Ta có: \(\sin x + \sin y = \sqrt 3 \)\( \Rightarrow {\left( {\sin x + \sin y} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\) \( \Rightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x\sin y + {\sin ^2}y = 3\,\,\,\,\left( 1 \right)\) \(\cos x - \cos y = 1\)\( \Rightarrow {\left( {\cos x - \cos y} \right)^2} = {1^2}\) \( \Rightarrow {\cos ^2}x - 2\cos x\cos y + {\cos ^2}y = 1\,\,\,\,\left( 2 \right)\) Lấy (1) cộng (2) vế với vế ta được: \(\begin{array}{l}\left( {{{\sin }^2}x + 2\sin x\sin y + {{\sin }^2}y} \right) + \left( {{{\cos }^2}x - 2\cos x\cos y + {{\cos }^2}y} \right) = 3 + 1\\ \Rightarrow \left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + \left( {2\sin x\sin y - 2\cos x\cos y} \right) + \left( {{{\sin }^2}y + {{\cos }^2}y} \right) = 4\\ \Rightarrow 1 - 2\left( {\cos x\cos y - \sin x\sin y} \right) + 1 = 4\\ \Rightarrow 2 - 2\cos \left( {x + y} \right) = 4\\ \Rightarrow 2\cos \left( {x + y} \right) = - 2\\ \Leftrightarrow \cos \left( {x + y} \right) = - 1\end{array}\) Chọn B. Đáp án - Lời giải TRẮC NGHIỆM Bài tập công thức biến đổi tổng thành tích - tích thành tổng CÓ ĐÁP ÁN, Trắc nghiệm Công thức biến đổi tổng thành tích-Tích thành tổng lớp 11 có đáp án được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 2 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới. DẠNG 3: ÁP DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH-TÍCH THÀNH TỔNG Câu 65: Mệnh đề nào sau đây sai?
THẦY CÔ, CÁC EM TẢI NHÉ! Áp dụng công thức cộng đã học ở bài trước, ta có thể thiết lập được công thức biến đổi tích thành tổng và công thức biến đổi tổng thành tích như sau đây. Với $a,b$ là các góc lượng giác, theo công thức cộng đã học, ta có: (1) $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b;$ (2) $\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b;$ (3) $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a;$ (4) $\sin(a-b)=\sin a\cos b-\sin b\cos a.$ Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được: $\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos b$ $\Leftrightarrow \cos a\cos b=\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)].$ Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta được: $\cos(a+b)-\cos(a-b)=-2\sin a\sin b$ $\Leftrightarrow \sin a\sin b=-\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)-\cos(a-b)].$ Lấy (3) cộng (4) vế theo vế, ta được: $\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b$ $\Leftrightarrow \sin a\cos b=\dfrac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)].$ Tóm lại, ta đã chứng minh được các công thức sau (được gọi là Công thức biến đổi tích thành tổng): $\cos a\cos b=\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)];$ $\sin a\sin b=-\dfrac{1}{2}[\cos(a+b)-\cos(a-b)];$ $\sin a\cos b=\dfrac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)].$ Ví dụ 1: Tính $\sin\dfrac{5\pi}{24}\sin\dfrac{\pi}{24}.$ Giải: $\sin\dfrac{5\pi}{24}\sin\dfrac{\pi}{24}$ $=-\dfrac{1}{2}\left[\cos\left(\dfrac{5\pi}{24}+\dfrac{\pi}{24}\right)-\cos\left(\dfrac{5\pi}{24}-\dfrac{\pi}{24}\right)\right]$ $=-\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4}-\cos\dfrac{\pi}{6}\right)$ $=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ $=\dfrac{1}{4}(\sqrt{3}-\sqrt{2}).$ Ví dụ 2: Cho hai góc lượng giác $x, y.$ Chứng minh rằng: $\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}.$ Giải: Bắt đầu từ vế phải, ta chứng minh nó bằng vế trái. Ta có: $VP=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$ $=2\cdot\dfrac{1}{2}\left[\cos\left(\dfrac{x+y}{2}+\dfrac{x-y}{2}\right)+\cos\left(\dfrac{x+y}{2}-\dfrac{x-y}{2}\right)\right]$ $=\cos x+\cos y=VT.$ Công thức biến đổi tổng thành tích.Cho $x,y$ là hai góc lượng giác. Áp dụng các công thức biến đổi tích thành tổng cho các góc lượng giác $a=\dfrac{x+y}{2}, b=\dfrac{x-y}{2}$ (tương tự như cách làm trong Ví dụ 2), ta chứng minh được các công thức sau (được gọi là Công thức biến đổi tổng thành tích): $\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2};$ $\cos x-\cos y=-2\sin\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2};$ $\sin x+\sin y=2\sin\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2};$ $\sin x-\sin y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}.$ Mẹo: Đọc thuộc lòng “đoạn thơ” sau sẽ giúp ta nhớ tất cả các công thức vừa nêu: “cos cộng cos = hai lần cos cos, cos trừ cos = trừ hai sin sin, sin cộng sin = hai lần sin cos, sin trừ sin = hai lần cos sin”. Ngoài ra, thuộc công thức biến đổi TỔNG THÀNH TÍCH, ta có thể suy ra được công thức biến đổi TÍCH THÀNH TỔNG (bằng cách đọc ngược lại). Ví dụ 3: Tính:
Giải:
Vì góc bù của góc $\dfrac{2\pi}{3}$ là góc $\pi-\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{3}$ nên $\sin\dfrac{2\pi}{3}=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$ Ta có: $\cos\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$ Vậy $\sin\dfrac{11\pi}{12}+\sin\dfrac{5\pi}{12}$ $=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $=\dfrac{\sqrt{6}}{2}.$
Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: $\dfrac{\cos a+2\cos 2a+\cos 3a}{\sin a+2\sin 2a+\sin 3a}.$ Giải: $\dfrac{\cos a+2\cos 2a+\cos 3a}{\sin a+2\sin 2a+\sin 3a}$ $=\dfrac{(\cos 3a+\cos a)+2\cos 2a}{(\sin 3a+\sin a)+2\sin 2a}$ $=\dfrac{2\cos\dfrac{3a+a}{2}\cos\dfrac{3a-a}{2}+2\cos 2a}{2\sin\dfrac{3a+a}{2}\cos\dfrac{3a-a}{2}+2\sin 2a}$ $=\dfrac{2\cos 2a\cos a+2\cos 2a}{2\sin 2a\cos a+2\sin 2a}$ $=\dfrac{2\cos 2a\cdot(\cos a+1)}{2\sin 2a\cdot(\cos a+1)}$ $=\dfrac{\cos 2a}{\sin 2a}$ $=\cot 2a.$ Bài tập: 1)- Tính giá trị các biểu thức sau:
2)- Cho góc $\alpha$ thỏa $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}.$ Tính $\cos 2\alpha$ và $\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{6}\right)$ $=-\dfrac{1}{2}\left(\cos 2\alpha-\cos\dfrac{\pi}{3}\right)$ $=-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{7}{25}-\dfrac{1}{2}\right)$ $=\dfrac{11}{100}.$ |
