Bất phương trình không chứa ẩn ở mẫu có được khử mẫu không

MỞ ĐẦUI.Lí do chọn đề tàiTrong dạy học Toán việc vận dụng lí thuyết đã học để giải bài toán của họcsinh còn gặp một số khó khăn và sai lầm. Chính vì vậy giáo viên cần hướngdẫn học sinh sử dụng phương pháp nào để giúp học sinh giải bài toán mà khôngmắc phải sai lầm là cần thiết và phù hợp.Mặt khác khi đứng trước một bài toán về phương trình hay bất phương trìnhthì học sinh thường giải theo thói quen mà không biết mình bị sai do không nắmvững lí thuyết vừa học. Việc giải hay sai nhất là học sinh lớp 10 khi giải mộtphương trình hoặc bất phương trình thì rút gọn hoặc bỏ mẫu mà không ghi thêmđiều kiện nào. Những sai sót đó là do trước đây ở THCS học sinh giải phươngtrình hoặc bất phương trình mà mẫu thường là hằng số nên học sinh rút gọnhoặc bỏ mẫu được…Vì những lí do trên tôi chọn đề tài : “NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶPVÀ CÁCH KHẮC PHỤC KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNHVÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG THPT ’’II.Mục đích nghiêm cứu•Nghiêm cứu những sai lầm mà học sinh có thể gặp trong quá trình giảiphương trình, bất phương trình.•nghiên cứu khả năng của giáo viên trong việc giải quyết những sai lầmcủa học sinh trong quá trình giải phương trình, bất phương trình.•Thiết kế một số kiểu sai lầm của học sinh trong quá trình giải toán.III.Các đối tượng nghiên cứu•Các tài liệu về những sai lầm của học sinh khi giải phương trình, bấtphương trình.•Các hoạt động thiết kế cho bài dạy nhằm giúp học sinh vượt qua sai lầmkhi giải phương trình, bất phương trình.•Học sinh trường Trung Học Phổ Thông.IV.⊕Phương pháp nghiên cứuphương pháp nghiên cứu lí luận:••⊕Sử dụng phương pháp phân tích-tổng hợp tài liệu.Phân loại tài liệu có liên quan để nghiên cứu cơ sở lí luận của đề tài.Phương pháp nghiên cứu thực tiễn :••Phương pháp quan sát sư phạm.Phương pháp điều tra thực nghiệm sư phạmCHƯƠNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬNỞ trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với họcsinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.Trong dạy học toán , mỗi bài tập toán được sử dụng với mỗi dụng ýkhác nhau, có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nộidung mới, để củng cố hoặc kiểm tra…Ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩntàng những chức năng khác nhau( chức năng dạy học, chức năng giáo dục,chức năng phát triển, chức năng kiểm tra) những chức năng này đều hướngtới việc thực hiện các mục đích dạy học.a. Yêu cầu đối với lời giải bài toán+ Lời giải không có sai lầm.+ Lập luận phải có căn cứ chính xác.