Bài 24 Giải các phương trình sau trên C và biểu diễn hình hợp tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức): a)\({z^3} + 1 = 0\); b) \({z^4} - 1 = 0\); c) \({z^4} + 4 = 0\); d) \(8{z^4} + 8{z^3} = z + 1\). Giải a) \({z^3} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} - z + 1} \right) = 0\) Nghiệm của \(z + 1 = 0\) là \({z_1} = - 1\) \({z^2} - z + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z - {1 \over 2}} \right)^2} = - {3 \over 4} = {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i = {z_2} \hfill \cr z = {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i = {z_3} \hfill \cr} \right.\) Vậy \(S = \left\{ { - 1;{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i;{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right\}\)
b) \({z^4} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} - 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {z^2} - 1 = 0 \hfill \cr {z^2} + 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = \pm 1 \hfill \cr z = \pm i \hfill \cr} \right.\) Phương trình có 4 nghiệm \({z_1} = i,{z_2} = - i,{z_3} = 1,{z_4} = - 1\)
c) \({z^4} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 2i} \right)\left( {{z^2} - 2i} \right) = 0\) Nghiệm của \({z^2} + 2i = 0\) là các căn bậc hai của -2i, đó là \({z_1} = 1 - i\),\({z_2} = - 1 + i\) Nghiệm của \({z^2} - 2i = 0\) là các căn bậc hai của 2i, đó là \({z_3} = 1 + i\),\({z_4} = - 1 - i\) Vậy \({z^4} + 4 = 0\) có bốn nghiệm \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\).
d) \(8{z^4} + 8{z^3} = z + 1 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {8{z^3} - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {2z - 1} \right)\left( {4{z^2} + 2z + 1} \right) = 0\) Nghiệm của \(z + 1 = 0\) là \({z_1} = - 1\) Nghiệm của \(2z - 1 = 0\) là \({z_2} = {1 \over 2}\) Nghiệm của \(4{z^2} + 2z + 1 = 0\) hay \({\left( {2z + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} = 0\)là \({z_3} = - {1 \over 4} + {{\sqrt 3 } \over 4}i\) và\({z_4} = - {1 \over 4} - {{\sqrt 3 } \over 4}i\) Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm\({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) HocFull.com
Bài 24 Giải các phương trình sau trên C và biểu diễn hình hợp tập hợp các nghiệm của mỗi phương trình (trong mặt phẳng phức): a)\({z^3} + 1 = 0\); b) \({z^4} – 1 = 0\); c) \({z^4} + 4 = 0\); d) \(8{z^4} + 8{z^3} = z + 1\). Giải a) \({z^3} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} – z + 1} \right) = 0\) Nghiệm của \(z + 1 = 0\) là \({z_1} = – 1\) \({z^2} – z + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z – {1 \over 2}} \right)^2} = – {3 \over 4} = {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i = {z_2} \hfill \cr z = {1 \over 2} – {{\sqrt 3 } \over 2}i = {z_3} \hfill \cr} \right.\) Vậy \(S = \left\{ { – 1;{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i;{1 \over 2} – {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right\}\)
b) \({z^4} – 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} – 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {z^2} – 1 = 0 \hfill \cr {z^2} + 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = \pm 1 \hfill \cr z = \pm i \hfill \cr} \right.\) Phương trình có 4 nghiệm \({z_1} = i,{z_2} = – i,{z_3} = 1,{z_4} = – 1\)
c) \({z^4} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 2i} \right)\left( {{z^2} – 2i} \right) = 0\) Nghiệm của \({z^2} + 2i = 0\) là các căn bậc hai của -2i, đó là \({z_1} = 1 – i\),\({z_2} = – 1 + i\) Nghiệm của \({z^2} – 2i = 0\) là các căn bậc hai của 2i, đó là \({z_3} = 1 + i\),\({z_4} = – 1 – i\) Vậy \({z^4} + 4 = 0\) có bốn nghiệm \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\).
d) \(8{z^4} + 8{z^3} = z + 1 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {8{z^3} – 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {2z – 1} \right)\left( {4{z^2} + 2z + 1} \right) = 0\) Nghiệm của \(z + 1 = 0\) là \({z_1} = – 1\) Nghiệm của \(2z – 1 = 0\) là \({z_2} = {1 \over 2}\) Nghiệm của \(4{z^2} + 2z + 1 = 0\) hay \({\left( {2z + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} = 0\)là \({z_3} = – {1 \over 4} + {{\sqrt 3 } \over 4}i\) và\({z_4} = – {1 \over 4} – {{\sqrt 3 } \over 4}i\) Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm\({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) giaibaitaphay.com a) \({z^3} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {{z^2} - z + 1} \right) = 0\) Nghiệm của \(z + 1 = 0\) là \({z_1} = - 1\) \({z^2} - z + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {z - {1 \over 2}} \right)^2} = - {3 \over 4} = {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = {1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i = {z_2} \hfill \cr z = {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i = {z_3} \hfill \cr} \right.\) Vậy \(S = \left\{ { - 1;{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i;{1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right\}\)
b) \({z^4} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} - 1} \right)\left( {{z^2} + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {z^2} - 1 = 0 \hfill \cr {z^2} + 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = \pm 1 \hfill \cr z = \pm i \hfill \cr} \right.\) Phương trình có 4 nghiệm \({z_1} = i,{z_2} = - i,{z_3} = 1,{z_4} = - 1\)
c) \({z^4} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {{z^2} + 2i} \right)\left( {{z^2} - 2i} \right) = 0\) Nghiệm của \({z^2} + 2i = 0\) là các căn bậc hai của -2i, đó là \({z_1} = 1 - i\),\({z_2} = - 1 + i\) Nghiệm của \({z^2} - 2i = 0\) là các căn bậc hai của 2i, đó là \({z_3} = 1 + i\),\({z_4} = - 1 - i\) Vậy \({z^4} + 4 = 0\) có bốn nghiệm \({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\).
d) \(8{z^4} + 8{z^3} = z + 1 \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {8{z^3} - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left( {z + 1} \right)\left( {2z - 1} \right)\left( {4{z^2} + 2z + 1} \right) = 0\) Nghiệm của \(z + 1 = 0\) là \({z_1} = - 1\) Nghiệm của \(2z - 1 = 0\) là \({z_2} = {1 \over 2}\) Nghiệm của \(4{z^2} + 2z + 1 = 0\) hay \({\left( {2z + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} = 0\)là \({z_3} = - {1 \over 4} + {{\sqrt 3 } \over 4}i\) và\({z_4} = - {1 \over 4} - {{\sqrt 3 } \over 4}i\) Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm\({z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\) |