Có bao nhiêu giá trị nguyên m để đồ thị hàm số 2 fxx mx x − 1 2 3 có đúng 1 điểm cực trị

Ta có

Tuy nhiên lại xuất hiện nghiệm kép tại x = 1 (nghiệm kép thì y' qua nghiệm không đổi dấu) nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'(x), ta có các nhận xét sau:

• f'(x) đổi dấu từ “-” sang “+” khi đi qua điểm x = -2

Suy ra x = - 2 là điểm cực trị và là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x).

• f'(x) không đổi dấu khi đi qua điểm x = -1, x = 1

Suy ra x = -1, x = 1 không là các điểm cực trị của hàm số y = f(x).

Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x = -2

Suy ra chọn đáp án C.

Từ đồ thị hàm số f'(x) ta thấy f'(x) cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương (và 1 điểm có hoành độ âm)

Suy ra: f(x) có 2 điểm cực trị dương

⇒ hàm số f(|x|) có 5 điểm cực trị ( gồm 2 điểm cực trị âm, 2 điểm cực trị dương và điểm x = 0).

Suy ra: f(|x + m|) có 5 điểm cực trị với mọi m (vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số).

Chú ý: Đồ thị hàm số f(|x + m|) có được bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến.

Đồ thị hàm số f(|x| + m) có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng.

Suy ra chọn đáp án D.

Từ đồ thị f'(x) ta có:

Suy ra bảng biến thiên của f(x)

Yêu cầu bài toán trở thành hàm số f(x + m) có 2 điểm cực trị dương (vì khi đó lấy đối xứng qua Oy ta được đồ thị hàm số f(|x| + m) có đúng 5 điểm cực trị).

Từ bảng biến thiên của f(x) suy ra f(x + m) luôn có 2 điểm cực trị dương ⇔ tịnh tiến f(x) (sang trái hoặc sang phải) phải thỏa mãn

• Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị nên m < 1.

• Tịnh tiến sang phải không vượt quá 2 đơn vị nên .

Suy ra -2 ≤ m < 1 -m ∈ Z→ m ∈ {-2; -1; 0}

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có đạo hàm: y' = 4x2 - 4mx

- Để hàm có 3 cực trị thì m > 0 (1)

Gọi A(0;4), B(-√m; -m4 + 4), C(-√m; -m4 + 4)

SABC = 1/2.d(A;BC).BC = 1/2.|yB - yA|.|xC - xB| = 1/2.m2.2√m

+ Ta có: ; BC = 2√m

và nên:

Ta tìm min của R:

* Ta có:

Do đó:

Dấu “=” xảy ra khi:

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có g(x) = f(x) – x nên:

g'(x) = f'(x) – 1 = (x + 1).(x - 1)2.(x - 2).

g' = 0 ⇔ (x + 1).(x - 1)2.(x - 2) = 0

Ta thấy x = -1 và x = 2 là các nghiệm đơn còn x = 1 là nghiệm kép nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: g'(x) = -f'(3 - x) = [(3 - x)2 - 1][4 - (3 - x)] = (2 - x)(4 - x)(x + 1);

g'(x) = 0 ⇔ (2 - x)(4 - x)(x + 1) = 0

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số g(x) đạt cực đại tại x = 2.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có g(x) = f(x2) nên g'(x) = 2xf'(x2) = 2x5(x2 - 1)(x2 - 4)2

g'(x) = 0 ⇔ 2x5(x2 - 1)(x2 - 4)2 = 0

Ta thấy x = 1, x = -1(là hai nghiệm đơn) và x = 0 (là các nghiệm bội lẻ) nên hàm số g(x) có 3 điểm cực trị.

Tại x = 2 và x = -2 là nghiệm bội chẵn nên hai điểm này không là điểm cực trị của của hàm số.