+ Lời giải phải đầy đủ.Ngoài ba yêu cầu nói trên, trong dạy học bài tập, cần yêu cầu lời giảingắn gọn, đơn giản nhất, cách trình bày rõ ràng hợp lí.Tìm được lời giải hay của một bài toán tức là đã khai thác được nhữngđặc điểm riêng của bài toán, điều đó làm cho học sinh “ có thể biết được cáiquyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi” (G. Polya-1975)b. Phương pháp tìm tòi lời giải bài toán- Tìm hiểu nội dung bài toán:+ Giả thiết là gì? kết luận là gì ? sử dụng kí hiệu như thế nào?+ Dạng toán nào ?( toán chứng minh hay toán tìm tòi…)+ Kiến thức cơ bản cần có là gì ? ( các khái niệm, các định lí, cácđiều kiện tương đương, các phương pháp chứng minh…)- Xây dựng chương trình giải( tức là chỉ rõ các bước tiến hành):Bước 1 là gì? Bước 2 giải quyết vấn đề gì ?...- Thực hiện chương trình giải : trình bày bài làm theo các bước đãchỉ ra. Chú ý sai lầm thường gặp trong tính toán, trong biến đổi,…- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: xét xem có sai lầm không? Có biệnluận kết quả tìm được không? nếu bài toán có nội dung thực tiễn thìkết quả tìm được có phù hợp với thực tiễn hay không? một điềuquan trọng là cần luyện tập cho học sinh đọc lại yêu cầu của bàitoán sau khi đã giải xong bài toán đó, để học sinh hiểu rõ hơnchương trình giải đề xuất, hiểu sâu sắc hơn kiến thức cơ bản đãngầm cho trong giả thiết.c. Trình tự dạy học bài tập toán. Trình tự dạy học bài tập toánthường bao gồm các bước sau :Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung bài toánHoạt động 2:Xây dựng chương trình giảiHoạt động 3:Thực hiện chương trình giảiHoạt động 4:Kiểm tra và nghiên cứu lời giảid. Quan niệm về tiến trình giải toánGiải toán là việc thực hiện một hệ thống hành động phức tạp, vì bài toán làsự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, quan hệ toán học, cần có sự chọn lọc sángtạo các phương pháp giải quyết vấn đề. Như vậy giải bài toán là tìm kiếm mộtcách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt được mục đích của bài tập. Đólà một quá trình tìm tòi sáng tạo, huy động kiến thức, kĩ năng, thủ thuật và cácphẩm chất của trí tuệ để giải quyết vấn đề đã cho.Theo G. Polya , việc giải toán xem như thực hiện một hệ thống hành động:hiểu rõ bài toán, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương trình khảosát lời giải đã tìm được. Theo ông điều quan trọng trong quá trình giải bài toánlà qua đó học sinh nảy lòng say mê, khát vọng giải toán, thu thập và hình thànhtri thức mới, đặc biệt là tiếp cận,phát hiện và sáng tạo.1.1.Cơ sở thực tiễnTrong quá trình quan sát, điều tra tôi thấy khi học sinh giải các bài toán vềphương trình hoặc bất phương trình thì học sinh thường vận dụng biến đổitương đương mà