Download Free PDF Show
Download Free PDF  BÀI 5 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢOBÀI 5 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢOBÀI 5 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢOBÀI 5 PHÉP NHÂN MA TRẬN VÀ MA TRẬN NGHỊCH ĐẢOCâu 1 [Q884749782] Cho là các ma trận vuông cấp khả nghịch. Chứng minh rằng nếu khả nghịch thìcũng khả nghịch.Câu 2 [Q775191769] Chứng minh rằng ma trận vuông cấp thoả mãnthì ma trận khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của nó.Câu 3 [Q463902904] Cho là các ma trận thực vuông cấp khác nhau và thoả mãn điều kiện vàChứng minh rằng ma trận suy biến.Câu 4 [Q420078489] Cho là ma trận vuông. Điều kiện để là ma trận đối xứng là điều kiện để là matrận phản đối xứng là Chứng minh rằng:a) Mọi ma trận phản đối xứng cấp lẻ đều suy biến.b) Mọi ma trận vuông cấp lẻ thì suy biến.c) Mọi ma trận vuông đều có thể phân tích thành tổng của một ma trận đối xứng và một ma trận phản đối xứng cùngcấp.d) Nếu là ma trận phản đối xứng cấp lẻ thì khả nghịch.e) Mọi giá trị riêng của ma trận thực đối xứng đều là các số thực; mọi giá trị riêng của ma trận thực phản đối xứngđều bằng 0 hoặc thuần ảo.Câu 5 [Q274670397] Cho ma trận vuông cấp thoả mãn Chứng minh rằng ma trận khảnghịch và tìm ma trận nghịch đảo của nó.Câu 6 [Q577023277] Cho là hai ma trận vuông cấp thoả mãn Chứng minh rằng nếukhả nghịch thì khả nghịch.Câu 7 [Q134708130] Cho là hai ma trận vuông cùng cấp thoả mãn Chứng minhrằng các ma trận và khả nghịch.Câu 8 [Q994907066] Cho là hai ma trận vuông cùng cấp, có cấp là số lẻ thoả mãn Chứng minh rằngít nhất một trong hai ma trận và suy biến.Câu 9 [Q520644347] Cho với Chứng minh rằng ma trậnkhả nghịch.Câu 10 [Q348005830] Cho là hai ma trận vuông cấp thoả mãn và Chứngminh rằng ma trận khả nghịch.Câu 11 [Q366962072] Cho là hai ma trận vuông cấp thoả mãn và Chứngminh rằng ma trận suy biến.Câu 12 [Q273522021] Cho là ma trận vuông cấp Chứng minh rằng nếu tồn tại số tự nhiên sao chothì các ma trận và khả nghịch.Câu 13 [Q206185077] Cho là hai ma trận vuông cấp thoả mãn và tồn tại các số nguyên dươngsao cho Chứng minh rằng các ma trận và khả nghịch.Câu 14 [Q755163710] Cho là hai ma trận vuông thực cấp 2019 thoả mãn:Chứng minh rằng với mọi ta cóTHI ONLINE - [PRO S1] - CHỨNG MINH MA TRẬN SUYBIẾN VÀ MA TRẬN KHẢ NGHỊCH*Biên soạn: Thầy Đặng Thành NamVideo bài giảng và lời giải chi tiết chỉ có tại Vted (vted)Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)Họ, tên thí sinh:............................................................................... Trường: ............................................................A, B n A + BA−1 + B−A nakAk + ak−1Ak−1+... +a 1 A + a 0 E = 0(a 0 ≠ 0) AA, B n A 3 = B 3A 2 B = BA 2. A 2 + B 2A A A′ = A; AA′ = −A.A A − A′A E − AA