Giải bài tập toán loớp 11 bài 5 toán đại năm 2024

VnDoc.com xin giới thiệu tới bạn đọc tài liệu: Giải bài tập Toán 11 chương 3 bài 5: Khoảng cách, tài liệu bao gồm các bài tập trang 119, 120 SGK Toán 11 Hình học chương 3 kèm theo lời giải chi tiết sẽ giúp các bạn học sinh học tập hiệu quả hơn. Mời các bạn và thầy cô tham khảo.

Giải bài tập Toán 11 chương 3 bài 5: Khoảng cách

Bài 1 (trang 119 SGK Hình học 11): Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề nào là đúng?

1. Đường thẳng Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu Δ ⊥a và Δ ⊥b.

2. Gọi (P) là mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng a và b chéo nhau thì đường vuông góc chung của a và b luôn luôn vuông góc với (P).

3. Gọi Δ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b thì Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (a, Δ) và (b, Δ).

4. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng nào đi qua một điểm M trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc với b thì đó là đường vuông góc chung của a và b.

5. Đường vuông góc chung Δ của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt phẳng chứa đường này và vuông góc với đường kia.

Lời giải:

1. Sai, đúng là "Đường thẳng Δ là đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a và b nếu Δ cắt cả a và b, đồng thời Δ ⊥a và Δ ⊥b"

2. Đúng

3. Đúng

4. Sai

5. Sai.

Bài 2 (trang 119 SGK Hình học 11): Cho tứ diện S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng

1. Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy.

2. Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và HK vuông góc với mặt phẳng (SBC).

3. Xác định đường vuông góc chung của BC và SA.

Lời giải:

Bài 3 (trang 119 SGK Hình học 11): Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm B, C, D, A', B' và D' đến đường chéo AC' đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó.

Lời giải:

Bài 4 (trang 119 SGK Hình học 11): Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c.

1. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC'A').

2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB' và AC'.

Lời giải:

Bài 5 (trang 119 SGK Hình học 11): Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'

1. Chứng minh rằng B'D vuông góc với mặt phẳng (BA'C')

2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA'C') và (ACD)

3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC' và CD'

Lời giải:

Bài 6 (trang 119 SGK Hình học 11): Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là đường vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD và AD = BC.

Lời giải:

Bài 7 (trang 120 SGK Hình học 11): Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính khoảng cách từ S tới mặt đáy (ABC).

Lời giải:

Bài 8 (trang 120 SGK Hình học 11): Cho tứ diện ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện đều đó.

Với giải bài tập Toán lớp 11 Bài 5: Dãy số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 5.

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số

Bài giảng Toán 11 Bài 5: Dãy số

Giải Toán 11 trang 42

Mở đầu trang 42 Toán 11 Tập 1: Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500 nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân Pn (nghìn người) của thành phố đó sau n năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức Pn = 500(1 + 0,02)n. Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Ta có: n = 2030 – 2020 = 10.

Vậy số dân của thành phố đó vào năm 2030 sẽ là

P10 = 500 . (1 + 0,02)10 ≈ 609 (nghìn người).

1. Định nghĩa dãy số

HĐ1 trang 42 Toán 11 Tập 1: Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ n.

Lời giải:

Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: 0; 1; 4; 9; 16.

Số chính phương thứ nhất là u1 = 02 = 0

Số chính phương thứ hai là u2 = 12 = 1

Số chính phương thứ ba là u3 = 22 = 4

Số chính phương thứ tư là u4 = 32 = 9

Số chính phương thứ năm là u5 = 42 = 16

Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là un = (n – 1)2 với n ∈ ℕ*.

Giải Toán 11 trang 43

HĐ2 trang 43 Toán 11 Tập 1:

1. Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.

2. Viết công thức số hạng un của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của n.

Lời giải:

1. Các số chính phương nhỏ hơn 50 được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là

0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49.

2. Ta có: un = (n – 1)2 với n ∈ ℕ* và n ≤ 8.

Luyện tập 1 trang 43 Toán 11 Tập 1: a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.

2. Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.

Lời giải:

1. Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để a = 5q + 1.

Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số là un = 5n + 1 (n ∈ ℕ*).

2. Dãy gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a là: 6; 11; 16; 21; 26.

Số hạng đầu của dãy là u1 = 6, số hạng cuối của dãy là u5 = 26.

2. Các cách cho một dãy số

HĐ3 trang 43 Toán 11 Tập 1:

Xét dãy số (un) gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5:

5, 10, 15, 20, 25, 30, ...

1. Viết công thức số hạng tổng quát un của dãy số.

2. Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi.

Lời giải:

1. Số hạng tổng quát của dãy số là un = 5n (n ∈ ℕ*).

2. Số hạng đầu của dãy số là u1 = 5.

Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 là un = u­n – 1 + 5 (n ∈ ℕ*, n > 1).