không chú ý đến điều kiện xác định. Từ thực trạng trênnên tôi xây dựng kế hoạch hình thành phương pháp mới bằng cách trướctiên học sinh cần nắm vững lí thuyết về phương trình tương đương và bấtphương trình tương đương từ đó áp dụng vào bài toán cơ bản đến bài toán ởmức độ khó hơn. Trong giảng dạy cần trang bị đầy đủ kiến thức phổ thôngvà phương pháp giải toán đại số cho học sinh. Như vậy khi giải bài toán vềphương trình hay bất phương trình học sinh có thể tự tin lựa chọn mộtphương pháp để giải phù hợp mà không mắc sai lầm.1.2.---Giải pháp thực hiệnNêu các định nghĩa về phương trình, bất phương trình; các định lívề các phép biến đổi tương đương giữa hai phương trình; bấtphương trình.Nêu những dạng phương trình, bất phương trình cơ bản mà học sinhthường gặp trong sách giáo khoa, sách bài tập hoặc đề thi đại học.Nêu những lời giải sai lầm thường gặp của học sinh và chỉ ra nhữngsai sót của học sinh. Từ đó đúc kết ra lời giải đúng cho dạng toánđó.Dạy thành các dạng nhỏ trong các tiết tự chọn toán để bổ sung kiếnthức cho các em.CHƯƠNG II. NỘI DUNG2.1.Những kiến thức liên quan2.1.1. Phương trình; cách giải phương trìnhKhái niệm phương trình một ẩn:Phương trình ẩnxlà mệnh đề chứa biến có dạng :f ( x) = g ( x)Trong đótrái,g ( x)f ( x)vàg ( x)(1)xlà những biểu thức của . Ta gọif ( x)là vếlà vế phải của phương trình (1).x0f ( x0 ) = g ( x0 )Nếu có số thực sao chogọi là một nghiệm của phương trình (1).là mệnh đề đúng thìx0đượcGiải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìmtập nghiệm).Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phươngtrình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng).CHÚ ÝNhiều khi giải một phương trình, ta chỉ cần, hoặc chỉ có thể tính giá trịgần đúng của nghiệm (với độ chính xác nào đó). Giá trị đó gọi lànghiệm gần đúng của phương trình.Chẳng hạn, bằng máy tính bỏ túi, ta tính nghiệm gần đúng (chính xácđến hàng phần nghìn) của phương trìnhlàĐiều kiện của một phương trìnhKhi giải phương trình ta cần lưu ý tới điều kiện đối với ẩn số x đểvàg ( x)f ( x)có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nóiđó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện củaphương trình)Khi các phép toán ở hai vế của mộtphương trình đều thực hiện được vớimọi giá trị của x thì ta có thể không ghi điều kiện của phương trình.Phương trình nhiều ẩnNgoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiềuẩn số, chẳng hạn:3x + 2 y = x 2 − 2 xy + 8(2)4 x 2 − xy + 2 z = 3z 2 + 2 xz + y 2(3)Phương trình (2) là phương trình hai ẩn (x và y) , còn (3) là phương trìnhba ẩn (x, y và z)Khix = 2, y = 1cặp sốthì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói( x, y ) = ( 