Vậy hàm số g(x) = f(x2) có ba điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: g'(x) = 2(x - 4).f'(x2 - 8x) = 2(x - 4)[(x2 - 8x)2 - 2(x2 - 8x)];

g'(x) = 0 ⇔ 2(x - 4)[(x2 - 8x)2 - 2(x2 - 8x)] = 0

Ta thấy x = 4 + 3√2 hoặc x = 4 - 3√2, x = 0, x = 8 và x = 4 đều là các nghiệm đơn nên hàm số g(x) có 5 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Ta có: g'(x) = 2f''(x).f'(x) - 2f'(x).f''(x) - 2f(x).f'''(x) = -2f(x).f'''(x);

g'(x) = 0 ⇔ f(x).f'''(x) = 0 ⇔ x(x - 1)2(x + 4)3 = 0

Ta thấy x = 0 và x = -4 là các nghiệm đơn, x = 1 là nghiệm bội chẵn nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị tại x = 0 và x = -4.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: g'(x) = [f'(x)]2 + f(x).f''(x) = 15x4 + 12x

g'(x) = 0 ⇔ 15x4 + 12x = 0

Nhận thấy x = 0 và

là các nghiệm bội lẻ nên hàm số g(x) có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: f'(x) = 0 ⇔ (x + 1)4(x - 2)5(x + 3)3 = 0

Do f'(x) chỉ đổi dấu khi x đi qua x = -3 và x = 2.

⇒ hàm số f(x) có 2 điểm cực trị x = -3 và x = 2 trong đó chỉ có 1 điểm cực trị dương

⇒ hàm số f(|x|) có 3 điểm cực trị (cụ thể là x = -2, x = 0, x = 2 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|).

Suy ra chọn đáp án B.

* Ta có: f'(x) = 0 khi (x - 1).(x - 2)4.(x2 - 4) = 0

* Do f'(x) đổi dấu khi x đi qua các điểm điểm x = 1, x = 2 hoặc x = -2 nên hàm số f(x) có 3 điểm cực trị nhưng chỉ có 2 điểm cực trị dương là x = 1 và x = 2.

* suy ra: hàm số f(|x|) có 5 điểm cực trị (cụ thể là x = 2 hoặc x = -2; x = 1 hoặc x = -1; x = 0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|)).

Suy ra chọn đáp án C.

Ta có f'(x) =0 khi và chỉ khi: x.(x + 2)4.(x2 + 4) = 0

* Do f'(x) chỉ đổi dấu khi x đi qua điểm x = 0 ∈ Oy

Nên hàm số f(x) có 1 điểm cực trị x = 0 ∈ Oy

Suy ra, hàm số f(|x|) có 1 điểm cực trị (cụ thể là x = 0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f(|x|).

Suy ra chọn đáp án B.

Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f(|x|) nên yêu cầu bài toán khi và chỉ khi f(x) có 2 điểm cực trị dương. (*)

Xét:

Do đó (*) xảy ra khi (1) có hai nghiệm dương phân biệt :

-m > -10, m ∈ Z→ m ∈ {-9; -8; -7; -6; -5; -4; -3}.

Suy ra chọn đáp án B.

Xét f'(x) = 0

Để hàm số g(x) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số f(x) có 1 điểm cực trị dương. Khi đó, (1) có hai nghiệm trái dấu nên: m2 - 3m - 4 < 0 ⇔ -1 < m < 4

-m ∈ Z→ m ∈ {0; 1; 2; 3}

Suy ra chọn đáp án B.

Xét f'(x) = 0

• Nếu m = -1 thì hàm số f(x) có hai điểm cực trị âm (x = -3, x = -1). Khi đó, hàm số f(|x|) chỉ có 1 cực trị là x = 0. Do đó m = -1 không thỏa yêu cầu đề bài.

• Nếu m = -3 thì hàm số f(x) không có cực trị. Khi đó, hàm số f(|x|) chỉ có 1cực trị là x = 0. Do đó m = -3 không thỏa yêu cầu đề bài.

• Khi

thì hàm số f(x) có hai điểm cực trị là x = m và x = -3 < 0

Để hàm số f(|x|) có 3 điểm cực trị thì hàm số f(x) phải có hai điểm cực trị trái dấu

⇔ m > 0 -m ∈ Z, m ∈ [-5;5]→ m ∈ {1; 2; 3; 4; 5}

Suy ra chọn đáp án C.

Xét f'(x) = 0

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

Trường hợp 1. Phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt:

Trường hợp này không có giá trị nguyên âm nào của m thỏa mãn.

