1. Bạn Khôi viết dãy số cách đều là 1, 5, 9, 13, …, 1001. Hỏi bạn Khôi đã viết tất cả bao nhiêu chữ số Giải: Nhận xét: Dãy số đầu bài cho là dãy các số chia 4 dư 1 Số các số hạng gồm 1 chữ số trong dãy số là: (9 – 1):4 + 1 = 3 (số) Số lượng các chữ số tạo thành các số có 1 chữ số là: 3  Số các số hạng gồm 2 chữ số trong dãy số là: (97 – 13):4 + 1 = 22 (số) Số lượng các chữ số tạo thành các số có 2 chữ số là: 22 Số các số hạng gồm 3 chữ số trong dãy số là: (997 – 101):4 + 1 = 225 (số) Số lượng các chữ số tạo thành các số có 3 chữ số là: 225 Số có 4 chữ số là 1001 Số lượng các chữ số tạo thành các số có 4 chữ số là 4 Số lượng các chữ số bạn Khôi viết là: 3 + 44 + 675 + 4 = 726 (chữ số) Đáp án:726 2. Người ta tính rằng phải dùng 2001 chữ số để ghi số trang một quyển sách. Hỏi quyển sách đó dày bao nhiêu trang? Giải: Số các số hạng từ 1 đến 9 là: (9 – 1):1 + 1 = 9 (số ) Số các chữ số để đánh số trang từ 1 đến 9 là: 9 Số các số hạng từ 10 đến 99 là: (99 – 10):1 + 1 = 90 (số ) Số các chữ số để đánh số trang từ 10 đến 99 là: 90 Sau khi đánh xong số trang từ 1 đến 99 thì còn lại số chữ số là: 2001 – 9 – 180 = 1812 (chữ số) Số lượng các trang có 3 chữ số là: 1812 : 3 = 604 (trang) Quyển sách đó dày là: 604+9 + 90 = 703 (trang) Đáp án: 703 3. Bạn Tú viết dãy số tự nhiên liên tiếp kể từ 1. Hỏi chữ số thứ 6897 của dãy số đó là chữ số nào? Giải: Từ 1 đến 9 có số số hạng là: (9 – 1):1 + 1 = 9 (số ) Từ 1 đến 9 có số chữ số là: 9 Từ 10 đến 99 có số số hạng là: (99 – 10):1 + 1 = 90 (số ) Từ 10 đến 99 có số chữ số là: 90 Từ 100 đến 999 có số số hạng là: (999 – 100):1 + 1 = 900 (số ) Từ 100 đến 999 có số chữ số là: 900 Sau khi viết các số từ 1 đến 999 thì còn lại số chữ số là: 6897 – (9 + 180 + 2700) = 4008(chữ số) Số lượng các số có 4 chữ số được viết là: 4008: 4 = 1002 (số) Số chứa chữ số thứ 6897 là: 1000 + (1002 – 1) Vậy chữ số thứ 6897 là 1 Đáp án: 1 4. Bạn Minh Anh viết dãy số tự nhiên liên tiếp kể từ 1. Hỏi chữ số thứ 1000 của dãy số đó là chữ số nào? Hướng dẫn: Từ 1 đến 9 có: 9 chữ số Từ 10 đến 99 có: 90 số -> 90 Từ 100 đến 999 có 900 số - > 900 Chữ số thứ 1000 sẽ nằm trong khoảng từ 100 đến 999. Số lượng chữ số của các số có 3 chữ số là: 1000 – 9 – 180 = 811 (chữ số) Số lượng các số có 3 chữ số là: 811 : 3 = 270 (dư 1) Số thứ 270 trong dãy từ 100 đến 999 là : 100 + (270 – 1) ð chữ số thứ 1000 là số 3 Đáp số: 3 5. Bạn Quang viết dãy số chẵn liên tiếp kể từ 2. Hỏi chữ số thứ 2002 của dãy số đó là chữ số nào? Hướng dẫn: Số chẵn từ 2 đến 8 có : 4 số -> 4 chữ số Số chẵn từ 10 đến 98 có : 45 số -> 45 Số chẵn từ 100 đến 998 có : 450 số -> 450 Số chẵn từ 1000 đến 9998 có : 4500 số -> 4500 Chữ số thứ 2002 sẽ thuộc 1 chữ số chẵn nằm trong khoảng từ 1000 đến 9998. Số lượng chữ số của các số có 4 chữ số là: 2002 – (4 + 90 + 1350) = 558 (chữ số) Số các số chẵn có 4 chữ số là: 558:4 = 139 (dư 2) Số hạng thứ 139 trong dãy từ 1000 là: 1000 + (139 – 1) Số hạng thứ 140 là 1278 Chữ số thứ 2002 là số 2 Đáp số: 2 6. Viết dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 99. Tính tổng của tất cả các chữ số của dãy số đó. Hướng dẫn: Cách 1: Tính tổng các chữ số theo các cặp như sau: 1 và 98: 1 + 9 + 8 = 18 2 và 97: 2 + 9 + 7 = 18 3 và 96: 3 + 9 + 6 = 18 … 49 và 50: 4 + 9 + 5 + 0 = 18 Tổng các chữ số của dãy số từ 1 đến 98 là: 18 Tổng các chữ số của dãy số từ 1 đến 99 là: 882 + 18 = 900 Đáp số: 900 Cách 2: Đối với các số từ 1 đến 9 ta thêm 1 chữ số 0 vào đằng trước ta sẽ được 1 dãy số như sau: 01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,…,99 Nhận xét: Số lần xuất hiện của các chữ số {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ở hàng chục và hàng đơn vị là 10 lần nên ta có tổng của các