2;1)Tương tự, bộ ba sốlà nghiệm của phương trình (2)( x, y, z ) = ( −1;1;2 )là nghiệm của phương trình (3)Phương trình tham sốTrong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai tròẩn số còn có thể có các chữ khác, các chữ này được xem như nhữnghằngsố và được gọi là tham số. Tập nghiệm của phương trình có thể phụ thuộcvào tham số.Giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trịnào của tham số thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm cácnghiệm đó.Chẳng hạn:•Phương trình( m + 1) x − 3 = 0chứa tham sốm.có thể được coi là một phương trình ẩnx•Phương trìnhy2 − 2 y + t = 0tcó thể được coi là một phương trình ẩnychứa tham số .Phương trình tương đươngHai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng cócùng tập nghiệm.Nếuf ( x) = g ( x)tương đương vớif1 ( x ) = g1 ( x )thì ta viết:f ( x ) = g ( x ) ⇔ f1 ( x ) = g1 ( x )CHÚ ÝKhi muốn nhấn mạnh hai phương trình có cùng điều kiện xác địnhlà D và tương đương với nhau, ta nói:•Hai phương trình tương đương trên D, hoặcVới điều kiện D, hai phương trình là tương đương với nhau.Phép biến đổi tương đương•Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đóthành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổinhư vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.Định lí sau đây nêu lên một số phép biến đổi tương đương thường sửdụng:Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà khônglàm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tươngđương.a) Cộng hay trừ từng vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng mộtbiểu thức luôn có giá trị khác 0.phương trình hệ quảNếu mọi nghiệm của phương trìnhphương trìnhf1 ( x ) = g1 ( x )f ( x) = g ( x)f ( x) = g ( x)thì phương trìnhtrình hệ quả của phương trìnhf ( x) = g ( x).đều là nghiệm củađược gọi là phươngTa viết :f ( x ) = g ( x ) ⇒ f1 ( x ) = g1 ( x ).Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm củaphương trình ban đầu. Ta gọi là nghiệm ngoại lai.Khi giải phương trình, không phải lúc nào cũng áp dụng được phépbiến đổi tương đương. Trong nhiều trường hợp ta phải thực hiện cácphép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phươnghai vế, nhân hai vế của phương trình với một đa thức. Lúc đó, đểloại nghiệm ngoại lai ta phải thử lại các nghiệm tìm được.