Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\left| 3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+{{m}^{2}} \right|$ có đúng 5 điểm cực trị? Lời giải Xét hàm số $f\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}+{{m}^{2}},$ hàm số đã cho trở thành $y=\left| f\left( x \right) \right|.$ Số điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ bằng số cực trị của đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ cộng với số giao điểm của đồ thị $y=f\left( x \right)$ với trục hoành (không tính các điểm tiếp xúc). Từ bảng biến thiên ta được điều kiện để hàm số $y=\left| f\left( x \right) \right|$ có 5 điểm cực trị là $\left[ \begin{aligned} & {{m}^{2}}-32<0\le {{m}^{2}}-5 \\ & {{m}^{2}}\le 0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & -4\sqrt{2}<m\le -\sqrt{5} \\ & \sqrt{5}\le m<4\sqrt{2} \\ & m=0 \\ \end{aligned} \right.$ Do $m\in \mathbb{Z}$ nên ta được tập các giá trị của $m$ là $\left\{ -5;-4;-3;0;3;4;5 \right\}.$ Vậy có 7 giá trị nguyên của $m$ thỏa yêu cầu của bài toán. Đáp án B.
Hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi tổng số nghiệm bội lẻ của và số điểm tới hạn của là 5, do đó ta cần có các trường hợp sau TH1: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác -1; 0; 2⇔[−m>0−32<−m<−5⇔[m<05<m<32, trường hợp này có 26 số nguyên dương. TH2: Phương trình (*) có 3 nghiệm trong đó có một nghiệm kép trùng với một trong các nghiệm −1;0;2⇔[−m=0−m=−5⇔[m=0m=5, trường hợp này có một số nguyên dương. Xét hàm số y= 3x4- 4x3-12x2+m Có Ta có bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, để hàm số đã cho có 7 cực trị thì m-5<0m>0⇔0<m<5. Vì m nguyên nên các giá trị cần tìm của m là m∈1; 2; 3; 4. Chọn A. |