chữ số như sau: (0+1+2+…+9) Đáp án:900 7. Cho dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến N. Tìm số N sao cho số chữ số của dãy đó gấp 2 lần số N. Đáp số: 108 8. Bạn Minh viết các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2001. Hỏi bạn Minh đã viết tất cả bao nhiêu chữ số ? Lời giải rút gọn: 1 đến 9 có 5 số lẻ : 5 cs 11 đến 99 có 45 số lẻ: 45 x 2 = 90 cs 101 đến 999 có 450 số lẻ: 450 x 3 = 1350 cs 1001 đến 2001 có 501 số lẻ: 501x4 = 2004 cs Tổng các chữ số Minh viết là: 5 + 90 + 1350 + 2004 = 3449 Đáp án:3449 9. Khi viết dãy số lẻ liên tiếp từ 1 đến x phải dùng 2001 chữ số. Hỏi chữ số cuối cùng của dãy số đó là chữ số nào? Giải: Giải: Từ 1 đến 9 có 5 số lẻ: 5 cs Từ 11 đến 99 có 45 số lẻ: 45x2 = 90 cs Từ 101 đến 999 có 450 số lẻ: 450x3 = 1350 cs Từ 1001 đến 9999 có 4500 số lẻ:4500x4 = 18000 cs Chữ số thứ 2001 sẽ nằm trong khoảng từ 1001 đến 9999. 2001 có thể viết được số các số lẻ có 4 cs là: [2001 – (5 + 90 + 1350)] : 4 = 139 (số) Dãy các số lẻ có 4cs là: 1001,1003,1005,… Số hạng thứ 139 của dãy này là: 1001 + (139 – 1)x2 = 1001 + 276 = 1277 => chữ số thứ 2001 là số 7 Đáp số: 7 10. Viết dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 1000. Hỏi dãy số đó có tất cả bao nhiêu : a. Chữ số 5 ? b. Chữ số 0 ? Giải: a) Dãy các số có chữ số 5 ở hàng đơn vị là: (5,15,25,…,995 ) có 100 (số) Dãy các số có chữ số 5 ở hàng chục là: (50,51,…,59);(150,151,…,159);..;(950,951,…,959) Có 10 cụm ngoặc mà mỗi cụm có 10 số, nên số lượng các số có chữ số 5 ở hàng chục là: 10 Dãy các số có chữ số 5 ở hàng trăm là: (500,501,502,…,599) có 100 (số) Từ 1 đến 1000 có : 100 + 100 + 100 = 300 (chữ số 5) b) Dãy các số có chữ số 0 ở hàng đơn vị là: (10,20,30,…,1000) có 100 số Dãy số có chữ số 0 ở hàng chục là: (100,101,…109);(200,201, …,209);…;(900,901, …,990) Có 9 cụm ngoặc mà mỗi cụm có 10 số, nên số lượng các số có chữ số 0 ở hàng chục là: 9 Số lượng chữ số 0 ở hàng trăm có 1 số là 1000 Từ 1 đến 1000 có : 100 + 90 + 1 = 191 (số) Đáp án: a)300 b)201 11. Cho một số tự nhiên N được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2002. Tính tổng của tất cả các chữ số của số N đó. Hướng dẫn giải: Số tự nhiên N là: 1234567…1999200020012002 Thực hiện ghép cặp như sau: 1 và 1998: có tổng c/s là: 28 2 và 1997: có tổng c/s là: 28 3 và 1996: có tổng c/s là: 28 … 998 và 1001: có tổng c/s là: 28 999 và 1000: có tổng c/s là: 28 Tổng của các chữ số trong phép tính trên là: 999 Tổng của các chữ số của số 1999200020012002 là 37 Tổng của các chữ số của số N là: 27972 + 37 = 28009 Đáp án:28009 12. Có bao nhiêu số gồm bốn chữ số mà số tạo bởi hai chữ số đầu lớn hơn số tạo bởi hai chữ số cuối? Giải: Giải: Gọi số phải tìm là Dãy các số có thể có của Dãy các số có thể có của Nhận xét: TH1: Nếu Nếu Nếu … Nếu TH2: Nếu Nếu Nếu … Nếu 1 + 2 + 3 +…+ 89 = (1+89) Tổng các số gồm bốn chữ số mà số tạo bởi hai chữ số đầu lớn hơn số tạo bởi hai chữ số cuối là: 900 + 4005 = 4905 (số) Đáp số: 4905 số 13. Cho dãy số lẻ liên tiếp từ 1 đến x. Tìm x sao cho số chữ số của dãy gấp 3 lần số các số hạng của dãy đó Giải: Để số chữ số gấp 3 lần số số hạng thì trung bình 1 số phải có 3 chữ số. Từ 1 đến 9 có 5 số lẻ gồm 1 chữ số. Mỗi số đó cần phải bù thêm 2 chữ số. Nên số chữ số cần viết thêm là: 5 Từ 10 đến 99 có 45 số lẻ,mỗi số gồm hai chữ số. Mỗi số cần bù thêm 1 chữ số. Nên số chữ số cần viết thêm là: 45 Từ 100 đến 999 có 900 số có 3 chữ số. Vì mỗi số đều gồm 3 chữ số nên số chữ số của dãy từ 100 đến 999 gấp 3 lần số các số hạng của dãy số đó. Số lượng các chữ số cần bù để đảm bảo mỗi số có 3 chữ số là: 10 + 45 = 55 (chữ số) Mỗi 1 số lẻ gồm 4 chữ số sẽ bù được 1 chữ số nên số lượng số lẻ gồm 4 chữ số cần dùng là 55 số. |