Đối với phương trình nhiều ẩn, ta cũng có các khái niệm tương tự.2.1.2. Bất phương trình; cách giải bất phương trìnhKhái niệm bất phương trình một ẩn trên trường số thựcBất phương tình một ẩn là một mệnh đề chứa biếnf ( x)vàg ( x)xso sánh hai hàm sốtrên trường số thực với một trong các dạngf ( x) < g ( x) ; f ( x) > g ( x) ; f ( x) ≤ g ( x) ; f ( x) ≥ g ( x )Giao của hai tập xác định của các hàmđịnh của bất phương trình.f ( x)vàg ( x)được gọi là tập xácTuy nhiên các bất phương trình trên đều có thể chuyển về dạng tươngđươngf ( x) > 0(hoặcf ( x) ≥ 0)Cũng như trong phương trình biếnlà ẩn, hàm ý là một đại lượng chưa biết.xtrong bất phương trình cũng được gọiSau đây ta sẽ xét bất phương trình dạng tổng quátf ( x) > 0Nếu với giá trịx = a, f ( a ) > 0nghiệm đúng của bất phương trìnhtrình.là bất đẳng thức đúng thì ta nói rằngf ( x) > 0,hayaalàlà nghiệm của bất phươngTập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm haylời giải của bất phương trình , đôi khi nó cũng được gọi là miền đúng của bấtphương trìnhGiải một bất phương trình nghĩa là tìm tập nghiệm của nó.Bất phương trình nhiều ẩnKhái niệm bất phương trình có thể mở rộng thành bất phương trình n biếnxRntrên hoặc trên tập bất kì của biến nhưng các hàmgiá trị trên các tập sắp thứ tự toàn phần.f ( x)vàg ( x)phải nhậnPhân loại bất phương trìnhCác bất phương trình một ẩn đều có thể chuyển về dạngf ( x) ≥ 0f ( x) > 0hoặc. khi đó phân loại của bất phương trình được quy về phân loại của hàmf ( x)1. Các bất phương trình đại số bậc k là các bất phương trình trong đóf ( x)là đa thức bậc k.2. Các bất phương trình vô tỷ là các bất phương trình có chứa phépkhai căn.3. Các bất phương trình mũ là các bất phương trình có chứa hàm mũ (chứa bieenstreen lũy thừa).4. Các bất phương trình lôgarit là các bất phương trình có chứa hàmlôgarit ( chứa biến trong dấu lôgarit).Cách giải một số bất phương trình đại số bậc thấpSau đây là cách giải các bất phương trình dạngtương tự cho các bất phương trình⊕f ( x) ≥ 0f ( x) > 0. Các kết quả.Bất phương trình bậc nhất một ẩnBất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình dạng :ax + b > 0Trong đó :∗∗⊕NếuNếua≠0a>0

a<0
, tập nghiệm của bất phương trình này là :, tập nghiệm của bất phương trình này là : −b ; +∞ ÷ a−b  −∞; ÷a Bất phương trình bậc hai một ẩnBất phương trình bậc hai một ẩn là bất phương trình dạng :ax 2 + bx + c > 0Trong đóĐặt∗a≠0∆ = b 2 − 4acNếu•

∆<0

a<0
. Ta có các trường hợp sau :vàthì bất phương trình không nghiệm đúng với mọixGiá trị thực của . Tập nghiệm là∅a>0•thì bất phương trình nghiệm đúng với mọixGiá trị thực của . Tập nghiệm là∗Nếu∆=0

a<0
•R.vàthì bất phương trình không nghiệm đúng với mọix∅Giá trị thực của . Tập nghiệm làa>0•thì bất phương trình nghiệm đúng với mọixGiá trị thực của . Tập nghiệm là∗Nếu∆>0gọix1 , x2 ( x1 < x2 )ax 2 + bx + c > 0haix1 = −b R\  2a .là hai nghiệm của phương trình bậcvới−b − ∆;2ax2 =−b + ∆2aKhi đó :••NếuNếu

a<0

a<0