Trường hợp 2. Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

⇔ Δ' = m2 - 5 ≤ 0

⇔ -√5 ≤ m ≤ √5 -m ∈ Z-→ m ∈ {-2; -1}

Suy ra chọn đáp án A.

Xét f'(x) = 0 ⇔ (x - 1)2(x2 - 2x) = 0

Ta có: g'(x) = 2(x - 4).f'(x2 - 8x + m);

g'(x) = 0 ⇔ 2(x - 4).f'(x2 - 8x + m) = 0

Yêu cầu bài toán trở thành g'(x) = 0 có 5 nghiệm bội lẻ hay mỗi phương trình (1), (2) đều có hai nghiệm phân biệt khác 4. (*)

Xét đồ thị (C) của hàm số y = x2 – 8x và hai đường thẳng d1: y = -m, d2: y= -m + 2 (như hình vẽ).

Khi đó (*) xảy ra khi d1, d2 cắt (C) tại bốn điểm phân biệt ⇔ -m > -16 ⇔ m < 16

Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn: {1, 2, 3, .., 15}

Suy ra chọn đáp án A.

Ta có: g'(x) = f'(x) - 1; g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 1

Suy ra số nghiệm của phương trình g'(x) = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'(x) và đường thẳng y = 1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) đạt cực đại tại x = -1

Suy ra chọn đáp án A.

Ta có g'(x) = (-2x + 3).f'(x2 + 3x)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số có 3 điềm cực đại.

Suy ra chọn đáp án A.

Dựa vào đồ thị ta có:

g'(x) = 2f'(x).f(x); g'(x) = 0

Ta có:

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g(x) có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Suy ra chọn đáp án C.

Dựa vào đồ thị ta thấy f(x) đạt cực trị tại x = 0, x = 2.

Suy ra

Ta có: g'(x) = f'(x).f'[f(x)];

Dựa vào đồ thị suy ra:

• Phương trình (1) có hai nghiệm x = 0 (nghiệm kép) và x = a (a > 2)

• Phương trình (2) có một nghiệm x = b (b > a)

Vậy phương trình g'(x) = 0 có 4 nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b. Suy ra hàm số g(x) = f[f(x)] có 4 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có: g'(x) = f'(x)[2f(x).ln2 - 3f(x).ln3];

Dựa vào đồ thị ta thấy:

• có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số y = f(x) có 3 điểm cực trị).

• f(x) ≥ -1, ∀x ∈ R nên phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy hàm số g(x)= 2f(x) – 3f(x) có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

• Tập xác định: D = R \ {-m}.

• Đạo hàm:

• Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y'(2) = 0

• Với m = -3

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2 nên m = -3 ta nhận.

• Với m = -1

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 nên m = - 1 ta loại.

Suy ra chọn đáp án B.

Xét g(x) = 2f(x) + 3 nên g'(x) = 2.f'(x)

g'(x) = 0 ⇔ f'(x) = 0

Ta tính được:

Bảng biến thiên của hàm số g(x)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra

• Đồ thị hàm số g(x) có 4 điểm cực trị.

• Đồ thị hàm số g(x) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

Suy ra đồ thị hàm số h(x) = |2f(x) – 3| có 7 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Đồ thị hàm số g(x) = f(|x - 2|) + 1 được suy ra từ đồ thị hàm số f(x) như sau:

Bước 1: Lấy đối xứng qua Oy nhưng vì đồ thị đã đối xứng sẵn nên bước này bỏ qua.

Bước 2: Tịnh tiến đồ thị ở bước 1 sang phải 2 đơn vị.

Bước 3: Tịnh tiến đồ thị ở bước 2 lên trên 1 đơn vị.

Vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị nên ta không quan tâm đến bước 2 và bước 3. Từ nhận xét Bước 1 ta thấy số điểm cực trị của đồ thị hàm số g(x) bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) là 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Ta có g(x) = f(x2 + 1) nên g'(x) = 2x.f'(x2 + 1)

Vậy g'(x) = 0 có duy nhất nghiệm bội lẻ x = 0 nên hàm số g(x) có 1 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.