Sách giải toán 12 Bài 2: Phương trình mặt phẳng (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 12 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác: a) Đi qua ba điểm M(2, 0, -1), N(1, -2, 3), P(0, 1, 2). b) Đi qua hai điểm A(1, 1, -1), B(5, 2, 1) và song song với trục Oz. c) Đi qua điểm (3, 2, -1) và song song với mặt phẳng có Phương trình: x – 5y + z=0 d) Đi qua hai điểm A(0; 1; 1), B(-1; 0; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z + 1 = 0 e) Đi qua điểm M(a, b, c) (abc ≠ 0) và song song với một mặt phẳng tọa đố. g) Đi qua điểm G(1, 2, 3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC h) Đi qua điểm H(2, 1, 1) và cắt trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trung trực tâm tam giác ABC. Lời giải: a) Mặt phẳng (MNP) nhận vectơ [MN→,MP→ ] là vectơ pháp tuyến. ta có MN→=(1,-2,4),MP→=(-2,1,3) nên [ MN→,MP→ ]=(-10,-5,-5). Vậy mp(MNP) đi qua M(2, 0, -1) và vectơ pháp tuyến là (-10, -5, -5) nên ta có phương trình: -10(x-2)-5y-5(z+1)=0 <=> 2x + y + z – 3 = 0 b) Vì mặt phẳng đi qua AB và song song với OZ nên nó có vectơ pháp tuyến là n→=[AB→,k→], với AB→=(4,1,2),k→=(0,0,1) nên n→=(1,-4,0) Vậy mặt phăng cần tìm đi qua A(1, 1, -1) và có vectơ pháp tuyến là n→=(1,-4,0) nên ta có Phương trình là: 1(x-1)-4(y-1)+0(z+1)=0 <=> x – 4y + 3 = 0 c) Vì mặt phẳng cần tìm song song với mp: x – 5y + z = 0, nên nó có Phương trình dạng: x – 5y + z + D = 0, mà mặt phẳng này lại đi qua điểm (3, 2, -1) nên ta có: 3-5.2+(-1)+D=0 <=> D = 8 Vậy Phương trình mặt phẳng song song với nhau thì có cùng vectơ pháp tuyến, nen mặt phẳng cần tìm có vectơ pháp tuyến là n ⃗=(1,-5,1) nên nó có phương trình là: 1(x-3)-5(y-2)+1(z+1)=0 <=> x-5y+z+8=0 d) Vì mặt phẳng cần tìm đi qua AB và vuông góc với mặt phẳng: x – y + z + 1 = 0 nên có vectơ pháp tuyến là n→=[AB→,n1→], với AB→=(-1,-1,1) và n1→=(1,-1,1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: x-y+z+1=0. Suy ra n→=(0,2,2). Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là: y + z – 2 = 0 e) Nếu mặt phẳng cần tìm song song với mp(Oxy) thì nó có vectơ pháp tuyến là n→=(0,0,1), mặt khác mặt phẳng này đi qua điểm M(a, b, c) nên có phương tình là: z – c = 0. Tương tự, nếu mặt phẳng cần tìm đi qua M(a, b, c) và song song với mp(Oxz) thì có Phương trình: y – b = 0. g) Giả sử 3 giao điểm A, B, C của mặt phẳng với 3 trục tọa độ là A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c). vì G(1, 2, 3) là trọng râm của ΔABC nên ta có:  nên ta có Phương trình mp(ABC) theo đoạn chắn là : h) Giả sử 3 giao điểm A, B, C của mặt phẳng với 3 trục tọa độ là: A(a, 0, 0); B(0, b, 0); C(0, 0, c). vì H(2, 1, 1) là trực tâm ΔABC nên. khi đó, phương trình mặt phẳng (ABC) viết theo đoạn chắn là:
Mặt khác, mặt phẳng này đi qua H(2, 1, 1) nên ta có: 2.2 + 1 + 1 = 2a <=> a = 3 Vậy Phương trình mặt phẳng cần tìm là: 2x+y+z-6=0 a) x+2y-z+5=0 và 2x+3y-7z-4=0 b) x-2y+z-3=0 và 2x-y+4z-2=0 c) x+y+z-1=0 và 2x+2y+2z+3=0 d) 3x-2y+3z+5=0 và 9x-6y-9z-5=0 e) x-y+2z-4=0 và 10x-10y+20z-40=0 Lời giải: a) Hai mặt phẳng cắt nhau, vì 1: 2: (-1) ≠ 2: 3: (-7) b) Hai mặt phẳng cắt nhau, vì: 1: (-2): 1 ≠ 2: (-1): 4 c) Hai mặt phẳng song song, vì: 1/2=1/2=1/2 ≠ -1/3 d) Hai mạt phẳng cắt nhau, vì: 3: (-2): 3 ≠ 9: (-6): (-9) e) Hai mặt phẳng trung nhau, vì: 1/10=-1/(-10)=2/20=-4/(-40). a) 2x+ny+2z+3=0 và mx+ny+2z+8=0 b) 2x+y+mz-2=0 