n 2 A 3 − A = E. E + 2AA, B n ≥ 2 AB + A + B = O.A BA, B AB + 2019A + 2020B = O.A + 2020E B + 2019EA, B AB = O.A + A′ B + B′A = (aij)n×n aij = −1, ∀i = j; aij ∈ {0, 2019} , ∀i ≠ j. AA, B n A2019\= O B(A − E) = A + 3E.BA, B n A 2019 = O A + 2019B = AB.BA n. m Am = OE − A E + AA, B n AB = BAm, p Am = O, Bp = O. E − A − B E + A + BA, Bdet(A) = det(A + B) = det(A + 2B) =... = det(A + 2019B) = 0.x, y ∈ R det(xA + yB) = 0.Câu 15 [Q772233037] Cho ma trận vuông cấp Chứng minh rằng nếu tồn tại số nguyên dương thoả mãnthì ma trận khả nghịch.Câu 16 [Q035411977] Cho ma trận vuông cấp thoả mãn Chứng minh rằng ma trận khảnghịch.Câu 17 [Q657564177] Cho hai ma trận vuông cùng cấp sao cho khả nghịch. Chứng minh rằngkhả nghịch.Câu 18 [Q144505346] Cho ma trận với và Chứngminh rằng ma trận khả nghịch.Câu 19 [Q734345863] Cho là hai ma trận vuông cùng cấp thoả mãn Chứng minhrằngCâu 20 [Q467231313] Cho là hai ma trận vuông cùng cấp thoả mãn Chứng minhrằngCâu 21 [Q637018104] Cho là hai ma trận vuông cùng cấp thoả mãn Chứngminh rằngCâu 22 [Q383488013] Cho là hai ma trận vuông cùng cấp thoả mãn vàChứng minh rằng là ma trận không suy biến.Câu 23 [Q386315904] Cho là hai ma trận vuông cùng cấp thoả mãn vàChứng minh rằng là ma trận không suy biến.Câu 24 [Q681868868] Cho ma trận vuông cấp thoả mãn Chứng minh rằng matrận khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo của nó theoHƯỚNG DẪNCâu 1 CóDo đóDo Ta có điều phải chứng minh.Câu 2 CóĐiều đó chứng tỏ ma trận khả nghịch vàCâu 3 CóGiả sử khi đó (mâu thuẫn với giả thiết).VậyCâu 5 CóTa sẽ chọn sao choVậyĐiều đó chứng tỏ ma trận khả nghịch và có ma trận nghịch đảo làA n. m(A + E)m \= O AA n A 2019 = 2019A. A − EA, B n E + ABE − BAA = (aij)n×n 0 ≤ aij < 1 0 <n ∑i=aij < 1, ∀i, j = 1, 2,... , n.E − AA, B A2019\= 0, AB = A + B.det(B) = 0.A, B B 2020 = 0, AB = 2A + 3B.det(A) = 0.A, B Bk = 0, AB = A + B, (k ∈ N∗).det(A + B) = det(A).A, B A2008\= E, B2009\= 0AB + 4A + 2009B = 0. (A + B)A, B A1999\= E, B 2000 = E AB = BA.(A + B + E)A n A 3 + 13A 2 + 36A − 3E = 0.X = A + 9E X−1 A.A(A−1 + B−1)B = AA−1B + AB−1B = EB + AE = B + A.det(B + A) = det (A(A−1 + B−1)B) = det(A) det(A−1 + B−1) det(B).det(A) ≠ 0; det(B) ≠ 0; det(A + B) ≠ 0 ⇒ det(A−1 + B−1) ≠ 0.akAk + ak−1Ak−1+... +a 1 A = −a 0 E ⇔ A (− Ak−1 − Ak−2−... − E) = E.aka 0ak−a 0a 1a 0A A−1 = − Ak−1 − Ak−2−... − E.aka 0ak−a 0a 1a 0(A 2 + B 2 )(A + B) = A 3 + A 2 B + B 2 A + B 3 = 2A 3 + 2B 2 A = 2(A 2 + B 2 )A.det(A 2 + B 2 ) ≠ 0 A + B = 2A ⇔ A = Bdet(A 2 + B 2 ) = 0.