Giải Toán 11 trang 44

Luyện tập 2 trang 44 Toán 11 Tập 1:

1. Viết năm số hạng đầu của dãy số (un) với số hạng tổng quát un = n!.

2. Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (Fn) cho bởi hệ thức truy hồi

F1=1, F2=1Fn=Fn−1+Fn−2 n≥3.

Lời giải:

1. Năm số hạng đầu của dãy số (un) với số hạng tổng quát un = n! là

u1 = 1! = 1;

u2 = 2! = 2;

u3 = 3! = 6;

u4 = 4! = 24;

u5 = 5! = 120.

2. Năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (Fn) là

F1 = 1;

F2 = 1;

F3 = F2 + F1 = 1 + 1 = 2;

F4 = F3 + F2 = 2 + 1 = 3;

F5 = F4 + F3 = 3 + 2 = 5.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm, và dãy số bị chặn

Giải Toán 11 trang 45

HĐ4 trang 45 Toán 11 Tập 1:

1. Xét dãy số (un) với un = 3n – 1. Tính un + 1 và so sánh với u­n.

2. Xét dãy số (vn) với vn=1n2 . Tính vn + 1 và so sánh với vn.

Lời giải:

1. Ta có: un + 1 = 3(n + 1) – 1 = 3n + 3 – 1 = 3n + 2

Xét hiệu un + 1 – un ta có: un + 1 – un = (3n + 2) – (3n – 1) = 3 > 0, tức là un + 1 > un ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy un + 1 > un ∀ n ∈ ℕ*.

2. Ta có: vn+1=1n+12 .

Xét hiệu vn + 1 – vn ta có:

vn + 1 – vn = 1n+12−1n2

\=n2−n+12n2n+12=n2−n2+2n+1n2n+12=−2n+1n2n+12<0∀n∈ℕ* .

Tức là vn + 1 < vn , ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy vn + 1 < vn ∀ n ∈ ℕ*.

Luyện tập 3 trang 45 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số (un), với un=1n+1 .

Lời giải:

Ta có: un=1n+1 , un+1=1n+1+1=1n+2 .

un+1−un=1n+2−1n+1=n+1−n+2n+1n+2=−1n+1n+2<0∀n∈ℕ*

Tức là un + 1 < un , ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy (un­) là dãy số giảm.

HĐ5 trang 45 Toán 11 Tập 1:

Cho dãy số (un) với un=n+1n,∀n∈ℕ* .

1. So sánh un và 1.

2. So sánh un và 2.

Lời giải:

1. Ta có: un=n+1n=1+1n>1,∀n∈ℕ* .

2. Ta có: 1n≤1,∀n∈ℕ* , suy ra 1+1n≤1+1=2,∀n∈ℕ* .

Do đó, un=1+1n≤2,∀n∈ℕ* .

Giải Toán 11 trang 46

Luyện tập 4 trang 46 Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của dãy số (un), với un = 2n – 1.

Lời giải:

Ta có: un = 2n – 1 ≥ 1, ∀ n ∈ ℕ*.

Do đó, dãy số (un) bị chặn dưới.

Dãy số (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

un = 2n – 1 ≤ M với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

Vận dụng trang 46 Toán 11 Tập 1: Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi sn (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có:

s1 = 200, sn = sn – 1 ­+ 25 với n ≥ 2.

1. Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.

2. Chứng minh (sn) là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.

Lời giải:

1. Ta có: s2 = s1 + 25 = 200 + 25 = 225

s3 = s2 + 25 = 225 + 25 = 250

s4 = s3 + 25 = 250 + 25 = 275

s5 = s4 + 25 = 275 + 25 = 300

Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là 300 triệu đồng.

2. Ta có: sn = sn – 1 + 25 ⇔ sn – sn – 1 = 25 > 0 với mọi n ≥ 2, n ∈ ℕ*.

Tức là sn > sn – 1 với mọi n ≥ 2, n ∈ ℕ*.

Vậy (sn) là dãy số tăng. Điều này có nghĩa là mức lương hàng năm của anh Thanh tăng dần theo thời gian làm việc.

Bài tập

Bài 2.1 trang 46 Toán 11 Tập 1: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (un) có số hạng tổng quát cho bởi:

1. un = 3n – 2;

2. un = 3 . 2n;

3. un=1+1nn .

Lời giải:

1. Ta có: u1 = 3 . 1 – 2 = 1;

u2 = 3 . 2 – 2 = 4;

u3 = 3 . 3 – 2 = 7;

u4 = 3 . 4 – 2 = 10;

u5 = 3 . 5 – 2 = 13;

u100 = 3 . 100 – 2 = 298.

2. Ta có: u1 = 3 . 21 = 6;

u2 = 3 . 22 = 12;

u3 = 3 . 23 = 24;

u4 = 3 . 24 = 48;

u5 = 3 . 25 = 96;

u100 = 3 . 2100.