thì tập nghiệm của bất phương trình là :thì tập nghiệm của bất phương trình là :( −∞; x1 ) ∪ ( x2 ; +∞ )2.2.Những khó khăn của học sinh và cách khắc phục khi giảiphương trình, bất phương trình.( x1; x2 )2.2.1. Những khó khăn khi giải phương trình.2.2.1.1. sai lầm khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫuPhương trình dạng :f ( x)= 0 ⇔ f ( x) = 0g ( x)Ví dụ:Giải phương trình:x2 − x − 6=02 x 2 + 3x − 2?(1)Sai lầm thường gặp: x = −2x2 − x − 6= 0 ⇔ x2 − x − 6 = 0 ⇔ 22 x + 3x − 2 x=3Nguyên nhân sai:x = −2thì2 x 2 + 3x − 2 = 0nên loại nghiệmx = −2Lời giải đúng: x = 3 x − −x − 6 = 0x −x−6 x = −2(loai)=0⇔ 2⇔ ⇔ x=322 x + 3x − 212 x + 3x − 2 ≠ 0 x ≠ −2; x ≠ 22KẾT LUẬN:B2 f ( x) = 0f ( x)=0⇔g ( x) g ( x) ≠ 0ài tập tương tự: giải phương trình:x2 − 7 x + 6=5x−62.2.1.2. Sai lầm khi giải phương trình tích.Phương trình dạng: f ( x) = 0f ( x ) .g ( x ) = 0 ⇔  g ( x) = 0?x − 2 ( x2 − x − 6) = 0Ví dụ: giải phương trình :(2)Sai lầm thường gặp:Pt(2) x=2 x−2 =0⇔ 2⇔  x = −2x − x − 6 = 0 x = 3Nguyên nhân sai lầm: vớiLời giải đúng: Pt(2)KẾT LUẬN:phương trìnhx = −2thìx−2vô nghĩa. x=2x−2 =0  x = −2 2x = 2⇔  x − x − 6 = 0 ⇔ ⇔ x = 3x = 3 x − 2 ≥ 0  x ≥ 2 f ( x) = 0f ( x ) .g ( x ) = 0 ⇔  g ( x) = 0vớixthuộc tập xác định củaf ( x ) .g ( x ) = 0Bài tập tương tự: giải phương trình :( x + 1)x2 + x − 2 = 2 x + 22.2.1.3. Sai lầm khi không nắm vững phương pháp biến đổi tương đương.Phương trình dạng:f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) .h ( x ) = g ( x ) .h ( x )Ví dụ: giải phương trình;?x 2 − 3x + 2 + x 2 − x + 1 = 4 x − 3(3)Sai lầm thường gặp:⇔Pt(3)(x − 3x + 22) +(2x − x +12)2= ( 4 x − 3)⇔ ( x 2 − 3 x + 2 ) − ( x 2 − x + 1) = ( 4 x − 3)((x 2 − 3x + 2 + x 2 − x + 1x2 − 3x + 2 + x 2 − x + 1) 4x − 3 = 03x= 24⇔⇔ x − 3x + 2 ≥ 02 22 2 x − 3 x + 2 − x − x + 1 = 1  x − 3 x + 2 = x − x + 1 + 1(∗)Pt(∗) ⇔ x 2 − 3 x + 2 =()x2 − x + 1 + 12⇔ x 2 − 3x + 2 = x 2 − x + 1 + 2 x 2 − x + 1 + 1−x ≥ 0x ≤ 0⇔ x2 − x + 1 = − x ⇔  2(vn)2 ⇔ x=1x−x+1=−x()x=Vậy phương trình (3) có nghiệm :34.Nguyên nhân sai lầm :x=Thử lại :Lời giải đúng:34không thỏa mãn phương trình (3).)Pt (3) ⇔(x⇔⇔(24x − 3x − 3x + 2 + x 2 − x + 12− 3x + 2 ) − ( x 2 − x + 1)x 2 − 3x + 2 + x 2 − x + 1x 2 − 3x + 2) (2−=1=1x2 − x + 1)2=1x 2 − 3x + 2 + x 2 − x + 1⇔ x 2 − 3x + 2 − x 2 − x + 1 = 1⇔ x 2 − 3x + 2 = x 2 − x + 1 + 1⇔ x 2 − 3x + 2 =()x2 − x + 1 + 12⇔ x 2 − 3x + 2 = x 2 − x + 1 + 2 x 2 − x + 1 + 1−x ≥ 0x ≤ 0⇔ x2 − x + 1 = − x ⇔  2(vn)2 ⇔ x =1 x − x + 1 = ( − x )Vậy pt (3) vô nghiệm.KẾT LUẬN : f ( x ) .h ( x ) = g ( x ) .h ( x )f ( x) = g ( x) ⇔ h ( x) ≠ 0Bài tập tương tự: Giải phương trình:()(x +1 +1)x + 10 − 4 = x2.2.1.4. Sai lầm khi vận dụng một cách máy móc các phương pháp biến đổitương đương⊕Phương trình dạng:AB = A. B ;A=BAB?Ví dụ:1. Giải phương trình( x + 1) ( x 2 − x − 2 )= x +1(4)Sai lầm thường gặp :Pt (4) ⇔⇔( x + 1) ( x + 1) ( x + 2 )  = x + 1( x + 1) ( x − 2 )2⇔ x +1( x − 2)= x +1= x +1  x +1 = 0x − 2 ≥ 0⇔   x − 2 = 1  x + 1 > 0 x − 2 = 1⇔⇔ x =3 x > −1Nguyên nhân sai lầm :x = −1là ngiệm của phương trình.Lời giải đúng :Pt (4) ⇔⇔( x + 1) ( x + 1) ( x + 2 )  = x + 1( x + 1) ( x − 2 )2= x +1x +1 = 0⇔   x + 1 x − 2 = x + 1 x +1 ≠ 0 x = −1 x = −1⇔   x − 2 = 1 ⇔  x=3  x > −1Vậy phương trình (4) có nghiệm là : x = −1 x=32 x2 − 9 = ( x + 5)2.Giải phương trình :x+3x−3(5)Sai lầm thường gặp :Pt (5) ⇔ 2( x + 3) ( x − 3) = ( x + 5 )⇔ 2 x + 3 x − 3 = ( x + 5)x+3x−3x+3x−3x+5 ⇔ x +32 x −3 −÷= 0x−3 ⇔x+3( 2 ( x − 3) − ( x + 5 ) ) = 0x−3x+3( x − 11) = 0x−3 x−3> 0 x>3  x − 11 = 0 ⇔   x = 11 ⇔ x = 11 x + 3 = 0  x = −3⇔Nguyên nhân sai lầm :nghiệmx = −3x = −3là nghiệm của pt(5) cách giải trên đã làm mất.Lời giải đúng :Pt (5) ⇔ 2( x + 3) ( x − 3) = ( x + 5 )x+3x−3⇔2x+32( x − 3) = ( x + 5 )x−3⇔2x+3x − 3 = ( x + 5)x−3⇔x+3x−3x+3x−3x+3( 2 x − 3 − ( x + 5) ) = 0x−3   2 ( x − 3 ) − ( x + 5 ) = 0; x − 3 ≥ 0 2 x − 3 − ( x + 5) = 0   2 ( 3 − x ) − ( x + 5 ) = 0; x − 3 ≤ 0x+3≥0⇔  ⇔  x>3x−3 x ≤ −3 x+3=0x−3x+3=0   x − 11 = 0; x ≥ 3 1 − 3x = 0; x ≤ 3 x = 11⇔ ⇔ x>3 x = −3 x ≤ −3 x = −3Vậy phương trình (5) có nghiệm :KẾT LUẬN : A: A ≥ 0, B > 0 A. B : A, B ≥ 0A  BAB = ;= − A. − B : A, B ≤ 0 B  − A: A ≤ 0, B < 0 −BCác bài tập tương tự:3 x 2 − 25 = ( 2 x − 1)a. x = 11 x = −3x −5x+52 x2 − x − 6 = ( x + 5)b.c.d.x+2x−3( 3x − 1) ( 3x 2 − 4 x + 1)= x −1( 2 x − 3) ( 2 x 2 − x − 3 )= x +12.2.1.5. Sai lầm khi giải phương trình tích đa thức dưới dấu căn⊕Phương trình dạng: A= CA.B = A.C ⇔  A=0Ví dụ : giải phương trình sau :?2 x − 3x = x − 2 x22(6)Sai lầm thường gặp :Pt (6) ⇔ x ( 2 x 2 − 3) = x ( x − 2 ) ⇔ x 2 x 2 − 3 = x x − 2⇔ x()2x2 − 3 − x − 2 = 0x=0x =0⇔⇔2 2 x 2 − 3 − x − 2 = 0 2 x − 3 = x − 2x=0x=0⇔ ⇔ x≥2x≥2 2 x 2 − 3 = x − 2 2 x 2 − x − 3 = 0 x=0 x ≥ 2⇔    x = 1 x = − 1  2⇔ x=0Nguyên nhân sai lầm : phép biến đổi phương trình sau không phải là phépbiến đổi tương đương :x ( 2 x 2 − 3) = x ( x − 2 ) ⇔ x 2 x 2 − 3 = x x − 2Lời giải đúng :pt (6) ⇔ x ( 2 x 2 − 3) = x ( x − 2 )x=0⇔  2 x 2 − 3 = x − 2  x ( x − 2 ) ≥ 0x=02 x 2 − x − 1 = 0⇔ x ≥ 2x ≤ 0  x=0⇔x = − 12Vậy phương trình (6) có nghiệm : x=0x = − 12KẾT LUẬN :A=0A.B = A.C ⇔  B=C  A ≠ 0; A.B ≥ 02.2.2. Những khó khăn khi giải bất phương trình2.2.2.1. Sai lầm khi giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫuBất phương trình dạng:g ( x) ≠ 0 f ( x ) ≠ 0; g ( x ) ≠ 0f ( x) a11≥ ⇔;≥⇔g ( x) bb. f ( x ) = a.g ( x ) f ( x ) g ( x ) f ( x) ≤ g ( x)?Ví dụ :x +11≥−x + x − 12221. giải bất phương trình :Sai lầm thường gặp :(7)x 2 + x − 12 ≠ 0Bpt (7) ⇔ 22 ( x + 1) ≥ ( x + x − 12 ) x ≠ −4; x ≠ 3 2 x + 3 x − 10 ≥ 0 x ≠ −4; x ≠ 3   x ≥ 2  x ≤ −5 ⇔   x ≠ 3  x≥2  x ≤ −5x ∈ ( −4;3)x 2 + x − 12 < 0Nguyên nhân sai lầm : vớithìvới biểu thức này thì bất phương trình đổi dấu.nên khi nhân hai vếLời giải đúng :2 ( x + 1) + ( x 2 + x − 12 )x +11x 2 + 3x − 10Bpt (7) ⇔ 2+ ≥0⇔≥0⇔≥0x + x − 12 2x 2 + x − 12x 2 + x − 12Lập bảng xét dấu :x−∞x 2 + 3x − 10+x 2 + x − 12+-50-4+0-20+∞3+-VT+0 +0Dựa vào bảng xét dấu ta có nghiệm bất phương trình :+0++S = ( −∞; −5] ∪ ( −4;2 ] ∪ ( 3; +∞ )2. giải bất phương trình :11≥x + 3 4x − 6(8)Sai lầm thường gặp :33( x + 3) ( 4 x − 6 ) ≠ 0 x ≠ −3; x ≠ x ≠ −3; x ≠Bpt (8) ⇔ ⇔2⇔2 ⇔ x≥3x+3≤4x−6 3 x ≥ 9x≥33x ∈  −3; ÷2x + 3 > 0 > 4x − 6Nguyên nhân sai lầm : Vớithìtrình nghiệm đúng. Cách giải trên đã làm mất nghiệm.và bất phươngLời giải đúng :Bpt (8) ⇔4 x − 6 − ( x + 3)3 ( x − 3)11−≥0⇔≥0≥0x + 3 4x − 6( x + 3 ) ( 4 x − 6 ) ( x + 3) ( 4 x − 6 )Lập bảng xét dấu :x−3−∞x−3-x+3-4x − 6-03/230--+++++-0VT+0Dựa vào bảng xét dấu ta chọn nghiệm của bất phương trình là :S = ( −3;3 / 2 ) ∪ [ 3; +∞ )KẾT LUẬN :+∞++⊕f ( x) af ( x) a> ⇔− > 0 ⇔ b.g ( x ) b. f ( x ) − a.g ( x )  > 0g ( x) bg ( x) b⊕11>⇔ f ( x ) .g ( x )  g ( x ) − f ( x )  > 0f ( x) g ( x)2.2.2.2. Sai lầm khi giải bất phương trình tích giữa biểu thức luôn dương vàbiểu thức bất kì.Bất phương trình dạng :f 2 ( x ) .g ( x ) ≥ 0 ⇔ g ( x ) ≥ 0; f 2 ( x ) .g ( x ) ≤ 0 ⇔ g ( x ) ≤ 0x ( 2 x − 3x + 1) ≥ 02Ví dụ : Giải bất phương trình :?2(9) x ≥1Bpt (9) ⇔ 2 x − 3x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≤ 122Sai lầm thường gặp :x=0x 2 ( 2 x 2 − 3x + 1) = 0Nguyên nhân sai lầm :vớithìmãn. Cách giải trên đã làm mất nghiệm.Lời giải đúng :nên bpt (9) thỏax=01bpt (9) ⇔  2⇔ x ∈  −∞;  ∪ ( 1; +∞ ) ∪ { 0}2 2 x − 3x + 1 ≥ 0KẾT LUẬN : f ( x) = 0 2 f ( x) = 0f 2 ( x ) .g ( x ) ≥ 0 ⇔ ; f ( x ) .g ( x ) ≤ 0 ⇔ ;gx≥0gx≤0()()( 2 x − 1)Bài tập tương tự : Giải bất phương trình :2( 3x2− 5x + 2) ≤ 02.2.2.3. Sai lầm khi giải bất phương trình tích giữa biểu thức chứa căn vàbiểu thức không chứa căn.Bất phương trình dạng : f ( x) ≥ 0 f ( x) ≥ 0f ( x ) .g ( x ) ≥ 0 ⇔ ; f ( x ) .g ( x ) ≤ 0 ⇔  g ( x) ≥ 0g ( x) ≤ 0?Ví dụ : giải bất phương trình :Sai lầm thường gặp :(x2− 3x ) 2 x 2 − 3x − 2 ≥ 0(10) x ≥ 2 x≥3  x ≤ − 1⇔ 2⇔x ≤ − 122 x − 3 x − 2 ≥ 0x ≥ 32 Bpt (10) ⇔ 2  x ≤ 0 x −3≥ 0Nguyên nhân sai lầm :Lời giải đúng :x=2cũng là nghiệm của bất phương trình (10)( x 2 − 3 x ) 2 x 2 − 3 x − 2 = 0Bpt (10) ⇔  x 2 − 3x 2 x 2 − 3x − 2 > 0)( 2 2 x − 3x − 2 = 0x 2 − 3x = 0⇔  2  2 x − 3x − 2 > 0 2 x 2 − 3x − 2 > 02  x − 3x > 0 x = 2 x = − 1 x=22⇔  x = 3 ⇔  x ≥ −31 x>3x≤− 2 x < 12 Vậy bất phương trình (10) có nghiệm là :1S =  −3; −  ∪ { 2}2