và x+ny+2z+7=0 Lời giải: a) Điều kiện để hai mặt phẳng đã cho song song với nhau là: b) Điều kiện để hai mặt phẳng đã cho song song với nhau là: 2x-my+3z-6+m=0 và (m+3)x-2y+(5m+1)z-1=0 Với giá trị nào của m thì: a) Hai mặt phẳng song song. b) Hai mặt phẳng trùng nhau. c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau. d) Hai mặt phẳng vuông góc. Lời giải: Các hệ số của phương trình mặt phẳng: 2x-my+3z-6+m=0 là: A = 2, B = -m, C = 3, D = m – 6 Các hệ số của phương trình mặt phẳng là: (m+3)x-2y+(5m+1)z-1=0: A’ = m + 3; B’ = -2, C’ = 5m + 1; d’ = -10 a) Để hai mặt phẳng đã cho song song với nhau là:
Hệ này vô nghiệm, nên không có m để hai mặt phẳng song song. b) Để hai mặt phẳng đã cho trừng với nhau là: c) Hai mặt phẳng cắt nhau khi và chỉ khi chúng không trùng nhau (vì theo câu a, hai mặt này không thể song song với nhau). Theo câu b) ta suy ra giá trị m đẻ hai mặt phẳng cắt nhau là: m ≠ 1 d) Hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng lần lượt là: n1→(2,-m,3) và n2→(m+3),-2,5m+1) Để hai mặt phẳng vuông góc thì n1→⊥n2→ hay n1→.n2→=0 <=> 2(m+3)+2m+3(5m+1)=0 <=> m=-9/19. Vậy m =-9/19 là giá trị cần tìm. a) (α): 2x-y+4z+5=0, (α’ ):3x+5y-z-1=0 b) (α):2x+y-2z-1=0, (α’ ):6x-3y+2z=0 c) (α):x+2y+z-1=0, (α’ ):x+2y+z+5=0 Lời giải: a) Gọi điểm M(x, y, z) là điểm cách đều (α) và (α’ ),khi đó: Vậy quỹ tích các điểm M cách đều 2 mặt phẳng đã cho là mặt phẳng có Phương trình (1) và (2) b) Cách giải tương tự cầu a, ta có tập hợp các điểm M cách đều 2 mặt phẳng đã cho có Phương trình sau : -4x+16y-20z-1=0 và 23x-2y-8z-13=0 c) Gọi điểm M(x, y, z) là điểm cách đều (α) và (α’ ),khi đó:
Vậy quỹ tích điểm M cần tìm cần tìm là mặt phẳng Phương trình x + 2y +z +2 = 0 Ax+By+Cz+D=0 và Ax+By+Cz+D’=0 với D ≠ D’ Lời giải: Ta nhận thấy hai mặt phẳng đã cho song song với nhau, nên khoảng cách giữa 2 mặt phẳng là khoảng cách từ 1 điểm M bất kì đến mặt phẳng kia. Giả sử điểm M(x0,y0,z0) thuộc mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 ta có khoảng cách cần tìm là: a) M các đều điểm A(2, 3, 4) và mặt phẳng: 2x + 3y + z – 17 = 0 b) M cách đều hai mặt phẳng x+y-z+1=0 và x-y+z+5=0 Lời giải: Vì M nằm trên trục Oz nên có tọa độ dạng: M = (0, 0, c) a) Ta có: Khoảng cách từ M đến mặt phẳng: 2x+3y+z-17=0 là:
theo bài ra, ta có: MA = h <=> MA2=h2 <=> c = 3. Vậy M = (0, 0, 3) là điểm cần tìm. b) Vì M(0, 0, c) cách đều hai mặt phẳng: x+y-z+1=0 và x-y+z+5=0 nên ta có: <=>(-c+1)=±(c+5) <=> c = -2 Vậy M = (0, 0, -2) là điểm cần tìm. a) Tam giác ABC có ba góc nhọn b) cos2α+cos2β+cos2γ=1 Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: O = (0, 0, 0); A = (a, 0, 0); B = (0, b, 0); C = (0, 0, c) a) Ta có: AB→=(-a,b,0),AC→=(a,0,c) nên Tương tự, ta có góc ACB và góc ABC góc nhọn. Vậy ΔABC có ba góc nhọn (đpcm) b) Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là: n→=[AB→,AC→ ]=(bc,ac,ab). Các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB) lần lượt có vectơ pháp tuyến là n1→=(1,0,0), n2→=(0,1,0),n3→=(0,0,1) nên ta có: Lời giải: Mặt cầu: x2+y2+z2-2x-4y-6z-2=0 có tâm I(1, 2, 3), bán kính R = 4. Mặt phẳng cần tìm song song với mặt phẳng 4x+3y-12z+1=0 nên Phương trình có dạng: 4x+3y-12z+D=0 (α) Vì mp(α) tiếp xúc với mặt cầm tâm I(1, 2, 3), bán kính R = 4 nên ta có: d(I,α)=R Vậy mặt phẳng cần tìm có Phương tình là: 4x+3y-12z+78=0 hoặc 4x+3y-12z-26=0 |