3. Ta có: u1=1+111=2 ;

u2=1+122=94;

u3=1+133=6427;

u4=1+144=625256;

u5=1+155=77763125;

u100=1+1100100=101100100.

Bài 2.2 trang 46 Toán 11 Tập 1: Dãy số (un) được cho bởi hệ thức truy hồi: u1 = 1, un = n . un – 1 với n ≥ 2.

1. Viết năm số hạng đầu của dãy số.

2. Dự đoán công thức số hạng tổng quát của un.

Lời giải:

1. Năm số hạng đầu của dãy số là

u1 = 1;

u2 = 2u1 = 2 . 1 = 2;

u3 = 3u2 = 3 . 2 = 6;

u4 = 4u3 = 4 . 6 = 24;

u5 = 5u4 = 5 . 24 = 120.

2. Nhận xét thấy u1 = 1 = 1!;

u2 = 2 . 1 = 2!;

u3 = 3u2 = 3 . 2 . 1 = 3!;

u4 = 4u3 = 4 . 3 . 2 . 1 = 4!;

u5 = 5u4 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5!;

...

Cứ tiếp tục làm như thế, ta dự đoán được công thức số hạng tổng quát của un là un = n!.

Bài 2.3 trang 46 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số (un), biết:

1. un = 2n – 1;

2. un = – 3n + 2;

3. un=−1n−12n .

Lời giải:

1. Ta có: un + 1 = 2(n + 1) – 1 = 2n + 2 – 1 = 2n + 1

Xét hiệu un + 1 – un = (2n + 1) – (2n – 1) = 2 > 0, tức là un + 1 > un , ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy (un) là dãy số tăng.

2. Ta có: un + 1 = – 3(n + 1) + 2 = – 3n – 3 + 2 = – 3n – 1

Xét hiệu un + 1 – un = (– 3n – 1) – (– 3n + 2) = – 3 < 0, tức là un + 1 < un­, ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy (un) là dãy số giảm.

3. un=−1n−12n

Nhận xét thấy: u1=−11−121=12>0 ; u2=−12−122=−14<0 ;

u3=−13−123=18>0; u4=−14−124=−116<0 ; ...

Vậy dãy số (un) không tăng, cũng không giảm.

Bài 2.4 trang 46 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

1. un = n – 1;

2. un=n+1n+2 ;

3. un = sin n;

4. un = (– 1)n – 1 n2.

Lời giải:

1. Ta có: un = n – 1 ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, dãy số (un) bị chặn dưới với mọi n ∈ ℕ*.

Dãy số (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

un = n – 1 ≤ M với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

2. Ta có: un=n+1n+2=n+2−1n+2=1−1n+2 , với mọi n ∈ ℕ*.

Vì 0<1n+2≤13 , ∀ n ∈ ℕ* nên −13≤−1n+2<0 ∀ n ∈ ℕ*.

Suy ra 1−13≤1−1n+2<1 hay 23≤un<1 ∀ n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (un) là dãy số bị chặn.

3. Ta có: – 1 ≤ sin n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, – 1 ≤ un ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (un) là dãy số bị chặn.

4. un = (– 1)n – 1 n2

Ta có: (– 1)n – 1 = 1 với mọi n ∈ ℕ* và n lẻ.

(– 1)n – 1 = – 1 với mọi n ∈ ℕ* và n chẵn.

n2 ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó, – 1 . n2 ≤ (– 1)n – 1 n2 ≤ 1 . n2 hay – n2 ≤ un ≤ n2 với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (un) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (un) là dãy số bị chặn.

Bài 2.5 trang 46 Toán 11 Tập 1: Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:

1. Đều chia hết cho 3;

2. Khi chia cho 4 dư 1.

Lời giải:

1. Các số nguyên dương chia hết cho 3 là: 3; 6; 9; 12; ...

Các số này có dạng 3n với n với n ∈ ℕ*.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó đều chia hết cho 3 là un = 3n với n ∈ ℕ*.

2. Các số nguyên dương chia cho 4 dư 1 có dạng là 4n + 1 với n ∈ ℕ*.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó khi chia cho 4 dưa là un = 4n + 1 với n ∈ ℕ*.

Bài 2.6 trang 46 Toán 11 Tập 1: Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức

An=1001+0,0612n.

1. Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.

2. Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.

Lời giải:

1. Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất là

A1=1001+0,06121=100,5 (triệu đồng).

Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ hai là

A2=1001+0,06122=101,0025 (triệu đồng).

2. Số tiền ông An nhận được sau 1 năm (12 tháng) là

A12=1001+0,061212≈106,17 (triệu đồng).

Giải Toán 11 trang 47

Bài 2.7 trang 47 Toán 11 Tập 1: Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0,8% số tiền còn lại của mỗi tháng.