(E + 2A)(aA 2 + bA + cE) = 2aA 3 + (a + 2b)A 2 + (b + 2c)A + cE.a, b, c 2 aA 3 + (a + 2b)A 2 + (b + 2c)A = 2A 3 − A ⇔⎧⎪⎨⎪⎩2 a = 2a + 2b = 0b + 2c = −⇔⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩a = 1b = −c = −.1214(E + 2A) (A2− A − E) = 2A3− A − E = E − E = E1214141434⇔ (E + 2A) ( A2− A − E) = E.432313E + 2A A−1 = A 2 − A − E.432313Câu 17 Theo bất đẳng thức về hạng của ma trận ta có:Vậy Điều đó chứng tỏ khả nghịch.Câu 18 Giả sử ngược lại sao choGiả sử Xét phương trình thứ của hệ phương trình thuần nhất trên có:Suy ra (mâu thuẫn).Vậy ta có điều phải chứng minh.Câu 19 Ta có vàMặt khácLấy định thức hai vế cóKết hợp với(*) cóCâu 20 CóBiến đổiCâu 21 CóSuy raMặt khácMặt khácLấy định thức hai vế có Kếthợp với (*) cóVậyCâu 24 Xét phép nhân ma trậnTa tìm sao cho (mụcđích để dùng được giả thiết bài cho){r((E − BA)(E + AB)) + n ⩾ r(E + AB) + r(E − BA) = n + r(E − BA)r((E − BA)(E + AB)) ⩽ r(E − BA).r((E − BA)(E + BA)) = r(E − BA). E − BAdet(E − A) = 0 ⇒ ∃X =⎛⎜⎜⎜⎝x 1x 2...xn⎞⎟⎟⎟⎠≠ 0 (E − A)X = 0.|xk| = max {|xi| , i = 1, 2,... , n} > 0. k−ak 1 x 1 − ak 2 x 2 −... +(1 − akk)xk−... −aknxn = 0 ⇒ xk = ak 1 x 1 + ak 2 x 2 +... +aknxn.|xk| = |ak 1 x 1 + ak 2 x 2 +... +aknxn| ≤####### n ∑i=aki |xi| ≤####### n ∑i=aki |xk| = (####### n ∑i=aki) |xk| < |xk|det(E − A) ≠ 0,A2019\= 0 ⇒ det A = 0AB = A + B ⇔ (A − E)B = A ⇒ det(A − E) det(B) = det(A) = 0(∗).−E = 0 − E 2019 = A 2019 − E 2019 = (A − E) (A 2018 + EA 2017 +...... +E 2017 A + E 2018 ).det(A − E) det (A2018+ EA2017+...... +E 2017 A + E 2018 ) = det(−E) ≠ 0 ⇒ det(A − E) ≠ 0.det(B) = 0.B 2020 = 0 ⇒ det(B) = 0.2 A = AB − 3B = (A − 3E)B ⇒ det (2A) = det (A − 3E) det(B) = 0 ⇒ 2n det (A) = 0 ⇒ det (A) = 0.Bk = 0 ⇒ (det B)k = 0 ⇔ det B = 0.det(A + B) = det(AB) = det A. det B = 0.AB = A + B ⇔ A(B − E) = B ⇒ det(A) det(B − E) = det(B) = 0(∗).−E = 0 − Ek = Bk − Ek = (B − E) (Bk−1 + EBk−2+... +Ek−1).det (B − E) det (Bk−1 + EBk−2+... +Ek−1) = det(−E) ≠ 0 ⇒ det(B − E) ≠ 0.det(A) = 0.det(A + B) = det(A) = 0.(A + 9E) (aA 2 + bA + cE) = aA 3 + (9a + b) A 2 + (9b + c) A + 9cEa, b, c aA 3 + (9a + b) A 2 + (9b + c) A = A 3 + 13A 2 + 36A ⇔⎧⎨⎩a = 19 a + b = 139 b + c = 36⇔⎧⎨⎩a = 1b = 4c = 0⇒ (A + 9E) (A 2 + 4A) = A 3 + 13A 2 + 36A = 3E ⇔ (A + 9E) ( A 2 + A) = E ⇒ (A + 9E)−1 = A 2 + A.13431343Khái niệm ma trận suy biến là gì?Định thức chỉ được xác định trong các ma trận vuông. Nếu định thức của một ma trận bằng 0, ma trận này được gọi là ma trận suy biến, nếu định thức bằng 1, ma trận này được gọi là ma trận đơn môđula. Ma trận không khả nghịch khi nào?Nếu định thức ma trận khác không (det(A) ≠ 0), thì ma trận được coi là khả nghịch. Nếu định thức ma trận bằng không (det(A) = 0), thì ma trận được coi là không khả nghịch. Ma trận A khả nghịch khi nào?Nếu là ma trận vuông, có thể thu được một số tính chất của nó bằng cách tính định thức của nó. Ví dụ, ma trận vuông là ma trận khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác không. Ma trận đơn vị là gì?Ma trận đơn vị : là ma trận chéo có tất cả các phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng 1. |
