Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 bằng máy tính

Vận dụng định lý Vi-et để nhẩm nghiệm phương trình bậc hai là một kĩ năng cần đạt đối với các bạn học sinh lớp 101. Trong nhiều trường hợp, thậm chí với hệ số chứa căn hay tham số, nếu biết nhẩm nghiệm thì học sinh sẽ nhanh chóng tìm được nghiệm mà không cần phải nháp hay sử dụng máy tính. Tuy nhiên, trong SGK Đại số 10 thì mục này chỉ được giới thiệu sơ lược và không có nhiều bài tập vận dụng cho việc tính nhẩm. Đó là lí do bài viết này ra đời.

1. Cơ sở tính nhẩm

Cơ sở tính nhẩm xuất phát từ định lí Vi-ét quen thuộc sau:2

Định lí Vi-ét

Định lý gồm 2 phần, thuận và đảo:

* Nếu phương trình trình

có hai nghiệm

thì

* Ngược lại, nếu hai số

và

có tổng

và tích

thì

và

là các nghiệm của phương trình

2. Các dạng tính nhẩm thường gặp

Từ phần đảo, dễ dàng suy ra các kết quả sau.

Loại 1: a = 1, b = tổng, c = tích

* Nếu phương trình có dạng

thì phương trình đó có hai nhiệm và .

* Nếu phương trình có dạng

thì phương trình có hai nghiệm và

Nếu a bằng 1, -b là tổng hai số và c là tích hai số đó thì phương trình bậc hai nhận hai số đó làm nghiệm

Tóm lại:

Như vậy, với loại này bạn cần thực hiện 2 phép nhẩm: “Phân tích hệ số

thành tích và thành tổng”. Trong hai phép nhẩm đó, bạn nên nhẩm hệ số trước rồi kết hợp với để tìm ra hai số thỏa mãn tích bằng và tổng bằng .

Khi tiến hành, bạn nhẩm trong đầu như sau:

Tích của hai nghiệm bằng

, mà tổng lại bằng

Ví dụ phương trình

*

Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 6, mà tổng lại bằng 5”. Hai số đó là: 2 và 3 vì 6 = 2.3 và 5 = 2 + 3. Vậy phương trình có hai nghiệm

*

Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 10, mà tổng lại bằng 7”. Hai số đó là: 2 và 5 vì 10 = 2.5 và 7 = 2 + 5. Vậy phương trình có hai nghiệm

Loại 2: a + b + c = 0 và a – b + c = 0

* Nếu thay

vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc , với .

* Nếu thay

vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm , với .

Do loại này đã quá quen thuộc với bạn, nên bài viết không xét các ví dụ cho trường hợp này mà tập trung vào loại 1 và loại 3.

Loại 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

Nếu

và thì phương trình (1) có dạng

khi đó phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

. Đây cũng là trường hợp hay gặp khi giải toán. Ví dụ phương trình

*

có hai nghiệm

*

có hai nghiệm

Loại 4: Những trường hợp còn lại

Với một phương trình có hệ số

mà không phải loại 2, loại 3 thì bạn nên chia cả hai vế cho , quy về loại 1 để nhẩm. Còn nếu vẫn không nhẩm được thì bạn biết phải làm gì rồi chứ 😀3

3. Một số ví dụ vận dụng

Ví dụ 1. Phương trình

*

có hai nghiệm vì 12 = 2.6 và 8 = 2 + 6

*

có hai nghiệm vì 12 = 3.4 và 7 = 3 + 4

*

có hai nghiệm vì -12 = (-3).4 và 1 = (-3) + 4

*

có hai nghiệm vì -12 = 3.(-4) và -1 = 3 + (-4)

*

có hai nghiệm vì -12 = (-2).6 và 4 = (-2) + 6

*

có hai nghiệm vì -12 = 2.(-6) và -4 = 2 + (-6)

Ví dụ 2. Phương trình

*

4 có hai nghiệm , vì nó có dạng

*

có hai nghiệm , vì nó có dạng

*

có hai nghiệm , vì nó có dạng

Ví dụ 3. Phương trình

*

có hai nghiệm 5

*

có hai nghiệm 6

*

7

4. Bình luận

Khi mới làm quen với tính nhẩm, có thể bạn sẽ gặp một chút khó khăn, nhưng đừng vì thế mà ngại khó và bỏ cuộc. Hãy tưởng tượng thành quả mà tính nhẩm đem lại cho bạn là “không đếm được” so với những “trở ngại đếm được” mà bạn đang phải đối mặt. Bạn sẽ có thêm động lực tiến lên.

“	Đừng cảm thấy tiếc vì bụi hoa hồng có gai mà hãy vui vì trong bụi gai có hoa hồng.	”
	— Abraham Lincoln

Th11 30, 2013Thapsang.vn

Viết bình luận

Xem tiếp bài có từ khóa

• Cách tính nhẩm
• Lớp 10
• Phương trình bậc hai