\\overrightarrow u = - 2\overrightarrow i ;\,\,\overrightarrow u = 0;\,\,\,\overrightarrow u = \pi \overrightarrow i + \sin {10^0}\overrightarrow j

  \end{array}\)

• C Các vecto lần lượt được biểu diễn là:

  \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow i  - 3\overrightarrow j \,\,;\,\,\overrightarrow u  =  - \overrightarrow j \,\,;\,\,\overrightarrow u  =  - \overrightarrow i  + 8\overrightarrow j \)

  \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow i \,\,\overrightarrow u  = 0;\,\,\overrightarrow u  = \pi \overrightarrow i  - \sin {10^0}\overrightarrow j \)

• D Các vecto lần lượt được biểu diễn là:

  \(\begin{array}{l}\overrightarrow u = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j ;\,\,\,\overrightarrow u = \overrightarrow j ;\,\,\,\overrightarrow u = \overrightarrow i - 8\overrightarrow j \\\overrightarrow u = - 2\overrightarrow i ;\,\,\overrightarrow u = 0;\,\,\,\overrightarrow u = \pi \overrightarrow i + \sin {10^0}\overrightarrow j

  \end{array}\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\vec u = \left( {2; - 3} \right) \Rightarrow \vec u = 2\vec i - 3\vec j\\\overrightarrow u  = \left( {0; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  =  - \overrightarrow j \\\overrightarrow u  = \left( { - 1;\,\,8} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  =  - \overrightarrow i  + 8\overrightarrow j \\\overrightarrow u  = \left( {0;\,0} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  = 0\overrightarrow i  + 0\overrightarrow j  = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow u  = \left( {2;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  = 2\overrightarrow i \\\overrightarrow u  = \left( {\pi ; - \sin {{10}^0}} \right) = \pi \overrightarrow i  - \sin {10^0}\overrightarrow j \end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 39 :

Cho \(\vec a = \left( {2;1} \right),\;\vec b = \left( {3;4} \right),\;\vec c = \left( {7;2} \right).\)

a) Tìm tọa độ của vecto \(\vec u = 2\vec a - 3\vec b + \vec c.\)

b) Tìm tọa độ của vecto \(\vec v\)ao cho \(\vec v + \vec a = \vec b - \vec c.\)

c) Tìm các số \(k,\,\,m\)  để \(\vec c = k\vec a + m\vec b.\)

• A \(\begin{array}{l}a)\,\,\overrightarrow u = \left( {2;\,\,8} \right)\\b)\,\,\overrightarrow v = \left( { - 6;\,\,1} \right)\\c)\,\,\overrightarrow c = \frac{{22}}{5}\overrightarrow a - \frac{3}{5}\overrightarrow b

  \end{array}\)

• B \(\begin{array}{l}a)\,\,\overrightarrow u = \left( {2;\, - \,8} \right)\\b)\,\,\overrightarrow v = \left( { - 6;\,\,1} \right)\\c)\,\,\overrightarrow c = \frac{{22}}{5}\overrightarrow a - \frac{3}{5}\overrightarrow b

  \end{array}\)

• C \(\begin{array}{l}a)\,\,\overrightarrow u = \left( {2;\, - \,8} \right)\\b)\,\,\overrightarrow v = \left( {6;\,\,1} \right)\\c)\,\,\overrightarrow c = \frac{{22}}{5}\overrightarrow a - \frac{3}{5}\overrightarrow b

  \end{array}\)

• D \(\begin{array}{l}a)\,\,\overrightarrow u = \left( {2;\, - \,8} \right)\\b)\,\,\overrightarrow v = \left( { - 6;\,\,1} \right)\\c)\,\,\overrightarrow c = \frac{{22}}{5}\overrightarrow a + \frac{3}{5}\overrightarrow b

  \end{array}\)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\vec u = 2\vec a - 3\vec b + \vec c = \left( {4;\,2} \right) - \left( {9;12} \right) + \left( {7;2} \right) = \left( {2; - 8} \right)\\b)\,\,\overrightarrow v  + \overrightarrow a  = \overrightarrow b  - \overrightarrow c  \Leftrightarrow \overrightarrow v  =  - \overrightarrow a  + \overrightarrow b  - \overrightarrow c \\ \Leftrightarrow \overrightarrow v  =  - \left( {2;\,\,1} \right) + \left( {3;\,\,4} \right) - \left( {7;\,\,2} \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow v  = \left( { - 2 + 3 - 7;\,\, - 1 + 4 - 2} \right) = \left( { - 6;\,\,1} \right)\\c)\,\,\overrightarrow c  = k\overrightarrow a  + m\overrightarrow b  = k\left( {2;\,\,1} \right) + m\left( {3;\,\,4} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {7;\,\,2} \right) = \left( {2k + 3m;\,\,k + 4m} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k + 3m = 7\\k + 4m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{{22}}{5}\\m =  - \frac{3}{5}\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow c  = \frac{{22}}{5}\overrightarrow a  - \frac{3}{5}\overrightarrow b .\end{array}\)

Đáp án - Lời giải

Câu hỏi 40 :

Cho \(\Delta ABC,\) các điểm \(M\left( {1;\,\,1} \right),\,\,\,N\left( {2;\,\,3} \right),\,\,\,P\left( {0; - 4} \right)\)  lần lượt là trung điểm cạnh \(BC,\,\,CA,\,\,\,AB.\)  Tính tọa độ các đỉnh của \(\Delta ABC.\)

• A A(1;-2); B(-1;6); C(3;8)
• B A(1;-2); B(-1;-6); C(-3;8)
• C A(1;-2); B(-1;6); C(-3;8)
• D A(1;-2); B(-1;-6); C(3;8)

Đáp án: D

Lời giải chi tiết:

Ta có \(PANM\)  là hình bình hành nên: \(\overrightarrow {PA}  = \overrightarrow {MN} \)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = 1}\\{{y_A} + 4 = 2}\end{array}} \right.\; \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = 1}\\{{y_A} =  - 2}\end{array}} \right.\)

Tương tự ta tính được : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_B} =  - 1}\\{{y_B} =  - 6}\end{array}} \right.;\,\,\,\,\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_C} = 3}\\{{y_C} = 8}\end{array}} \right.\)

Vậy tọa độ các đỉnh của \(\Delta ABC\) là: \(A\left( {1; - 2} \right),\,\,B\left( { - 1; - 6} \right),\,\,C\left( {3;\,\,8} \right).\)  

Đáp án - Lời giải

Xem thêm